二次函数零点的分布专题训练.docx

1、试卷第 1 页，总 2 页 二次函数零点的分布专题训练二次函数零点的分布专题训练 一、单选题一、单选题 1若方程 2 (1)230kxx有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（） A 4 3 k B 4 3 k C 4 3 k ，且1k D 4 3 k ，且1k 2已知函数 2 x e f x x （其中无理数2.718e） ，关于x的方程 1 f x f x 有四个不等的实根，则实数的取值范围是（） A0, 2 e B2,C 2 , 2 e e D 2 2 4 , 4 e e 3已知函数 10 ,0 lg ,0 x x f x x x ，函数 2 4g xfxf xt tR，若函数 g

2、x有四个零点，则实数t的取值范围是（） A3,4 B lg5,4 C3,4lg5 D3,4 4设 ln ,0 ( ) 2020 ,0 ex x f xx x x ， 2 ( )( )(21) ( )2g xfxmf x，若函数( )g x恰有 4 个不同的零点，则实数m的取值范围为（） A0m B1m C2m D1m 5 函数 2 3 x f xxe， 关于x的方程 2 10fxmf x 恰有四个不同实数根， 则正数m的取值范围为( ) A0,2 B2, C 3 3 6 0, 6 e e D 3 3 6 , 6 e e 6已知 ( )exf xx ，又 2 ( )( )( ) 1()g xfx

3、tf xtR有四个零点，则实数t的取值 范围是（ ） A 2 1,e e B 2 1 2, e e C 2 1, 2e e D 2 1 , e e 7 已知函数 1 2 ,0 ( ) 21,0 x ex f x xxx ， 关于x的方程 2 3 ( )0()(ff xaxaR 试卷第 2 页，总 2 页 有8个不等的实数根，则a的取值范围是（ ） A 13 (3,) 4 B(2,3) C 4 ( ,4) 3 D 9 2, 4 8已知函数 1 2 22,0, ( ) log,0, x x f x x x 若关于x的方程 2 ( )2( )30f xaf xa有六个 不相等的实数根，则实数a的取值

4、范围为（） A 16 3, 5 B 16 3, 5 C(3,4) D3,4 二、填空题二、填空题 9 2 1 ( ) 4 f xxaxb（, a b是正实数） 只有一个零点， 则ab的最大值为_ 10若方程x 2(k2)x2k10 的两根中，一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之 间，则实数k的取值范围是_ 11关于 x 的方程 mx22(m3)x2m140 有两实根，且一个大于 4，一个小于 4， 则 m 的取值范围为_ 12已知函数 cosf xxx，若方程 2 30fxaf x 有四个不等实根，则实数a 的取值范围为_. 13函数 f x满足 2 1,0 ( ) ,0 x x

5、x f x e e x x ， ，若方程 22 ( )2( )20f xmf xm有 四个不相等的实数根，则实数m的取值范围为_ 三、解答题三、解答题 14若函数 2 35yxxa的两个零点分别为 12 ,x x，且有 12 20,13xx ，试 求出a的取值范围 15 关于 x的方程4(3) 20 xx mm有两个不等的实数根， 求实数 m的取值范围. 16已知函数 2 1 ( ) 2 f xxmxm在区间(0,4)上有两个不同的零点，求实数 m的取 值范围 17试讨论当实数 k 取不同值时，关于 x 的方程 2 2121 xx k 的解的个数 答案第 3 页，总 15 页 参考答案参考答案

6、 1C 【解析】 【分析】 由题意可得 10 4 1210 k k ，从而可求出实数k的取值范围. 【详解】 解：由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得 10 4 1210 k k ，解得 4 3 k ，且1k . 故选:C. 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的分布问题.本题的关键是由不同两根得判别式大于零.本题的易 错点是忽略了1k 这一条件. 2C 【解析】 【分析】 利用导数研究 f x的单调性和极值，由此画出 f x的图像.令 tg xf x，将方 程 1 f x f x 有四个不等的实根转化为 2 10tt 在 0, 22 ee 上各 有一实根来

