高三11月教学质量检测数学（理）试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 19 页 高三高三 11 月教学质量检测数学（理）试题月教学质量检测数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 |2 0Ax x， 2 |20Bx xx，则，则AB （ ） A( )2， B() 1， C( 21) ， D( 12) ， 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先求出集合= | 12Bxx ，再与集合A求交, 【详解】 本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法 因为 |20= |2Ax xx x， 2 |20Bx xx= | 1 2xx ， 所以 | 12BxxA 故选：D 【点睛】 本题考查解二次不等式，考查集合的交集。属于基础题. 2复平面内表

2、示复数复平面内表示复数 1 2 12 i z i 的点位于（的点位于（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】C 【解析】【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出 z 的坐标得答案 【详解】 因为 2 12i(12i)34 i 12i(12i)(12i)55 z ， 所以复数 12 12 i z i 所对应的复平面内的点为 34 , 55 Z ，位于第三象限 故选：C. 【点睛】 本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题 3设两个单位向量设两个单位向量ab ，的夹角为 的夹角为 2 3 ，则，则34ab（ ） A

3、1 B13 C 37 D7 第 2 页 共 19 页 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由 2 22 349+24+16abaa bb，然后用数量积的定义，将a b ，的模长和夹 角代入即可求解. 【详解】 2 222 349+24+16=9+24cos1613 3 abaa bb ， 即3413ab. 故选：B 【点睛】 本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题. 4设有不同的直线设有不同的直线 a，b 和不同的平面和不同的平面，给出下列四个命题：，给出下列四个命题： 若若/a，/b，则，则/ab； 若若/a，/ /a，则，则/ /； 若若a，b，则，则/ab； 若若a，a，则，

4、则/ / 其中正其中正确的个数是（确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可 【详解】 对于，若 a，b，则直线 a 和直线 b 可以相交也可以异面，故错误； 对于，若 a，a，则平面 a 和平面 可以相交，故错误； 对于，若 a，b，则根据线面垂直性质定理，ab，故正确； 对于，若 a，a，则 成立； 故选：B 【点睛】 本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空 间思维能力的培养 5如图是某市如图是某市 10 月月 1 日至日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数

5、越小表示空气日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气 质量越好，空气质量指数小于质量越好，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ） ） 第 3 页 共 19 页 A这这 14 天中有天中有 7 天空气质量优良天空气质量优良 B这这 14 天中空气质量指数的中位数是天中空气质量指数的中位数是 103 C从从 10 月月 11 日到日到 10 月月 14 日，空气质量越来越好日，空气质量越来越好 D连续三天中空气质量指数方差最大的是连续三天中空气质量指数方差最大的是 10 月月 5 日至日至 10 月月 7 日日 【答案

6、】【答案】B 【解析】【解析】根据题目给出的折线图的信息对选项进行逐一判断即可得到答案. 【详解】 这 14 天中空气质量指数小于 100 的有 7 天，所以这 14 天中有 7 天空气质量优良，故选 项 A 正确； 这 14 天中空气质量指数的中位数是 86121 103.5 2 ，故选项 B 不正确； 从 10 月 11 日到 10 月 14 日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，故选项 C 正确； 连续三天中空气质量指数离散程度最大的是 10 月 5 日至 10 月 7 日， 所以连续三天中空 气质量指数方差最大的是 10 月 5 日至 10 月 7 日，故选项 D 正确 故选

7、：B 【点睛】 本题主要考查统计中对折线图的认识，属于基础题. 6已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南 人年龄大，人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小由此可以推知：甲、乙、丙三人中甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小由此可以推知：甲、乙、丙三人中 （ ） A甲不是海南人甲不是海南人 B湖南人比甲年龄小湖南人比甲年龄小 C湖南人比河南人年龄大湖南人比河南人年龄大 D海南人年海南人年 龄最小龄最小 【答案】【答案】D 【解析】【解析】通过分析，排除即可 【详解】 由于甲和湖南人不同岁，

