2020年全国高中数学联赛一试参考答案及评分标准（B卷）.pdf

1、1 2020 年年全国高中数学全国高中数学联合竞赛一联合竞赛一试试（B B 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. . 评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准. . 填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各题的分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. . 2. . 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，

2、解答题中第参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次， 第分为一个档次， 第 10、 11 小题小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次分为一个档次，不得增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分 1. 若实数x满足()() 248 loglog2log4xxx=+，则x = 答案答案：128 解解：由条件知 2448822 1121 loglog 2+loglog 4log+loglog 2233 xxxxx=+=+， 解得 2 log7x =，故128x = 2. 在平面直角坐标系xOy中，圆经过点(0,0),(2

3、, 4),(3,3)，则圆上的点 到原点的距离的最大值为 答案答案：2 5 解解：记(2, 4),(3,3)AB，圆经过点,O A B注意到90OBA（直线OB 与AB的斜率分别为 1 和1），故OA为圆的直径从而圆上的点到原点O 的距离的最大值为2 5OA 3. 设集合1,2,20X =，A是X的子集，A的元素个数至少是 2，且A的 所有元素可排成连续的正整数，则这样的集合A的个数为 答案答案：190 解解：每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定，其中 ,a bX ab， 这样的( , )a b的取法共有 2 20 C190种， 所以这样的集合A的个数 为 190 4. 在

4、三角形ABC中，4,5,6BCCAAB，则 66 sincos 22 AA = 答案答案： 43 64 解解：由余弦定理得 222222 5643 cos 22 5 64 CAABBC A CA AB ，所以 66224224 sincossincossinsincoscos 22222222 AAAAAAAA = 2 2222 sincos3sincos 2222 AAAA 2 2 3 1sin 4 A 2 1343 cos 4464 A 5. 设 9 元集合 i,1,2,3Aab a b=+，i 是虚数单位() 129 ,z zz=是 A中所有元素的一个排列，满足 129 zzz，则这样的

5、排列的个数 为 答案答案：8 解解：由于 1 i2i1 2i22i3i1 3i32i23i33i+ +=+=+=+， 故 123456 1 i,2i,1 2i ,22i,3 i,1 3izz zzzz= +=+=+=+， 789 ,32i, 23i ,33izzz=+= +， 由乘法原理知，满足条件的排列的个数为 3 28= 6. 已知一个正三棱柱的各条棱长均为 3，则其外接球的体积为 答案答案： 7 21 2 解解： 如图， 设面ABC和面 111 ABC的中心分别为O和 1 O， 记线段 1 OO的中点为 P，由对称性知，P为正三棱柱外接球的球心，PA为外接球的半径 易知POAO，所以 (

6、) 2 2 22 321 3 22 PAPOAO =+=+= ， 故外接球的体积为 3 4217 21 = 322 7. 在凸四边形ABCD中，2BCAD 点P是四边形ABCD所在平面上一点， 满足202020200PAPBPCPD 设, s t分别为四边形ABCD与PAB的面积， 则 t s 答案答案： 337 2021 解解： 不妨假设2,4ADBC 记,M N X Y分别是,AB CD BD AC的中点， 则,M X Y N顺次共线并且1MXXYYN由于 2PAPCPY，2PBPDPX， O1 O P C1 B A1 C B1 A 3 故结合条件可知20200PYPX故点P在线段XY上且

7、 1 2021 PX设A到 MN的距离为h，由面积公式可知 22 PAB ABCD StPM hPM sSMNhMN 1 1 337 2021 232021 8. 已知首项系数为 1 的五次多项式( )f x满足：( )8 ,1, 2,5f nn n=，则 ( )f x的一次项系数为 答案答案：282 解解：令( )( )8g xf xx=，则( )g x也是一个首项系数为 1 的五次多项式，且 ( )( )80,1, 2,5g nf nnn=， 故( )g x有 5 个实数根1,2,5，所以( )(1)(2)(5)g xxxx=，于是 ( )(1)(2)(5)8f xxxxx=+， 所以(

8、)f x的一次项系数等于 1111 15!8282 2345 += 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 9.（本题满分本题满分 16 分分） 在椭圆中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个 端点， 12 ,F F为两个焦点若 1212 0AF AFBF BF，求 12 tantanABFABF的 值 解解：由对称性，设椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，( ,0),(0, )A aBb， 12 (,0),( ,0)FcF c，其中 22 cab 由条件知 22222 1212 ()()()20AF AFBF BFca cac

9、babc 4 分 所以 22222 230abcab，故3ab，2cb 8 分 记O为坐标原点，则 tan3 a ABO b ， 12 tantan2 c OBFOBF b 12 分 所以 1211 tantantan() tan()ABFABFABOOBFABOOBF 32321 5132 132 16分 X Y M N A BC D P 4 10. （本题满分本题满分 20 分分）设正实数, ,a b c满足 222 494122abcbc+=+，求 123 abc +的最小值 解解：由题设条件得 ()() 22 2 21323abc+=， 5 分 由柯西不等式得 ()()() 222 2

10、 3213221 32abcabc + + ， 即() 2 2339abc+，故 236abc+ 10 分 又由柯西不等式得 ()() 2123 23123abc abc + ， 所以 12336 6 23abcabc + + ， 15 分 当1abc=时等号成立 故 123 abc +的最小值是 6 20 分 11. （本题满分本题满分 20 分分）设数列 n a的通项公式为 11515 ,1,2, 225 nn n an 证明：存在无穷多个正整数m，使得 4 1 mm aa是完全平方数 证明证明：记 12 1515 , 22 qq，则 1212 1,1qqq q，于是 12 1 ,1,2,

11、 5 nn n aqqn 所以 12 1,1aa=又注意到 2 1(1,2) ii qq i，有 11 11212 11 55 nnnn nn aaqqqq 1122 1 11 5 nn qqqq 22 12 1 5 nn qq， 即 21 ,1,2, nnn aaan， 5 分 由此易知，数列 n a的每一项都是正整数 由计算易得 44 12 7qq，故 23232121 23211212 11 11 55 nnnn nn aaqqqq 5 2121 424244 12121122 1 1 5 nn nn qqq qqq qq 424244 1212 1 1 5 nn qqqq 4242 12 1 71 5 nn qq 4242 12 1 2 5 nn qq 2 21212 1221 1 5 nn n qqa， 15 分 所以，对任意正整数n， 2321 1 nn aa都是完全平方数于是对于正奇数m， 4 1 mm aa均为完全平方数 20 分