高三二轮复习专题之平面向量的综合应用.doc

1、平面向量的综合应用平面向量的综合应用 【课堂导入】 如图，在等腰三角形 ABC 中，已知 AB=AC=1，A=120，E，F 分别是边 AB，AC 上的点， 且AE=mAB，AF=nAC， 其中 m， n(0， 1).若 EF， BC 的中点分别为 M， N， 且 m+4n=1， 则|MN|的最小值为 . 解答：连接 AM、AN， 等腰三角形 ABC 中，AB=AC=1，A=120， ABAC=|AB| |AC|cos120= 2 1 AM 是 AEF 的中线， AM= 2 1 (AE+AF)= 2 1 (mAB+nAC) 同理，可得AN= 2 1 (AB+AC)， 由此可得MN=ANAM=

2、2 1 (1m)AB+ 2 1 (1n)AC 2 .MN= 2 1 (1m)AB+ 2 1 (1n)AC2= 4 1 (1m)2+ 2 1 (1m)(1n)ABAC+ 4 1 (1n)2 = 4 1 (1m)2 4 1 (1m)(1n)+ 4 1 (1n)2， m+4n=1，可得 1m=4n 代入上式得 2 .MN= 4 1 (4n)2 4 1 4n(1n)+ 4 1 (1n)2= 4 21 n2 2 3 n+ 4 1 m，n(0，1)， 当 n= 7 1 时， 2 .MN的最小值为 7 1 ，此时|MN|的最小值为 7 7 . 故答案为： 7 7 考点：向量在几何中的应用 【知识讲解】 1、

3、平面向量的线性运算： 2、平面向量的坐标运算： 3、平面向量的数量积： 【典例分析】 【例 1】平面内两个非零向量、，满足|=1，且与的夹角为 135，则| 的取值范围是 解答： 令用AB=、AC=，如下图所示： 则由BC=， 又与的夹角为 135， ABC=45 又由 AC=|=1 由正弦定理 45sin | sin | C 得： |=2sinC2 |(0，2 故|的取值范围是(0，2 故答案：(0，2 考点：数量积表示两个向量的夹角 【变式 1-1】已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是相互垂直的单位向量， 且(ac) (b3c)=1，|c|的最大值为 解答： a，b是相互垂直

4、的单位向量， 不妨设a=(1，0)，b=(0，1)， 设c=(x，y)， ac=(1x，y)，3bc=(x，3y)， (ac) (3bc)=1， (1x)xy(3y)=1， x2x+y23y=1， (x 2 1 )2+(y 2 3 )2=2， 向量c的轨迹为以( 2 1 ， 2 3 )为圆心，以2为半径的圆， 圆心到原点的距离为 1， |c|的最大值为 1+2 故答案为：1+2 考点：平面向量数量积的运算 【变式 1-2】已知|OA|=|OB|=2，且OAOB=1，若点 C 满足|OA+CB|=1，则|OC|的 取值范围是 解答： OAOB=1，22 cos=1，cos=12. OA，OB的夹

5、角为 3 . 设OA=(2， 0)，OB=( 2 2 ， 6 2 )， 设OA+OB=OD.则OD=OA+OB=( 2 23 ， 6 2 )， |OD|=6，|OA+CB|=1，|OA+OBOC|=1，即|ODOC|=|CD|=1. C 在以 D 为圆心，以 1 为半径的圆上， |OC|的最小值为61，|OC|的最大值是6+1. 故答案为61，6+1. 考点：平面向量数量积的运算 【例 2】已知向量a，满足a=(4，3)，|b|=1，|ab|=21，则向量a，b的夹角 为 解答：|a|=916=5， |ab|=21， 2 . a+2ab+ 2 . b=262ab=21， ab= 2 5 . c

6、os= |ba ba = 2 1 . 向量a，b的夹角为 3 . 故答案为： 3 . 考点：平面向量数量积的运算 【变式 2】已知平面向量a=( x 4， x 2)，b=(1， x x 2 22 )，xR，若ab，则 |ab|= 解答：平面向量a=( x 4， x 2)，b=(1， x x 2 22 )，xR， 若ab，则 x 4+ x 22=0，解得： x 2=1， a=(1，1)，b=(1，1) ab=(0，2)， |ab|=2， 故答案为：2. 考点：向量的模 【例 3】如图，在 ABC 中，已知BAC= 3 ，AB=2，AC=3，DC=2BD，AE=3，则 |BE|= 解答： BD=