7、求解，结合二次函数的根的分布列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】 依题意可知函数 2 x e f x x 的定义域为 ,00,.且 3 2 x ex fx x .所以 f x在 ,0 , 2,上递增，在0,2上递减，且 2 2 4 e f，由此画出 f x的图像 如下图所示. 令 tg xf x，则 txg的单调性与 f x相同，且 2 2 e g. 答案第 4 页，总 15 页 关于x的方程 1 f x f x 有四个不等的实根， 所以 1 t t ， 即 2 10tt 在 0, 22 ee 上各有一实根.令 2 1,010h ttth ，所以0 2 e h ，即 2 10 42 e

8、e ，所以 2 2 e e .所以实数的取值范围是 2 , 2 e e . 故选：C 【点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值， 考查根据方程零点的个数求参数的取值 范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 3A 【解析】 【分析】 做出 f x的图象，判断 f xm的根的情况，根据 0g x 的根的个数判断 2 40mmt 的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t的范围. 【详解】 解：作出函数 10 ,0 lg ,0 x x f x x x 的图象如图， 答案第 5 页，总 15 页 令 f xm，则 0g x 化为 2 40mmt

9、， 由图象可知当m1时， f xm有两解， g x有四个零点， 2 40mmt 在1，）有两个不等实数根， 2 1640 21 140 t m t ，解得34t ， 实数t的取值范围是3,4. 故选：A. 【点睛】 本题考查了函数零点的个数判断，基本初等函数的性质，属于中档题. 4A 【解析】 【分析】 求函数 ( )fx ， 研究函数的单调性和极值， 作出函数 ( )f x的图象， 设( )tf x ， 若函数( )g x 恰有 4 个零点，则等价为函数 2 ( )(21)2h ttmt恰有两个零点，且满足1t ，利用一元 二次方程根的分布进行求解即可 【详解】 解：当0 x时， 2 (1)

10、 ( ) elnx fx x ， 由( )0fx得：10lnx，解得0 xe， 由 ( )0fx 得：10lnx，解得xe， 即当xe时，函数 ( )f x取得极大值，同时也是最大值， 1f e ， 当x ，( )0f x ， 当0 x ， ( )f x ， 作出函数 ( )f x的图像如图， 答案第 6 页，总 15 页 设( )tf x，则 2 ( )( )(21) ( )2g xfxmf x，等价为 2 ( )(21)2h ttmt， 函数( )g x恰有 4 个不同的零点等价于 2 ( )(21)2h ttmt有两个零点，且1t ， 因为 2 ( )(21)2h ttmt过定点0, 2

11、，开口朝上， 所以只需 2 (1)1(21) 1 220hmm ，即0m 故选：A 【点睛】 本题主要考查函数与方程的应用， 利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及求函数的 导数，研究函数的 ( )f x的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题 5D 【解析】 【分析】 利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论 2 10tmt 的根的情况，结合根的 分布求解. 【详解】 2 2331 xx xxexfexx，令 0fx，得3x 或 1x ， 当3x时， 0fx ，函数 f x在, 3 上单调递增，且 0f x ; 当31x 时， 0fx ，函数 f x在3,1上单调递减; 当1x 时

12、， 0fx ，函数 f x在 1,上单调递增. 所以极大值 3 6 3f e ，极小值 12fe，作出大致图象： 答案第 7 页，总 15 页 令 f xt，则方程 2 10tmt 有两个不同的实数根， 且一个根在 3 6 0, e 内，另一个根在 3 6 , e 内， 或者两个根都在2 ,0e内. 因为两根之和m为正数，所以两个根不可能在2 ,0e内. 令 2 1g xxmx，因为 010g ，所以只需 3 6 0g e ，即 63 366 10 m ee ，得 3 3 6 6e m e ，即m的取值范围为 3 3 6 , 6 e e . 故选：D 【点睛】 此题考查复合函数零点问题，根据零

13、点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数 2 3 x f xxe图象特征，结合二次方程根的分布知识求解. 6A 【解析】 【分析】 由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数 f x的性质， 然后结合二次函数的性质研 究复合函数 g x的性质即可确定实数t的取值范围. 【详解】 答案第 8 页，总 15 页 ,0 ( )e ,0 x x x xex f xx xex ， 当 x0时,( ) 0 xx fxexe 恒成立,所以 f(x)在0,+)上为增函数； 当 x0,f(x)为增函数， 当 x(1,0)时,f(x)=ex(x+1)0,则只需 1 0h e ,即 2 11 10t ee ，解得 2