8、湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人； 第 4 页 共 19 页 由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人； 故：乙（河南人）的年龄丙（湖南人）的年龄甲（海南人）的年龄； 所以 ABC 错，D 对 故选：D 【点睛】 本题考查简单的逻辑推理，属于基础题 7 已知数列 已知数列 n a对于任意正整数对于任意正整数 m， n， 有， 有 m nmn aaa ， 若， 若 20 1a， 则， 则 2020 a（ ） ） A101 B1 C20 D2020 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由 m nmn aaa ，得 11nn aaa ，所以数列 n a是以 1 a为首

9、项， 1 a为公差 的等差数列，从而得到答案. 【详解】 由 m nmn aaa ，令 1m 得 11nn aaa ， 所以数列 n a是以 1 a为首项， 1 a为公差的等差数列， 从而 1n ana因为 20 1a，所以 1 1 20 a ， 2020 101a 故选：A 【点睛】 本题主要考查等差数列的概念，数列的递推关系，属于基础题. 8函数函数 3 sin 3 x f xx的图像大致是（的图像大致是（ ） A B C D 【答案】【答案】D 第 5 页 共 19 页 【解析】【解析】本题首先可根据 3 sin 3 x f xx得出 () 3 sin 3 x fxx 骣 琪 -=-+

10、琪 桫 ，然后即可判 断出函数是奇函数并排除 B 项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解。 【详解】 因为 3 sin 3 x f xx， () 33 sinsin 33 xx fxxx 骣 - 琪 -=-=-+ 琪 桫 ， 所以函数 f x是奇函数，排除 B， 因为函数的解析式为 3 sin 3 x f xx， 所以 ( ) 2 cosfxxx =+， () 2sinfxxx 轾 =- 臌 () 2cos0fxx 轾 轾 =- 犏臌 臌 , () 2sinfxxx 轾 =- 臌 在0,递增 又 () 0sin00f 轾 =-= 臌 ， 所以 () 2sin0fxxx 轾 =-? 臌 在0

11、,恒成立 所以 ( ) 2 cosfxxx =+在0,递增，又 () 2 00cos010f=+= 所以 0fx 在0,恒成立 所以 f x在0,为增函数，排除 A、C， 综上所述，故选 D。 【点睛】 本题考查如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比如说函数的单调性、奇 偶性、值域、特殊值的大小，考查推理能力，是中档题。 9已知已知 1 F， 2 F分别为椭圆分别为椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点，的左、右焦点，P 是是 C 上一点，上一点， 满足满足 212 PFFF，Q 是线段是线段 1 PF上一点，且上一点，且 1 2FQQP， 12 0FP FQ，则

12、，则 C 的离心的离心 率为（率为（ ） A 62 2 B 2 1 C2 2 D6 2 第 6 页 共 19 页 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据条件在 12 PFF，可得 1 6FPc，则 2 2F Pc，由椭圆的定义有 12 622FPF Pcca，可建立关于离心率的方程，从而解出离心率. 【详解】 因为在 12 PFF中， 212 PFFF， 12 PFQF， 所以 2 2 1112 4FQ FPFFc，又 11 2 3 FQFP， 所以 2 2 1 2 4 3 FPc，从而 1 6FPc，进而 2 2F Pc 所以 12 622FPF Pcca， 椭圆 C 的离心率为 62 2

13、 c e a 故选：A 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质,考查椭圆的离心率，属于中档题. 10函数函数 ( )f x的定义域为 的定义域为 R，若，若(1)f x与与 (1)f x 都是偶函数，则（都是偶函数，则（ ） A ( )f x是偶函数 是偶函数 B ( )f x是奇函数 是奇函数 C(3)f x是偶函数是偶函数 D( )(2)f xf x 【答案】【答案】C 【解析】【解析】首先由偶函数及图象平移的性质求得 f（x）的周期，然后利用所求结论直接判 断即可 【详解】 f（x+1）与 f（x1）都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f（x）的图象关于 x1， x1 对称， 可

