减少解几试题计算量的十种方法.doc

1、1 减少解几试题计算量的十种方法 在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是： （1 1）设而不求）设而不求. . 【题 1】 （湖北黄冈，元月考，10 题） 已知直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、N 两点，椭圆与 y 轴的正半 轴交于 B 点，若BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线 l 的方程是 ( ) A.6x5y28=0 B.6x+5y28=0 C.5x+6y28=0 D.5x6y28=0 【分析】如图，椭圆的右焦点既是BMN 的重心，容易求出边 MN 的中点 坐标，那么求直线 l

2、的方程，关键在求该直线的斜率. 若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定 理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是： 【解析】由 22 22 45801 2016 xy xy.椭圆上顶点 B（0，4）,右焦点 F（2,0）.为BMN 的重心，故线段 MN 的中点为 C（3，-2）. 设直线 l 的斜率为 k.，点 1122 ,M x yN x y在椭圆上， 22 11 22 22 4580 4580 xy xy 1212 12121212 1212 4466 450 5545 yyxx xxxxyyyyk xxyy 所求直线方程为 6 2365280

3、 5 yxxy，选 A. 【评注】我们用参数设置了 M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据 它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求设而不求. （2）使用特值）使用特值 【题 2】 （湖北重点中学 4 月联考，理科 8 题）在离心率为 6 5 的双曲线 22 22 10 xy ab ab 中，F 为 右焦点，过 F 点倾斜角为 60的直线与双曲线右支相交于 A,B 两点，且点 A 在第一象限，若,AFmFB则 m=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 x y O B 0 4( , ) M N F 2 0( , ) C 32( ,- )

4、 图 1 2 【分析】按常规求 m 值，必先求向量AFFB与之长.由于双曲线的 方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人望而生畏的. 注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形 状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果. 所以我们可以通过取特值，让方程具体化. 【解析】 6 5 c e a .不妨设 222 5,6,11accab =+b，双曲线 方程为： 22 1 2511 xy ,其右焦点6,0F，设 6, 3Att，代入双曲线方程： 2 2 11 625 325 11tt 2 641321210tt 1611 4110.tt于是 1 12 2

5、 1111 ,4 416 t ttm t ，故选 C. （3）平几给力）平几给力 【题 3】 （2011.武汉四月调考.15 题）过圆 C： 222 00 (,)xyRM xy内一定点作一动直线交圆 C 于 两点 P、 R， 过坐标原点 O 作直线 ONPM 于点 N， 过点 P 的切线交直线 ON 于点 Q，则OM OQ= 。 【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件 中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积 容易想到直角三角形中成比例的线段. 【解析】如图 4,连 OP,则 OPPQ.但是 OQPR 于 N,根据 直角三角形的射影性质有： 2 2 OQ O

6、NOPR 2 cosOM OQOQ OMOQ ONR 即 2 OM OQR. （4）减少参数）减少参数 【题 4】 （北京西城元月考.13 题）双曲线 22 :1C xy的渐近线方程为 若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于,P Q两点，且2PAAQ，则直线 l的斜率为 【分析】第一空，简单；难点是第二问. y A B FO A1 B1 x 图 3 x y O P R Q N 图 2 3 x y O A 1 0(,) P Q 按常规，为求直线l的斜率，必先确定 P 或 Q 的坐标.但由现有 条件却确定不了， 因此退而求 P,Q 两坐标之间的关系.但是两点的坐 标有 4

7、个未知量， 计算太过繁杂.故考虑减少未知量， 使运算量减半. 【解析】设 1122 ,P x yQ x y.当2PAAQ时， 12 20yy.设直线:1PQ yk x.令 x=y,得 1 1 , 1 k yk yy k 令 x=-y,得 2 1 , 1 k ykyy k 于是： 212 00,0 1111 kk k kkkk 1 210kk 【别解】 （巧用中点公式）如图设 P（a,a）,则 P 关于 A（1,0）的对称点为 R（2-a,-a）, AR 的中点 3 , 22 aa Q 符合所设条件且在直线 y=-x 上， 3 0 33 3 2 ,3 3 222 2 1 2 PQ aa Pk 得

8、 （5）回归定义）回归定义 【题 5】 （山西师大附中，元月考，8 题）设 12 FF，是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左，右两个焦 点，若双曲线右支上存在一点 P，使 22 0.OPOFF P（O 为坐标原点） ，且 12 3PFPF，则双曲 线的离心率是（ ） 3231 . 32. 31 22 ABCD 【分析】根据向量加法的平行四边形法则， 2= ,OPOFOQ 2 OQF P 2 OQF P且必过的中点.可知 12 PFF为直角三角形. 这就为用定义法求离心率创造了条件. 【解析】不妨设双曲线的半焦距 c=1,.令 21 = ,3 ,23 1PFrPFrar则， 1