14、 1e t e . 故选 A. 【点睛】 本题主要考查导函数研究函数的单调性， 导函数研究函数的零点等知识， 意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 7D 【解析】 【分析】 根据题意，作出函数 f x的图象，令 f xt， 2 3g ttta，结合函数 f x的图 象可知，只需函数 g t在区间1,2上与t轴有两个不同的交点，利用二次函数的性质求出 答案第 9 页，总 15 页 实数a的取值范围即可. 【详解】 根据题意，作出函数 f x的图象如图所示： 令 f xt，由图可知，关于t的方程 2 30tta在区间 1,2上有两个不等的实数根， 令 2 3g ttta，则函数 g t在区间1

15、,2上与t轴有两个不同的交点， 所以 11 30 2460 399 0 242 ga ga ga ，解得 9 2 4 a， 所以实数a的取值范围为 9 2 4 a. 故选：D 【点睛】 本题考查分段函数图象的作法、 一元二次方程根的分布问题及一元二次函数的性质； 考查数 形结合思想、换元思想和运算求解能力；正确作出函数 f x的图象和熟练掌握一元二次函 数的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 8B 【解析】 【分析】 令 ( )f xt ，则 2 230tata，由图象分析可知 2 230tata在(2,4上有两个不同 的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【详解】 答案第

16、 10 页，总 15 页 令 ( )f xt ，则 2 230tata，如图 yt 与( )yf x顶多只有 3个不同交点，要使关于x的方程 2 ( )2( )30f xaf xa有 六个不相等的实数根，则 2 230tata有两个不同的根1 2 ,(2,4t t ， 设 2 ( )23g ttata由根的分布可知， 2 4120 (2,4) (2)0 (4)0 aa a g g ，解得 16 3 5 a. 故选：B. 【点睛】 本题考查复合方程根的个数问题， 涉及到一元二次方程根的分布， 考查学生转化与化归和数 形结合的思想，是一道中档题. 9 1 16 【解析】 【分析】 先由二次函数零点

17、个数，得到 2 1 40 4 ab ，再由基本不等式，即可求出结 果. 【详解】 因为二次函数 2 1 ( ) 4 f xxaxb（, a b是正实数）只有一个零点， 所以 2 1 40 4 ab ，即41ab， 答案第 11 页，总 15 页 所以 2 1141 4 44216 ab abab ， 当且仅当 1 4 2 ab时，等号成立. 故答案为： 1 16 . 【点睛】 本题主要考查由基本不等式求积的最大值， 熟记基本不等式， 以及二次函数的零点个数问题 即可，属于常考题型. 10 1 2 ( , ) 2 3 【解析】 设f(x)x 2(k2)x2k1， 由题意知 00 10 20 f

18、f f 即 210 320 410 k k k 解得 1 2 k0 19 13 m m ，所以此时无解； 或 2 0 42(3) 42140 m mmm ，解得 0 19 13 m m ，所以 19 0 3 m； 故答案为： 19 0 3 m. 【点睛】 本题主要考查了函数与方程根的问题， 关键运用二次项的系数与特殊点的函数值的正负的关 系，属于中档题. 12 2 3,4 【解析】 【分析】 先判断 ( )f x的性质，结合方程 2 30fxaf x 有四个不等实根，可求实数a的取值范围. 【详解】 因为cos( )fxxxf x，所以 ( )f x为偶函数； 当0 x时，( )1 sin0f

19、xx ， ( )f x为增函数，所以( )(0)1f xf ； 2 30fxaf x 有四个不等实根，即 1 1fx ， 2 1f x ，且 12 f xf x，则 0 130 1 2 a a ，解得2 34a，即实数a的取值范围为 2 3,4. 【点睛】 本题主要考查函数的性质及根的分布问题， 根的分布结合根的情况列出限定条件是求解的关 键，侧重考查数学抽象的核心素养. 13 212m 或 12m 或 2m 答案第 13 页，总 15 页 【解析】 【分析】 作出函数 f x的图象，利用换元法转化为一元二次方程根的个数，利用函数与方程之间的 关系转化为二次函数，利用根的分布进行求解即可. 【