14、得 f（x）f（2x）f（4+x） ，即有 f（x+4）f（x） ， 函数的周期 T4， f（x+3）f（x1）f（x+3） ，则 f（x+3）为偶函数， 故选：C 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性的应用与周期性的证明，准确把握定义是解题的关键，属于 中档题 第 7 页 共 19 页 11将将 6 名党员干部分配到名党员干部分配到 4 个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配 1 名党员干部， 名党员干部， 则不同的分配方案共有（则不同的分配方案共有（ ） A2640 种种 B4800 种种 C1560 种种 D7200 种 种 【答案】【答案】C 【解析】【

15、解析】分两类考虑：第一类，其中 1 个贫困村分配 3 名党员干部，另外 3 个贫困村各 分配 1 名党员干部, 第二类，其中 2 个贫困村各分配 2 名党员干部，另外 2 个贫困村各 分配 1 名党员干部. 【详解】 将 6 名党员干部分配到 4 个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配 1 名党员干部. 分两类考虑： 第一类，其中 1 个贫困村分配 3 名党员干部，另外 3 个贫困村各分配 1 名党员干部， 此类分配方案种数为 34 64 480C A ； 第二类，其中 2 个贫困村各分配 2 名党员干部，另外 2 个贫困村各分配 1 名党员干部， 此类分配方案种数为 2211 4 6421 4

16、 22 22 1080 C C C C A A A 故不同的分配方案共有 1560 种 故选：C 【点睛】 本题主要考查排列组合,考查分组分配问题，考查部分平均分组问题，属于中档题. 12已知函数已知函数( )sinsin2f xx x，下列结论中错误的是（，下列结论中错误的是（ ） A ( )yf x 的图像关于点的图像关于点(,0) 2 对称对称 B( )yf x的图像关于直线的图像关于直线x对称对称 C ( )f x的最大值为 的最大值为 3 2 D ( )f x是周期函数 是周期函数 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据对称性，周期性最值的概念结合三角函数的运算，逐项判断即可 【详

17、解】 对于 A，因为 f（x）+f（x）sin（x）sin（22x）+sinxsin2x0，所以 A 正确； 对于 B，f（2x）sin（2x）sin（42x）sinxsin2xf（x） ，所以( )yf x的 图像关于直线x 对称，所以 B 正确； 对于 C，f（x）sinxsin2x2sin2xcosx2（1cos2x）cosx2cosx2cos3x，令 tcosx， 第 8 页 共 19 页 则 t1，1，f（x）g（t）2t2t3，令 g（t）26t20，得，t 3 3 ， 34 3 39 g ， 34 3 39 g ，( 1)0g ，(1)0g，所以( )g t的最大值是 4 3 9

18、 ，从而 ( )f x的最大值是 4 3 9 ，故 C 错误； 对于 D，因为(2 )sin(2 ) sin(24 )sinsin2( )f xxxxxf x，即 f （2+x）f（x） ，故 2 为函数 f（x）的一个周期，故 D 正确； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用， 考查了三角函数的周期性及其求法函数的单 调性以及函数的对称性，考查命题的真假的判断与应用，考查分析和解决问题的能力， 属于中档题 二、填空题二、填空题 13 若一个棱长为 若一个棱长为 2 的正方体的八个顶点在同一个球面上， 则该球的体积为的正方体的八个顶点在同一个球面上， 则该球的体积为_ 【答

19、案】【答案】4 3 【解析】【解析】棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上， 则球的直径等于正方体的对角线长，即22 3R ，3R 则该球的体积 3 4 4 3 3 VR 14已知已知 1 F， 2 F分别为双曲线分别为双曲线:C 22 22 1 xy ab ()00ab， 的左、右焦点，点的左、右焦点，点 P 是是 以以 12 FF为直径的圆与为直径的圆与 C 在第一象限内的交点，若线段在第一象限内的交点，若线段 1 PF的中点的中点 Q 在在 C 的渐近线上，的渐近线上， 则则 C 的两条渐近线方程为的两条渐近线方程为_ 【答案】【答案】y 2x 【解析】【解析】求得双曲线的渐近线方程，