7、3 1 BC，AE=AD， BE=AEAB= 4 3 AD 4 3 AB= 4 3 (AB+BD)AB= 4 1 AB+ 4 3 BD= 4 1 AB+ 4 3 3 1 BC= 4 1 AB+ 4 3 3 1 (ACAB)= 2 1 AB+ 4 1 AC 2 .BE=( 2 1 AB+ 4 1 AC)2= 4 1 2 .AB 4 1 ABAC+ 16 1 2 .AC= 16 13 |BE|= 4 13 故答案为： 4 13 . 考点：平面向量数量积的运算 【变式 3-1】在梯形ABCD 中，DCAB2，6|BC，P 为梯形ABCD 所在平面上一 点，且满足 04DPBPPA，|DPDACBDA

8、，Q 为边 AD 上的一个动点，则 | PQ的最小值为 解答：DCAB2，EBAB2，EBDC ，四边形 DEBC 为平行四边形 ，CBDE ，04DPBPPA，PEBPAP2 DPPE2，6|BC，DP2，4PE ， 3 1 cos， 3 22 sin 当ADPD时，| PQ最小， . 考点：向量的几何意义 【变式 3-2】O 内接 ABC 中，M 是 BC 的中点，AC=3.若AOAM=4，则 AB= 解答：因为 O 是 ABC 的外心， O 在 AB、AC 边的射影分别是 AB、AC 的中点， AOAC=|AO|AC|cosOAC= 2 1 |AC|2= 2 9 同理，得到AOAB= 2

9、 1 |AB|2， AM= 2 1 (AB+AC)， AOAM= 2 1 (AOAB+AOAC) = 4 1 |AB|2+ 2 1 2 9 =4， |AB|=7. 故答案为：7. 考点：平面向量数量积的运算 【例 4】 在 ABC 中，BD=2DC， 若AD=1AB+2AC， 则 12的值为 解答：如图所示， BD=2CD，BC=ACAB. AD=AB+BD=AB+ 3 2 BC=AB+ 3 2 (ACAB)= 3 1 AB+ 3 2 AC， 而AD=1AB+2AC， 1= 3 1 ，2= 3 2 . 12= 3 1 3 2 = 9 2 . 故答案为： 9 2 考点：向量加减混合运算及其几何意

10、义 【变 4-1】如图，已知 ABC 中，AB=AC=4，BAC=90，D 是 BC 的中点，若向量 AM=AB 4 1 +mAC，且AM的终点 M 在 ACD 的内部(不含边界)，则AMBM的取值 范围是 解答： 以 AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，作图如右图， 点 A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，D(2，2)， 则AM=AB 4 1 +mAC= 4 1 (4，0)+m(0，4)=(1，4m)， 则 M(1，4m)， 又AM的终点 M 在 ACD 的内部(不含边界)， 14m3， 4 1 m 4 3 ， 则AMBM=(1，4m) (3，4m) =16m23， 4 1 m 4 3

11、 ， 216m23b， MN=2， (ab)2+(ba)2=2， ab=1， a=b+1， 0b1 CNCM =(a，2a) (b，2b)=2ab2(a+b)+4=2(b2b+1)，0b1 当 b=0 或 b=1 时有最大值 2； 当 b= 2 1 时有最小值 2 3 CNCM 的取值范围为 2 3 ，2 故答案为 2 3 ，2 考点：平面向量数量积的运算 6、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆(x1)2+(y1)2=4，C 为圆心，点 P 为圆上任意一点， 则CPOP的最大值为 解答： OP=OC+CP OPCP=(OC+CP)CP=OCCP+ 2 .CP 点 P 是圆 C (x1)2+(

12、y1)2=4 上的点 CP的长度等于圆 C 的半径，即|CP|=2，可得CP 2=|CP |2=4 又当OC与CP方向相同时，OCCP=|OC| |CP|取得最大值 当 P 点在 OC 延长线上时，即点 P 与 P0(1+2，1+2)重合时， OCCP的最大值为|OC| |CP|=22 因此CPOP的最大值为 22+4 故选：22+4 考点：平面向量数量积的运算 7、在 ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 DC=2BD，AB：AD：AC=3：k：1，则实数 k 的取值 范围为 解答：AD= 3 2 AB+ 3 1 AC， 两边平方得：AD 2= 9 4 AB 2+ 9 1 AC 2+ 9

13、4 |AB| |AC|cos，(0，)， 即 k2= 9 4 9+ 9 1 1+ 9 12 cos= 9 37 + 9 12 cos( 9 25 ， 9 49 )， k0， k( 3 5 ， 3 7 ). 故答案为：( 3 5 ， 3 7 ) 考点：平面向量数量积的性质及其运算律 【拓展延伸】 1、 已知边长为 6 的正三角形 ABC，BD=BC 2 1 ，BE=AC 3 1 ， AD 与 BE 交于点 P， 则PDPB 的值为 解答： 等边三角形 ABC 的边长为 6，BD= 2 1 BC，AE= 3 1 AC， 以 BC 为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴， B(3，0)，C(3

