高三二轮复习之数列的基本应用.doc

1、 数列的基本运用数列的基本运用 【课堂导入】 已知数列 n a的首项aa 1 ， n S是数列 n a的前 n 项和，且满足： 1 22 2 3n nn SanS，0 n a，2n， * Nn （1）若数列 n a是等差数列，求 a 的值； （2）确定 a 的取值集合 M，使 aM 时，数列 n a是递增数列 解答：（1）在 1 22 2 3n nn SanS 中分别令 n=2，n=3，及aa 1 ， 得 2 2 2 2 12)(aaaa ， 2 23 2 32 )(27)(aaaaaa ， 因为0 n a，所以aa212 2 ，aa23 3 因为数列 n a是等差数列，所以 231 2aaa

2、， 即 2（12-2a）=a+3+2a，解得 a=3， 经检验 a=3 时，nan3， 2 ) 1(3 nn Sn， 2 ) 1(3 1 nn Sn 满足 12 2 2 2 nnn SanS （2）由 12 2 2 3 nnn SanS，得 nnn anSS 2 122 3 即 nnnnn anSSSS 2 11 3)( ， 即 nnnn anaSS 2 1 3)( ，因为0 n a， 所以 2 1 3nSS nn ，2n 所以 2 1 ) 1(3 nSS nn 得36 1 naa nn ，2n 所以96 12 naa nn ， 6 2 nn aa 即数列 2 a ， 4 a ， 6 a ，及

3、数列 3 a， 5 a ， 7 a ，都是公差为 6 的等差数列， 因为aa212 2 ，aa23 3 22 12, 3 1 , 623 623 kn knn n an an a an 要使数列 n a是递增数列，须有 12 aa，且当 n 为大于或等于 3 的奇数时， 1 nn aa 且当 n 为偶数时， 1 nn aa，即aa212 62) 1(3623anan 62) 1(3623anan 所以 4 15 4 9 a，所以) 4 15 , 4 9 (M，当Ma时，数列 n a是递增数列 考点：数列的概念及简单表示法 【知识讲解】 1、等差和等比： 2、通项公式： 3、求和： 【典例分析】

4、 【例 1】 n S是等差数列 n a的前 n 项和，若 24 1 2 n n S S n n ，则 53 aa = 解答： n S是等差数列 n a的前 n 项和， 24 1 2 n n S S n n ， 2 1 )( 11 1 2 1 daa a S S ， 3 1 a=2 1 a+d， 1 a=d， 5 3 5 3 4 2 1 1 5 3 d d da da a a . 故答案为：35. 考点：等差数列的前 n 项和 【变式 1-1】己知 n a是等差数列，15 5 a，10 10 a，记数列 n a的第 n 项到第 n+5 顶的和为 n T;，则| n T取得最小值时的 n 的值为

5、解答：由15 5 a，10 10 a， 公差5 510 1510 510 510 aa d， 则nnaan540)5)(5( 5 ， nnan515)5(540 5 ， 所以和n nn Tn30165 2 )515540(6 ， 当 n=5.5 时，0| n T， 由于 n 为整数，所以 n 应取 5 或 6， | n T取得最小值 15. 故答案为：5 或 6. 考点：数列的求和， 等差数列的通项公式 【变式 1-2】已知等比数列 n a的公比 q1，其前 n 项和为 n S.若12 24 SS，则 6 S的最 小值为 解答：12 24 SS， 1 1 )1 ( 2 1 )1 ( 2 1 4

6、 1 q qa q qa ， 化为1) 1)(1 ( 2 1 qqa， q1， 3323 1 3 1 1 )1 ( 1 2 2 6 6 q q q qa S， 当且仅当31 2 q， 即31q时 取等号。 6 S的最小值为332. 故答案为：332. 考点：等比数列的前 n 项和 【变式 1-3】设 n S是等比数列 n a的前 n 项和，0 n a，若52 36 SS，则 69 SS 的最 小值为 解答：设等比数列 n a的公比 q0，q1. 52 36 SS， 5 1 ) 1( 1 ) 1( 3 1 6 1 q qa q qa . 5 1 ) 1( 23 1 q qa .q1. 则10 1