20、由圆的性质可得 PF1PF2，由三角形的中位线定 理可得 PF1OQ，OQ 的方程设为 bx+ay0，运用点到直线的距离公式可得 F1（c， 0）到 OQ 的距离，结合双曲线的定义可得 b2a，进而双曲线的渐近线方程 【详解】 双曲线 22 22 100 xy Cab ab ： ， 的渐近线方程为 yb a x， 第 9 页 共 19 页 点 P 是以 F1F2为直径的圆与 C 在第一象限内的交点，可得 PF1PF2， 线段 PF1的中点 Q 在 C 的渐近线，可得 OQPF2， 且 PF1OQ，OQ 的方程设为 bx+ay0， 可得 F1（c，0）到 OQ 的距离为 22 bc ba b，

21、即有|PF1|2b，|PF2|2|OQ|2a， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2b2a2a， 即 b2a， 所以双曲线的渐近线方程为 y 2x 故答案为：y 2x 【点睛】 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线 定理和化简整理能力，属于中档题 15若直线若直线y kxb 是曲线是曲线 2x ye 的切线，也是曲线的切线，也是曲线1 x ye的切线，则的切线，则 b_ 【答案】【答案】 11 ln2 22 【解析】【解析】分别设出直线y kxb 与曲线 2x ye 和曲线1 x ye的切点，然后求导利 用切线的几何意义利用斜率相等可得答案. 【详解】

22、 设直线y kxb 与曲线 2x ye 切于点 1 2 11 (,) x P x e ， 与曲线e1 x y 切于点 2 22 (,1) x P x e， 则有 21 12 2 2 21 (e1) xx xx e kee xx ， 从而 12 2xx， 1 2 k ， 2 1 2 x e， 2 ln2x 所以切线方程 2 1111 (ln2)1ln2 2222 x yxex ， 所以 11 ln2 22 b 故答案为： 11 ln2 22 . 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题 第 10 页 共 19 页 16 设等比数列 设等比数列 n a满足满足 3 2a

23、 ， 10 256a， 则数列， 则数列 2 4 n n a的前的前 n 项和为项和为_ 【答案】【答案】 21 (23)26 n nn 【解析】【解析】先求出等比数列 n a的通项公式为 12 1 22 2 nn n a ，然后分析求和. 【详解】 依题意，有 2 31 9 101 2 256 aa q aa q ， ， 解得 1 1 , 2 2. a q 所以数列 n a的通项公式为 12 1 22 2 nn n a 设数列 2 4 n n a的前 n 项和为 n T 则 21222 12222n n Tn，(1) 222321 212222n n Tn (2) 用(1)-(2)，得 12

24、21 1 23 2(21)22 nn n Tnn ，(3) 23122 21 23 2(21)22 nn n Tnn (4) 用(3)-(4)，得 12212121 1 22 22 22(221)2(23)26 nnnn n Tnnnnn 故答案为： 21 (23)26 n nn 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式和数列求和的方法考查错位相减法求数列的和.属 于中档题. 三、解答题三、解答题 17 已知 已知ABC的三个内角的三个内角 A， B， C 对应的边分别为对应的边分别为 a， b， c， 且， 且cos4aB，sin3bA (1)求求 a； ； (2)若若ABC的面积为的面积为

25、 9，求，求ABC的周长的周长 【答案】【答案】 （1）5； （2）1113. 【解析】【解析】(1)由cos4aB，sin3bA，两式相除，再用正弦定理得答案. (2)由（1）可求出 3 sin 5 B ，进一步可求出边c，然后用余弦定理可计算出边b，得出 第 11 页 共 19 页 答案. 【详解】 (1)在ABC中，cos4aB ，sin3bA 由正弦定理得 sinsinsin3 tan cossincos4 bABA B aBAB 又cos4aB，所以cos0B ，所以cos 4 5 B 所以5a (2)由(1)知，cos 4 5 B ，所以 3 sin 5 B 因为ABC的面积 1

26、sin9 2 ABC SacB ，所以6c 由余弦定理得 222 2cos13bacacB，所以13b 所以ABC的周长为1113abc 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,属于中档题 18 九章算术中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵如图，在直三棱柱 九章算术中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，中， 1AB ， 1 3ACAA，60ABC (1)证明：三棱柱证明：三棱柱 111 ABCABC是堑堵；是堑堵； (2)求二面角求二面角 1 AACB的余弦值的余弦值 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 15 5 .