14、，0)，A(0，33)，D(0，0)， E( 3 302 ， 3 0332 )=(1，23)， 直线 BE 的方程为 y= 2 3 (x+3)， 令 x=0，得 y= 2 33 ， P(0， 2 33 )， PB=(3， 2 33 )，PD=(0， 2 33 )， PDPB=30+( 2 33 )( 2 33 )= 4 27 . 故答案为： 4 27 考点：平面向量数量积的运算 2、已知平行四边形 ABCD 中，AD=2，60BAD，若 E 为 DC 中点，且1BDAE， 则BDBE 平行四边形 ABCD 中，AD=2，60BAD，若 E 为 DC 中点，且1BDAE， 则1)()(ABADD

15、EAD， 22 . 2 1 2 1 .ABABADABADAD 解得2|AB BDBE)() 2 1 ()()(ABADABADABADCEBC=3 答案：3 考点：平面向量数量积的运算 3、设点 O 是 ABC 的三边中垂线的交点，且 AC22AC+AB2=0，则AOBC的范围 是 解答：设圆的半径为 R，AOB 为 ，AOC 为 ，则 AB2=AO2+BO22AO BOcos=2R22R2cos，AC2=AO2+CO22AO CO cos=2R22R2cos AOBC=AO (BO+OC)=AOBO+AOBO=R2cosR2cos= 2 22 ABAC AC22AC+AB2=0， 2 22

16、 ABAC =AC2AC=(AC 2 1 )2 4 1 AC22AC=AB20，0AC2 4 1 2 22 ABAC 2 BCAO的范围是 4 1 ，2) 故答案为： 4 1 ，2). 考点：三角形五心， 平面向量数量积的运算 4、如图，在同一平面内，点 A 位于两平行直线 m，n 的同侧，且 A 到 m，n 的距离分别为 1， 3.点 B. C 分别在 m、n 上，|AB+AC|=5，则ABAC的最大值是 解答： 由点 A 位于两平行直线 m，n 的同侧，且 A 到 m，n 的 距离分别为 1，3， 可得平行线 m、n 间的距离为 2， 以直线 m 为 x 轴，以过点 A 且与直线 m 垂直

17、的直线为 y 轴 建立坐标系，如图所示： 则由题意可得点 A(0，1)，直线 n 的方程为 y=2， 设点 B(a，0)、点 C(b，2)， AB=(a，1)、AC=(b，3)， AB+AC=(a+b，4). |AB+AC|=5，(a+b)2+16=25，a+b=3，或 a+b=3. 当 a+b=3 时，ABAC=ab+3=a(3a)+3=a2+3a+3， ，它的最大值为 4 912 = 4 21 . 当 a+b=3 时，ABAC=ab+3=a(3a)+3=a23a+3， ，它的最大值为 4 912 = 4 21 . 综上可得，ABAC的最大值为 4 21 ， 故答案为： 4 21 考点：平面

18、向量数量积的运算 5、如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB=90，AD=AB=4，CD=1，动点 P 在边 BC 上，且满足AP=mAB+nAD(m，n 均为正实数)，则 nm 11 的最小值为 解答：AC=AD+DC= 4 1 AB+AD，BC=ACAB= 4 3 AB+AD， 设BP=BC= 4 3 AB+AD(01)， 则AP=AB+BP=(1 4 3 )AB+AD. AP=mAB+nAD，m=1 4 3 ，n=. nm 11 = 34 4 + 1 = ) 4 64 )4(3(28 1 4 347 . 当且仅当 3(+4)= 4 64 即(+4)2= 3 64 时取等号。 故答

19、案为： 4 347 . 考点：平面向量的基本定理及其意义 6、在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A，B 分别为 x 轴，y 轴上一点，且 AB=2，若点 P(2， 5)，则|AP+BP+OP|的取值范围是 解答：根据题意，设点 A(x1，0)，B(0，y2)， AB=2， 2 1 x+ 2 2 y=4； 由点 P(2，5)， |AP+BP+OP=(2x15)+(25y2)+(25)=(6x1，35y2)； (|AP+BP+OP)2=(6x1)2+(35y2)2=8112x165y2+( 2 1 x+ 2 2 y)=8512x165y2； 设 x1=2cos，y2=2sin，0，2)； 则 8512x165y2=8524cos125sin=8536sin(+)，其中 =tan 2 5 ； 当 sin(+)=1 时，|AP+BP+OP|取得最小值3685=7， 当 sin(+)=1 时，|AP+BP+OP|取得最大值3685=11； |AP+BP+OP|的取值范围是7，11. 故答案为：7，11. 考点：向量的模