7、 1 ) 1(5 1 5 1 ) 1( 3 3 3 6 6 3 1 69 q q q q q q qa SS 201025 故答案为：20 考点：数列的求和 【例 2】已知数列 n a满足1 1 a， 2 1 2 a，且)2(2)( 1111 naaaaa nnnnn ，则 2015 a= 解答：由)2(2)( 1111 naaaaa nnnnn ，得： 即 11 1111 nnnn aaaa . . 11 112 nnn aaa 1 1 a， 2 1 2 a， 数列 1 n a 是以 1 为首项，以1 11 21 aa 为公差的等差数列。 n a n 1 ， 则 n an 1 . 2015

8、1 2015 a. 故答案为： 2015 1 考点：数列递推式 【变式 2-1】对于数列 n a，定义数列 n b满足：)( * 1 Nnaab nnn ，且 )( 1 * 1 Nnbb nn ，1 3 a，1 4 a，则 1 a 解答：)( * 1 Nnaab nnn ，1 3 a，1 4 a，则2 343 aab. 1 1 nn bb，数列 n b是等差数列，公差为 1. 51) 3( 3 nnbbn. b2=a3a2=1a2=3，解得 a2=4. b1=a2a1=4a1=4，解得 a1=8. 故答案为：8. 考点：数列递推式 【变式 2-2】已知数列 n a满足),(2 * 21 RkN

9、nkaaa nnn ，且2 1 a， 4 53 aa. (1)若 k=0，求数列 n a的前 n 项和 n S； (2)若1 4 a，求数列 n a的通项公式 n a. 解答：(1)若 k=0，则数列 n a满足),(2 * 21 RkNnkaaa nnn ， 数列 n a是等差数列，设公差为 d， 2 1 a，4 53 aa. 2 2+6d=4，解得 d= 3 4 . 3 82 2 ) 1( 3 4 2 2 nnnn nSn . (2),(2 * 21 RkNnkaaa nnn ，4 53 aa.1 4 a， 则kaaa 534 2， 2=4+k， 解得 k=2. 数列 n a满足22 21

10、 nnn aaa， 当 n2 时，22 11 nnn aaa， 相减可得：)()()(2 1211 nnnnnn aaaaaa， 令 nnn aab 1 ， 则 11 2 nnn bbb. 数列 n b是等差数列，公差=2)()( 344534 aaaabb. 首项为 121 aab， 232 aab， 343 aab， 由 312 2bbb， 解得3)( 3 23 aa，1 231 aab. 32)2)(2( 1 nnbbn. 32 1 naa nn . 14 2 nnan 考点：数列递推式， 数列的求和 【变式 2-3】已知数列 n a的前 n 项和为 n S，3 1 a，且对任意的正整数

11、 n，都有 1 1 3 n nn SS，其中常数0.设)( 3 * Nn a b n n n (1)若3，求数列 n b的通项公式； (2)若1且3，设)(3 3 2 * Nnac n nn ，证明数列 n c是等比数列； (3)若对任意的正整数 n，都有3 n b，求实数的取值范围 解答：(1) 1 1 3 n nn SS， 当2n时， n nn SS3 1 ， 从而 * 1 , 2,32Nnnaa n nn 又在 1 1 3 n nn SS中，令 n=1，可得 1 12 32 aa，满足上式， * 1 , 2,32Nnnaa n nn 当3时， * 1 ,323Nnaa n nn ， 从而

12、 3 2 33 1 1 n n n n aa ，即 3 2 1 nn bb， 又1 1 b，所以数列 n b是首项为 1，公差为 3 2 的等差数列， 3 12 n bn. (2)证明：当0且1且3， 1 3 3 2 n n nn cac 又0 3 ) 1(3 3 6 3 1 c 所以 1 3 ) 1(3 n n c （3）在(2)中，若 =1，则0 n c也适合，当 3 时， 1 3 ) 1(3 n n c . 从而由(1)和(2)可知： 3 3 ,3 3 2 3 ) 1(3 ,3) 12( 1 1 nn n n n a. 当 =3 时， 3 12 n bn，显然不满足条件，故 3. 当 3