20、详解】 解：当0 x时，函数 22 (1) ( ) xxx e xeex fx xx ， 则当1x 时，( )0fx ，函数为增函数， 当01x时，( )0fx ，函数为减函数， 即当1x 时函数取得极小值，同时也是最小值(1)0fee， 画出的图象如图所示， 设( )tf x，则二次方程等价为 22 220tmtm， 设 22 g ( )22ttmtm，要使方程 22 ( )2( )20f xmf xm，有 4 个不相等的 实数根， 等价为方程 22 220tmtm有两个根， 一个根 1 (0,1t 内，一个根 2 (,0)t 或者 21 (1,)t t 或 21 0,(1,)tt , 当

21、1 (0,1t ， 2 (,0)t 时， 2 2 (0)20 (1)1 220 gm gmm ， 解得 212m ； 答案第 14 页，总 15 页 当 21 (1,)t t 时， 2 2 2 2420 2 1 2 (1)1 220 mm m gmm ， 解得： 12m ； 当 21 0,(1,)tt 时， 2 g (0)20m，解得 2m ， 将 2m 代入 22 220tmtm 得 2 2 20tt ， 则 2 2t 符合，即 2m 符合， 综合得 212m 或 12m 或 2m . 故答案为： 212m 或 12m 或 2m . 【点睛】 本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用

22、换元法转化为一元二次函数，利用根 的分布是解决本题的关键.注意利用数形结合. 14120a . 【解析】 【分析】 根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围 【详解】 令 2 35f xxxa， 则 ( 2)0 (0)0 (1)0 (3)0 f f f f 得a的取值范围是120a 故实数a的取值范围为120a. 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系， 二次函数的性质， 体现了转化的数学思 想，属于基础题 15(0,1) 答案第 15 页，总 15 页 【解析】 【分析】 利用换元法转化为一元二次方程根的问题，结合判别式与韦达定理即可求解

23、. 【详解】 令2 ,0 x tt， 则关于 x的方程4(3) 20 xx mm有两个不相等的实数根即为关于t 的方程 2 (3)0tmtm 有两个不相等的正实数根，所以 2 340, 30, 0, mm m m 解 得01m，所以实数 m的取值范围为(0,1). 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查换元法与转化思想，属于基础题. 16 32 2, 7 【解析】 【分析】 根据函数的零点分布结合草图建立不等式组即可得解. 【详解】 根据题意，抛物线与 x轴有两个不同的交点，且其横坐标都在区间(0,4)内，如图， 要得到这样的函数图像，则 m 应该满足不等式组： 2 20, 04

24、, 2 1 (0)0, 2 1 (4)1640. 2 mm m fm fmm 答案第 16 页，总 15 页 解不等式组，得 32 2 7 m 所以，实数 m 的取值范围是 32 2, 7 【点睛】 此题考查二次函数零点的分布问题， 一般用数形结合的思想来解决， 将图中抛物线的开口方 向、与 x轴的交点个数、对称轴的位置、特殊的点的位置转化成若干个不等式组成的不等式 组来解，得到所求的取值范围 17 （1）当2k或 1 4 k 时，方程有 1个解； （2）当 1 2 4 k时，方程有 2个解； （3） 当 1 4 k 时，方程无解 【解析】 【分析】 首先换元，令2xt ，将方程转化为关于t的

25、一元二次方程，然后再利用二次函数零点分布 即可求解. 【详解】 关于 x 的方程 2 2121 xx k 令2xt ，0t ， 则 2 11ttk ，即 2 320ttk， 令 2 32f tttk ，对称轴 3 2 t ， 当 020fk，即2k 时，函数只有一个正零点，即方程只有 1个解； 当0 ，即 2 34 20k，解得 1 4 k ， 此时函数只有一个正零点，即方程只有 1 个解； 当 0 00f ，即 2 34 20 20 k k ，解得 1 2 4 k， 此时函数有两个正零点，即方程有 2 个解； 当时，即 2 34 20k，解得 1 4 k ， 此时函数无零点，即方程无解； 答案第 17 页，总 15 页 综上所述，当2k或 1 4 k 时，方程有 1个解； 当 1 2 4 k时，方程有 2 个解； 当 1 4 k 时，方程无解. 【点睛】 本题考查了函数与方程、二次函数的零点分布、根据参数的取值范围确定方程根的个数，考 查了转化与化归的思想，属于中档题.