9、2 90 ,FPF但是 2222 2 1212 ,341.PFPFFFrrr即，得 于是 3 12 ,31 231 c ae a ，选 D 得 k=3. 图 4 图 5 x y P O F1 F2 Q M 4 （6）正难则反）正难则反 【题【题 6】 （北京海淀，】 （北京海淀， 5 月考，月考， 7 题）题） 若椭圆 1 C：1 2 1 2 2 1 2 b y a x （0 11 ba） 和椭圆 2 C：1 2 2 2 2 2 2 b y a x （0 22 ba）的焦点相同且 12 aa.给出如下四个结论：椭圆 1 C 和椭圆 2 C 一定没有公共点； 11 22 ab ab ； 2 2

10、2 1 2 2 2 1 bbaa； 1212 aabb.其中，所有正确结论的序号是（ ） A B. C D. 【分析】各选项都需鉴别 3 个命题，太繁了. 此外，正面论证哪 3 个命题正确，太费事了.于是将原命 题转换为：其中不正确结论的序号是： A. B. C. D. 此外，4 个选项中，最容易用特值否定的是，故有 【解析】构造椭圆 222 2 1212 :1:1. 251610 xyx CCyCC及显然与焦点相同 1111 2222 510 2,4. 210 abab abab 但是这里，故结论不成立，选 B. 【评注】以上的解题方法，简单得太过离奇了，因此有人怀疑，这种解法是否合理. 首

11、先，在考场上，这种解法是完全站得住脚的.既然结论在特殊情况下是不正确的，那么在一般情况 下就绝无正确的可能，这是因为：任何真命题都是“放之四海而皆准”的. 以下，我们再用直接法（即通法）论证：其他 3 个结论的正确性. 既是两椭圆焦点相同，那么 2222222222 1211221212 ccababaabb.结论正确； 结论：两椭圆没有公共点等价于两曲线方程组成的方程组无解. 22 22 2222 112222 2121 22222222 22 12121212 22 22 1 1111 00 1 xy ab aabb xyxy aabba ab b xy ab 既然结论正确，且已知 12

12、aa ， 22 2222 2121 2222 1212 0,=0. xy aabb a ab b 故必 最后的方程无解， ，这就证明了结论是正确的. 要考察结论是否正确，仅从数据推理是困难的，需采用数形结合的方法. x y F O B1 B2 5 图 8-1 既然结论正确，即两椭圆没有公共点.已知 12 aa，所以椭圆 1 在 椭圆 2 的外面. 如图 6，设两椭圆公共右焦点为 F，上顶点分别为 12121212 ,-,B BFBBFBFBBB，中，故必 1212 aabb 这就是说，结论也是正确的.既然结论正确，故选 B. 请各位分析一下，两种解法效果相同，可是付出的代价，是不是有天壤之别呢

13、？ （7）数形结合）数形结合 【题【题 7 7】 （北京西城】 （北京西城.5.5 月考，月考， 5 5 题）题） 双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线与圆 22 (2)1xy相 切，则双曲线离心率为（ ） （A）2 （B）3 （C）2 （D）3 【分析】既是已知圆与双曲线的渐近线相切，故不妨先画出图形再考查其数量关系 【解析】如图，圆 C 的圆心为 C（0,2）,且半径 r=1. 双曲线的渐近线: b l yx a 切圆 C 于点 A,则AOC 是含 30角的 直角三角形，60 ,tan603, b AOx a 于是 22 2 32 ca e a ，选 C. （8）三角代换）三角代换

14、 【题【题 8 8】 （】 （2007.2007.重庆卷，重庆卷，2222 题）题）如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0） ，右准线 l 的方程为：x = 12。 （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上任取三个不同点 321 ,PPP， 使 133221 FPPFPPFPP，证明 | 1 | 1 | 1 321 FPFPFP 为定值，并求此定值. 【分析】本题选自 07.重庆卷.22 题，是压轴题. 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径， 否则将陷入繁杂的计算而不得自拔. 有关的 3 条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的. 图 7 x y O C