13、 时， 3 2 ) 3 ( 3 1 1 n n b. 若 3 时，0 3 1 ， 1 nn bb，*Nn，), 1 n b，不符合，舍去。 若 01 时，0 3 1 ，0 3 2 ， 1 nn bb，*Nn，且0 n b. 只须31 3 1 1 a b即可，显然成立。故 01 符合条件； 若 =1 时，bn=1，满足条件。故 =1 符合条件； 若 10.故 bn1 ， 3 2 )，要使3 n b成立，只须 3 2 3 即可。 于是 13 时，0 3 1 ， 1 nn bb，*Nn，), 1 n b，不符合，舍去。 若 01 时，0 3 1 ，0 3 2 ， 1 nn bb，*Nn，且0 n b

14、. 只须31 3 1 1 a b即可，显然成立。故 01 符合条件； 若 =1 时，bn=1，满足条件。故 =1 符合条件； 若 10.故 bn1 ， 3 2 )，要使 bn3 成立，只须 3 2 3 即可。 于是 1m2)，使得 2 S， 2 SSm， mn SS 成等比数列?若存在，求出 所有的 m，n；若不存在，说明理由 解答：(1)设数列 n a的公差为 d. 132 35 aa，16 4 S， 1664 13)2()4(2 1 11 da dada ,解得 a1=1,d=2, an=2n1, 2 nSn. (2)当 n 为偶数时,设 n=2k,*Nk， 则 T2k=(a2a1)+(a

15、4a3)+(a2ka2k1)=2k. 代入不等式 11 1 2) 1( n n n nn aaT,得 2k4k,从而 0,f(k)是递增的,f(k)min=2， 2. 当 n 为奇数时,设 n=2k1,*Nk， 则 T2k1=T2k(1)2ka2k=2k(4k1)=12k， 代入不等式 11 1 2) 1( n n n nn aaT,得 (12k) k 4. *Nk, k 4的最大值为4，所以 4. 综上, 的取值范围为4m2)，使得 2 S， 2 SSm， mn SS 成等比数列， 则)()( 2 2 2mnm SSSSS,即(m24)2=4(n2m2)， 4n2=(m22)2+12,即 4

16、n2(m22)2=12, 即(2nm2+2)(2n+m22)=12. nm2,n4,m3,2n+m2215. 2nm2+2 是整数,等式(2nm2+2)(2n+m22)=12 不成立， 故不存在正整数 m,n(nm2),使得 2 S， 2 SSm， mn SS 成等比数列. 考点：数列的求和， 等比数列的通项公式 【巩固运用】 1、 已知等差数列 n a的公差d为整数,且2 2 kak, 2 2 )2( ka k ,其中k为常数且*Nk (1)求 k 及 n a (2)设1 1 a, n a的前 n 项和为 n S,等比数列 n b的首项为 1,公比为 q(q0),前 n 项和为 n T, 若

17、存在正整数 m,使得 3 2 T S S m ，求 q. 解答： (1)等差数列 n a的公差 d 为整数,且2 2 kak, 2 2 )2( ka k ,其中 k 为常数且*Nk， a1+(k1)d=k2+2,a1+(2k1)d=(k+2)2,解得 d=4+2k，k=1 或 2， 当 k=1 时,d=6,a1=3,an=3+6(n1)=6n3； 当 k=2 时,d=5,a1=1,an=1+5(n1)=5n4. (2)a11,an=6n3,Sn=n(3+6n3)2=3n2. 3 2 T S S m , 2 2 3 1 4 qq m T. 整理为：q2+q+14m2=0,=14(14m2)0,解