15、02 (,) b y x a = A 图 6 x y O F P1P2 P3 l 6 图 8-2 正确的解题途径是： （1）利用椭圆的第二定义； （2）题中有 3 个相等的角 度，应不失时机地引入三角知识. 【解析】椭圆的半焦距 c=3，右准线 x = 12 2 2222 12,12 336,27 a abac c . 故椭圆方程为： 22 1 3627 xy ，其离心率 1 2 e . 如图 8-2 设 111222333 ,P x yP x yP x y为椭圆上符合条件的三点， 令 112233 ,FPr FPrFPr. 作 P1H1l于 H1，令 111 PHd， 设 P1Fx= 则 P

16、2Fx= +120 P3Fx= 120 - . 于 是 11 1 12 2 redx， 而 11111 9 3c o s,29c o s 2c o s xrrrr . 同理： 23 99 , 2cos(120)2cos(120) rr .于是 123 1111 2cos2cos(120)2cos(120) |9FPFPFP 12 6cos2cos120 cos 93 ，故为定值. 【评注】如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁【评注】如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁 （9）命题转换）命题转换 【题 10】 （湖北重点学校 4 月考，19 题）椭圆的两焦点坐标分别为

17、 12 3,0 ,3,0FF,且椭圆过点 1 3, 2 .（1）求椭圆的方程； （2）过点 6 ,0 5 l 作直线交该椭圆于 M,N 两点（直线l不与 x 轴重 合） ，A 为椭圆的左顶点，求证; 2 MAN . 【分析】 （1）问，简单； （2）问，点 6 ,0 5 的横坐标为分数，显然会给以下的计算带来不小的麻烦. 所以考虑转换为等价命题，使运算中不再含有分数. 【解析】 （1）由条件知椭圆半焦距3c ， 1 3, 2 P 点在椭圆上， x y O F l Pxy111(,)Pxy222(,) Pxy333(,) 120 H1 7 22 2 2 12 11111 71 2 302 222

18、22 22 aPFPF 2 2 1,1 4 x by于是所求椭圆方程为 （2）将所求椭圆的长，短轴各自扩大 5 倍，根据相似原理，原命题等价于：过6,0Q 点作直线l交 椭圆 22 1 10025 xy 于 M,N 两点（直线l不与 x 轴重合） ，A 为椭圆的左顶点，求证; 2 MAN . 设所求直线：6yk x，代入 22 4100 xy： 2222222 4123610014481441000 xkxxkxk xk 于是 22 1212 22 48144100 , 1 41 4 kk xxx x kk . 22 12121212 66636y ykxxkxxxx 1122121212 1

19、0,10,10100AM ANxyxyx xxxy y 222 1212 110610036kxxkxxk 2222 2 22 114410048106 10036 1 41 4 kkkk k kk 424224 2 1 144441002884801004361440 14 kkkkkk k 这就证明了： 2 MAN . （10）先猜后证）先猜后证 【题【题 11】 （湖北华师一附中】 （湖北华师一附中.2010 .5 月考月考.19 题）题） 以 12 (0, 1),(0,1)FF为焦点的椭圆C过点P( 2 2 ，1)()求椭圆C的方程； ()过点S( 1 3 ，0)的动直线l交椭圆C于A

20、、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T， 使得无论l如何转动，以A B为直径的圆恒过点T? 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】本题难点在第()问.考察曲线是否通过定点，用一般方法很难发现，所以先考察特殊图形， 推测出可能的结果，而后再加证明. x y OA10 0(-, )Q6 0(- , ) M xy(,)11 N xy(,)22 图 9 8 () 解法一（定义法）（定义法） ：设椭圆方程为 22 22 1 yx ab (0)ab，由已知1c 。 又 22 22 22 2202 2 22 a 所以 222 2,1abac， 椭圆 C的方程是 2 x+ 2 2 y

21、=1 解法二（方程法）（方程法） ：设椭圆方程为 22 22 1 yx ab (0)ab，由已知1c ，即 22 1ab，得 22 22 1 1 yx bb P( 2 2 ，1)代入： 22242 22 11 12131210 12 bbbbb bb 22 0,1bb椭圆 C 的方程是 2 x+ 2 2 y =1 ()（先用特殊值探求，再证明探求的结果）（先用特殊值探求，再证明探求的结果）在椭圆方程中， 令 1 , 3 x 得 4 3 y .如图即有： 11 4 3 STSASB.这说明 以弦 A1B1为直径的圆过点 T（1,0）.以下我们证明：椭圆中过点 S 的其他弦为直径的圆也过定点 T（