18、得 m2163,*Nm，m=1 或 2. 当 m=1 时,q2+q3=0,q0,解得 q= 2 113 . 当 m=2 时,q2+q=0，q0，舍去。 综上可得：q= 2 113 . 考点：数列的求和, 等差数列的通项公式 2、已知数列 n a, n b满足 nnn baS)2(2,其中 n S是数列 n a的前 n 项和。 (1)若数列 n a是首项为 3 2 ,公比为 3 1 的等比数列,求数列 n b的通项公式； (2)若nbn,3 2 a,求数列 n a的通项公式； (3)在(2)的条件下,设 nnn bac ,求证：数列 n c中的任意一项总可以表示成该数列其他两项 之积 解答：(1

19、) nn n a) 3 1 (2) 3 1 ( 3 2 1 ，) 3 1 (1 2 1 n n S 2 1 2 2 n n n a S b (2)若 bn=n,则 2Sn=n an+2n,2Sn+1=(n+1)an+1+2， 两式相减得 2an+1=(n+1)an+1n an+2,即 n an=(n1)an+1+2， 当 n2 时,(n1)an1=(n2)an+2， 两式相减得(n1)an1+(n1)an+1=2(n1)an,即 an1+an+1=2an, 又由 2S1=a1+2,2S2=2a2+4 得 a1=2,a2=3， 所以数列 n a是首项为 2，公差为 32=1 的等差数列， 故数列

20、 n a的通项公式是 an=n+1. (3)证明：由(2)得 n n cn 1 对于给定的*Nn，若存在ntk,，*,Ntk，使得 tkn ccc 只需 t t k k n n111 即) 1 1 () 1 1 ( 1 1 tkn 即 nk kn t ) 1( 取1nk，则)2( nnt 对数列 n c中的任意一项 n n cn 1 ，都存在 nn nn ccc 2 1 2 考点：数列递推式, 等比数列的通项公式 3、已知数列 n a的各项都为自然数，前 n 项和为 n S，且存在整数，使得对任意正整数 n 都有 nn aS)1 (恒成立. (1)求值，使得数列 n a为等差数列，并求数列 n

21、 a的通项公式； (2)若数列 n a为等比数列，此时存在正整数 k，当jk 1时，有 j ki i a2016，求 k 解答：(1)若数列 n a是等差数列，必有 312 2aaa，当0时，0 4321 aaaa， 满足 312 2aaa，此时 nn aS ，从而 11 nn aS，,故0 n a， 当0时，1 1 a， 1 1 2 a， 2 3 ) 1 1 ( a， 由 312 2aaa， 得 2 ) 1 1 (1) 1 1 (2 ， 该方程无解， 综上所述，可得：0时，数列 n a为等差数列，其中0 n a. （2）当（1）可得：当0时，不是等比数列， 当1时，1 1 S，则1 11 S

22、a，)2(0 1 nSSa nnn ，不是等比数列， 当0，且1时，得 1 1 1 n n a a ， n a为公比是 1 1q等比数列， 又对任意 n，*Nan，则Nq 1 1， 故仅有1，2q时，满足题意，又由（1）得1 1 a，故 1 2 n n a， 因为2016 12 ) 12(2 11 kjkj ki i a，所以7322016) 12(2 2311 kjk ， 21kj，12 1 kj 为大于 1 的奇数， 31 22 k ，k=6，则7312 23 j ，j=11，故 仅存在 k=6 时，j=11， j ki i a2016. 考点：等差、 等比数列的通项公式 4、已知数列 n

23、 a满足： 2 1 1 a,nqpaa n nn 1 1 3,*Nn，p，qR. (1)若 q=0,且数列 n a为等比数列，求 p 的值； (2)若 p=1,且 k a为数列 n a的最小项，求 q 的取值范围 解答：(1)当 q=0 时,an+1an= 1 3 n pnq= 1 3 n p， 2 1 1 a,a2=a1+ 1 3 n p= 2 1 +p,a3= 2 1 +4p， 由数列 n a为等比数列,得 31 2 2 aaa， 即)4 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 pp，解得：p=0 或 p=1； (2)由 p=1,得 an+1an= 1 3 n nq， 又 2 1 1 a,