22、1,0）只需证明0TA TB. 设直线 AB： 1 3 yk x .代入椭圆方程,整理得： 22 22 218 20 39 kk kxx . 点 S 在椭圆内,此方程必有二实根 12 ,x x,且 22 1212 22 218 , 3292 kk xxx x kk .于是 11221212 11 1,1,11 33 TA TBxyxyxxk xk x 222 1212 11 139 39 kx xkxxk 222222 2 1 11823920 92 kkkkkk k 可知TATB,也就是任何其他弦为直径的圆都过定点 T（1,0）. 练习题练习题 1.（北京东城二模，6 题）已知双曲线 22

23、22 1(0,0) xy ab ab ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与 x y S T(1,0) A B A1 B1 O 图 10 9 双曲线交于,M N两点，O为坐标原点.若OMON，则双曲线的离心率为 （A） 13 2 （B）1 3 2 （C） 15 2 （D）1 5 2 2.（2011.湖北重点学校 4 月考.文科.9 题）.已知抛物线 2 20ypx p，RtABC 的 3 个顶点都在抛 物线上，且斜边 ABy 轴，则斜边上的高为 （ ） A.2p B.4p C.p D.P/2 3.（湖北武昌，元月考，6 题）直线2yk x与抛物线 2 8yx交于 A,B 两点.若 AB 中点的横坐标

24、为 3，则弦 AB 的长为（ ） A.6 B.10 C. 2 5 D.16 4.4.（2010.北京宣武 5 月考.8 题.）如图抛物线 1 C： pxy2 2 和圆 2 C: 42 2 2 2 p y p x ，其 中0p，直线l经过 1 C的焦点，依次交 1 C， 2 C于, ,A B C D四点，则CDAB的值为（ ） 222 2 . 432 ppp ABCD p 5 5（2010.北京.崇文.5 月考.8 题）已知圆的方程 22 25xy，过( 4,3)M 作直线,MA MB与圆交于 点,A B，且,MA MB关于直线3y 对称，则直线AB的斜率等于 （ ） （A） 4 3 （B） 3

25、 4 （C） 5 4 （D） 4 5 6 （2011.元月.海淀.7 题）已知椭圆 22 :1 4 xy E m ，对于任意实数k，下列直线被椭圆 E 截得的弦长 与:1l ykx被椭圆 E 截得的弦长不可能 相等的是（ ） A0kxyk B10kxy C0kxyk D20kxy 7 7. （2011.元月.北京西城.14 题）在平面直角坐标系中，定义 1212 ( , )d P Qxxyy为两点 11 ( ,)P x y, 22 (,)Q xy之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线22 50 xy上一点的“折线距离” 的最小值是_； 圆 22 1xy上一点与直线22 50 xy上一点的“折

26、线距离”的最小值是_. 8（2011.元月.湖北武昌.9 题）.如图，已知点 P 是圆 2 2 :2 21C xy的一个动点，点 Q 是直线 :0l xy上的一个动点，O 为坐标原点，则向量OP在向量OQ方向投影的最大值是（ ） 10 A.3 B. 2 2 2 C. 3 2 D.1 9. （湖北黄冈， 元月.13 题） 如果点 P 在平面区域 02 012 022 yx yx yx 上， 点 Q 在曲线 22 (2)2xy上， 那么QP 的最小值为_ 10. （同上，14 题）过双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲 线 22 22 1

27、xy ba 上，则双曲线的离心率为 _. 11.（海南 12 校第一次联考，6 题）设双曲线 M: 2 2 2 1,0,1 x yC a 点，若直线 2 2 2 1 2 xt t yt 为参数交双曲线的两渐近线于 A,B，且2BCAC，则双曲线的离心率为 B 510 . 5. 10 23 ABCD 12.（河北唐山一模.16 题）双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F,P 为双曲线右 支上一点， 2 PF 222 xyb与圆切于点 G,且 G 为 2 PF的中点，则该双曲线的离心率 e= 13.（重庆 7 区 2 月考，8 题）设 F1，F2分别为双

28、曲线 （a0,b0）的左右焦点，若在双 曲线右支上存在点 P，满足 212 PFFF,且点 P 的横坐标为 5 4 c（c 为半焦距） ，则该双曲线的离心率为 14. （2010.北京西城 5 月考.8 题）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/CD，且 AB=2AD，设 ) 2 , 0(, DAB，以 A，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 1 e，以 C，D 为焦点且过点 A 的椭圆 的离心率为 2 e，则（ ） A随着角度的增大， 1 e增大， 21e e为定值 11 B随着角度的增大， 1 e减小， 21e e为定值 C随着角度的增大， 1 e增大， 21e e也增大 C随着角度