24、qqa 2 3 1 2 1 2 ,qa3 2 9 3 ,qa6 2 27 4 . 由 a1a4,a2a4,a3a4，解得：q3； 又 an+1an= 1 3 n nq0 对于任意的 n4 恒成立， n q n 1 3 在 n4 时恒成立， 求导可知, x xf x 1 3 )( 在 x4 时为增函数， 4 27 q. 4 27 3 q 考点：数列递推式, 数列的函数特性 5、已知数列 n a, n b均为各项都不相等的数列, n S为 n a的前n项 和,*)( 11 NnSba nnn . (1)若1 1 a, 2 nbn,求 i a的值； (2)若 n a是公比为q的等比数列,求证：存在实

25、数,使得 n b为等比数列； (3)若 n a的各项都不为零, n b是公差为d的等差数列,求证： 2 a, 3 a, n a成 等差数列的充要条件是 2 1 d 解答：(1)1 1 nnn Sba，1 1 a， 2 n bn， 4 1 1 1 2 b a a，6 1 2 2 3 b S a，8 1 3 3 4 b S a (2)证明：设) 1( 1 1 qqaa n n ,则 q qa S n n 1 )1 ( 1 1 1 nnn Sba n n n n n qaq qqaa a S b 1 11 1 )1 ( 11 1 11 1 111 )1()1( )1(1 n n n n qaqqqa

26、 qaqqa b b 为常数 01q，即 q 1 1 故存在实数 q 1 1 ，使得 n b为等比数列 (3)数列 n b是公差为 d 的等差数列 当2n时， nnnnn adbaba )( 1 即 nnnn adbaa)1 ()( 1 数列 n a的各项都不为零 0 1 nn aa，01d 当2n时， nn nn aa a d b 1 1 当3n时， 1 11 1 nn nn aa a d b 两式相减得，当3n时， d d d bb aa a aa a nn nn n nn n 11 1 1 1 1 先证充分性： 由 2 1 d可知1 1 1 1 nn n nn n aa a aa a ,

27、 当 n3 时, 1 1 1 1 nn n nn n aa a aa a a2,a3,an成等差数列； 再证必要性： a2,a3,an成等差数列； 当 n3 时, 11 nnnn aaaa d d aa a aa a nn n nn n 1 1 1 1 1 2 1 d 综上所述,a2,a3,an成等差数列的充要条件是 2 1 d 考点：数列递推式, 等比数列的通项公式 【拓展延伸】 1、若数列 n a中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称 n a为“等比源数列” (1)已知数列 n a中,2 1 a,12 1 nn aa. 求 n a的通项公式； 试判断 n a是否为“等比源数列”，并证

28、明你的结论。 (2)已知数列 n a为等差数列,且0 1 a,*)(NnZan,求证： n a为“等比源数列” 解答：(1)12 1 nn aa,) 1(21 1 nn aa， 数列1 n a是等比数列，首项为 1，公比为 2. 1 21 n n a， 12 1 n n a 假设 n a为“等比源数列”， 则此数列中存在三项： nmk aaa，kmn. 满足 knm aaa 2 ， (2m1+1)2=(2k1+1)(2n1+1)， 化为：22m2+2m=2k+n2+2n1+2k1， 2mk+1(2m2+1)=2n1+2nk+1， 可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立。 故 n a不是“等比源数列”。 (2)设等差数列 n a的公差为 d， 则dnaan) 1( 1 ,0 1 a,*)(NnZan， 假设存在三项使得)( 2 mnkaaa mkn . a1+(n1)d2=a1+(k1)da1+(m1)d， 展开：2a1(n1)+(n1)2d=a1(k1)+(m1)+(k1)(m1)d， 当 n1 既是(k1)与 m1 的等比中项,又是(k1)与 m1 的等差中项时，原命题成立。 考点：数列的应用