29、的增大， 1 e减小， 21e e也减小 15.15.（2010.2010.武汉二月调考武汉二月调考.10.10 题）题）. . 过定点过定点 P P（3,13,1）的直线）的直线l交交 x x 轴正半轴于轴正半轴于 A, A, 交交 y y 轴正半轴于轴正半轴于 B,OB,O 为坐标原点为坐标原点，则，则OABOAB 周长的最小值为（周长的最小值为（ ） A.8 B.10 C.12 D.A.8 B.10 C.12 D.4 5 参考答案参考答案 1. （平几给力）MON 是等腰直角三角形，斜边上的高为半焦距.Rt 12212 ,2MFFMFc FFc中，. 2 5 ,MFc 1251 51.

30、2251 ace 则于是离心率 2.（设而不求）如图设 111122 ,A x yB xyC x y，则斜边上的高 12 hxx.由CACB 12121212 ,0 xx yyxxyy 22 22 12121212 020 xxyyxxp xx 121212 0,=2 .2xxxxxxphp约去得：即，故选 A. 3. （平几给力）如图，抛物线的焦点为 F（2,0）准线方程为:2l x .若 M 为 AB 中点，由 A,M,B 分别 向准线:2l x 引垂线，垂足依次为. 111 ,A M B那么 1 MM是梯形 11 AAB BD 中位线，且 1 5MM .故 111 210ABAABBMM

31、,选 B. 4.（取特殊直线）如图：圆 2 C的圆心为抛物线的焦点,0 2 p F 令直线 AD 与 x 轴垂直，那么 x yA B 23 -2 O A1 B1 MM1 1 题解图 x y O M N F1 F2 x y O A B C D 2 题解图 3 题解图 12 , 2 p FAFDp FCFB. 2 p ABCDAB与CD同向， 2 4 p AB CD，故选 A. 5.（几何法：利用垂径定理及圆的对称性）如 5 题解图 显然点( 4,3)M 在圆 22 25xy上. 点 M 关于 y 轴的对称点 N（4,3）也在圆 22 25xy上.连 ON.MN 平分AMB,N 为AB的中点. 必

32、 ONAB. 34 , 43 ONAB kk 6. （特值法省力） 不妨设 k=1,则 4 条直线依次为： A.y=-x-1; B.y=x-1; C.y=-x+1; D.y=-x+2. 显然，A 与 B 关于 y 轴对称，B 与 C 关于 x 轴对称，这 3 条直线与直线 y=x+1 被椭圆 22 :1 4 xy E m 所 截得的弦长都相等.故选 D. 7.（数形结合）直线22 50 xy交 x 轴于 5,0 ,0,2 5 .AB 显然坐标原点 O 与该直线上一点的“折线距离”的最小值等于 5OA . 设点 P 为圆 22 1xy上一点，为求其到该直线上一点 “折线距离”的最小值，显然点 P

33、 只能在第一象限的圆弧上. 作 PQx 轴，交该直线于 Q，对于固定的 P，我们证明点 P,Q 的折线距离（也就是线段 PQ 之长）最小. 若点 C 在 BQ 上，作 CFPQ 于 F，由于BQP=BAO45， , ( , )CFQF d P CPFCFPQ； 若点 D 在 AQ 上，仅 P,D 横坐标差点绝对值已大于 PQ 之长. x y O P Q A B C D E x y O A B F p 2 0( / , ) C D y2px = 2 4 题解图 x y M(-4,3) O A B(5,0) y=3 c(5,6) 5 题解图 yx 1=- - yx 1=- + yx 2=- + y

34、 x 1= - O x y y x 1= + 6 题解图 7 题解图 13 现在设 2 5sin cos ,sin,sin0, 22 PQ .那么 15 ,5sincos5sin 22 d P Q.当且仅当sin=1 时，所求最小值为 5 2 . 8. 解法 1.（数形结合）设圆 C 垂直于直线:0l xy的切线为 x=-y+m，代入 圆的方程： 2 2 22 y2 21224 270myymym 令 222 0416 2328704 260mmmmm . 解得：2,3 2m . 取3 2,m 直线方程为3 2,xy令 x=y,得 33 2,2 , 22 Q 则所求投影的最大值为 99 3 2

35、2 OQ ，选 A. 解法 2.（平面几何给力）过圆心 0,2 2C作直线 :0l xy的平行线，设与圆的上交点为 P，PMl于 M， 又作 ON直线 CP 于 N, 2 1,sin452 22, 2 CPCNOC 故所求投影的最大值为3OMNP 9.（数形结合数形结合）符合题意的平面区域如图所示.作圆的平行于直线 x-2y+1=0 的切线，设其方程为2y0.xm则圆心 M（0，-2） 到此直线的距离 4 2,410 5 m dm .取410m ， 则切线方程为2y4100.x 所求QP 的最小值为 4101 52 5 10.设双曲线右焦点为 F（c,0） ，取渐近线: b l yx a ，F

36、Ml于 M,直线 FM 的方程为： x y O P Q C :0l xy-= x y O Q C :0l xy-= P M N x y O A 0 2( , ) B1 0(- , ) C 1 1( , ) M 02( ,- ) x 2y 1 0-+ = x 2y m 0-+= 8 题解图 1 8 题解图 2 9 题解图 14 a yxc b 由 0 b yx ba a xxc aab yxc b 22 , caca xx abbc ，从而 2 b aab y acc ,得 2 , aab M cc .代入椭圆方程： 422 222244222 22 aa b aba babbabab cc .

37、则双曲线的离心率为2 11.（减少参数）双曲线的渐近线为 x y a ，直线的一般方程为1yx 由 1 1,; 1 B yx xa xx x aay a 由 1 1, yx x x x ay a , 1 A a x a 由条件知 A 为 BC 中点， 2 . 11 aa aa 0, 12 103aaaa .于是 10 10, 3 ce离心率.选 B. 【评注】只求 x，不求 y，省力的典范. 12.（回归定义）当 2 PF 222 xyb与圆切于点 G 时，有 22 ,c,.OGbOFGFa但于是 12 222 .2aPFPFbaba知 2 90 ,OGF 222 22 22 55. c OG

38、GFOFace a x y O F c 0( , ) M x y O C 0 1( , ) B x y P O F1 F2 b c a a G 11 题解图 12 题解图 x y F4 01(- , )O F4 02( , ) P Q 5 0( , ) 13 题解图 A B C D Ox y 14 题解图 15 O A B P(2,1) x y M N 1 1 2 2 13. （取特值， 回归定义） 不妨令 c=4， 则点的横坐标为 5.如图有 12212 4,0 ,4,0 .8.FFPFFF则 作 PQx 轴于 Q,有 Q(5,0).且 222 2 816363 912.PQPF， 21 1

39、1 1282,2 22 c aPFPFe a 离心率 14.（回归定义，三角法）连 AC,BD. 不妨设1,AD 则2,22cosABCD . 由余弦定理： 54cosACBD. 对于双曲线, 1 11 54cos1 , 22 aDBDA 11 2 1, 54cos1 ce . 0, 2 ,当增大时， 1 e减小. 对于椭圆, 2 11 54cos1 22 aDACA, 22 2 1 cos1 1 cos ,. 254cos1 cCDe , 12 2 1 cos4 1 cos2 1 4 1 cos54cos154cos1 e e ,故为定值. 15.解法 1（三角代换）如 15 题截图 1，作

40、 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N，则 ON=2,ON=1. 设OAB=NPB=，则 NB=2ton,MA=cot,AP=csc,PB=2sec. 于是OAB 的周长 2cot1 2tancsc2secL 2 2 22 2 1 sin1cos 3 sincos 2 cossin 2cos 22 2 3 2sincoscossin 2222 2 cossin2 cossin2sin 22222 3cot3cot 22 cossincossin 2222 4sin 4 2 5cot6cot1 22 cossincot1 222 15题解图1 16 x y O P(2,1) A B M N Q(a

41、,a) H 15 题解图 2 0,0,.cot10, 2242 于是62 410L，故选 B. 【说明】进一步研究：当且仅当 4 cot1 2 cot1 2 ，即 2 cot14cot3 22 时等式成立. 此时 3 tan 4 .于是 410351002525 2,1 2, 3342946 OAOBAB ，满足 OA+AB+OB=10. 解法 2.（平几给力）首先证明：直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径. 如图，设直角OAB 斜边上旁切圆的圆心为 Q（a,a） 作 QHAB 于 H, QMx 轴于 M，QNy 轴于 N 那么 QM=QN=QH=a. 由QAMQAP 知 QM=QH,且 AM=AH.同理 QN=QH 且 BN=BH.于是 L=QM+QN=2QH=2a. 连 PQ,则PQQHa.令,PQa即 22 2 21650.aaaaa 1a （舍） ，或5a.于是所求OAB 的最小值为 L=2a=10. 17