27、 【解析】【解析】 (1)根据条件由正弦定理可求30ACB ， 从而可证明90BAC ， 可得证. （2）建立空间坐标系，用向量法求解二面角的余弦值即可. 【详解】 (1)在ABC中，1AB ，3AC ，60ABC ， 第 12 页 共 19 页 由正弦定理得 sinsin ACAB ABCACB ,即 3 1 2 sin 23 ACB , 因为在ABC 中，ABAC则ABCACB, 30ACB ，所以90BAC ， 即BAAC又三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱. 所以三棱柱 111 ABCABC是堑堵 (2)以点 A 为坐标原点，以AB，AC， 1 AA所在的直线分别为 x 轴、y 轴

28、、z 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系 则 (0,0,0)A ，(1,0,0)B，(0, 3,0)C， 1(0,0, 3) A 于是(1,0,0)AB ， 1 (0, 3,3)AC ，( 1, 3,0)BC 设平面 1 ABC的一个法向量是( , , )nx y z， 则由 1 0, 0, n AC n BC 得 330, 30. yz xy 所以可取( 3,1,1)n 又可取(1,0,0)mAB为平面 1 AAC的一个法向量， 所以 15 cos, |5 n m n m n m 所以二面角 1 AACB的余弦值为 15 5 第 13 页 共 19 页 【点睛】 本题主要考查二面角的求法，同

29、时考查数学文化本题还可以由二面角的平面角的定义 作出平面角直接求解,属于中档题. 19已知一条曲线已知一条曲线 C 在在 y 轴右边，轴右边，C 上每一点到点上每一点到点 (10)F ，的距离减去它到 的距离减去它到 y 轴距离的轴距离的 差都是差都是 1 (1)求曲线求曲线 C 的方程；的方程； (2)过点过点 F 且斜率为且斜率为 k 的直线的直线 l 与与 C 交于交于 A，B 两点，两点，| | 8AB ，求直线，求直线 l 的方程的方程 【答案】【答案】 （1） 2 4 (0)yx x； （2） 1yx 或1yx. 【解析】【解析】(1)根据条件有 22 (1)1(0)xyxx化简得

30、答案. (2)有抛物线过交点的弦长公式有 12 |+2=8xxAB ， 然后设出直线方程与抛物线方程 联立求出 12 xx代入 12 |+2=8xxAB ，可计算出k，得到直线方程. 【详解】 (1)设点 ( , )P x y是曲线 C 上任意一点， 那么点( , )P x y满足： 22 (1)1(0)xyxx 化简得曲线 C 的方程为 2 4 (0)yx x (2)由题意得，直线l的方程为 (1)yk x ， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy 由 2 (1), 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk 因为 2 16160k ，故 2 12 2 24k

31、xx k ， 所以 12 2 2 44 | | (1)(1)x k ABAFBF k x 由题设知 2 2 44 8 k k ，解得1k 或1k 因此直线l的方程为1yx 或1yx 【点睛】 本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 第 14 页 共 19 页 20已知函数已知函数sin2( )(n)l 1f xxx， sin)2(g xxx (1)求证：求证：( )g x在区间在区间(0, 4 上无零点；上无零点； (2)求求证：证： ( )f x有且仅有 有且仅有 2 个零点个零点 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】【解析】(1)求出(

32、)2cos21g xx ，再求出函数( )g x的单调区间，从而分析其图像 与x轴无交点即可. (2)显然0 x是函数 ( )f x的零点,再分析( )f x在0, 4 上和在 3 , 4 上无零点,在 3 , 44 上有一个零点，从而得证. 【详解】 (1)sin)2(g xxx，( )2cos21g xx 当0, 6 x 时，( )0g x ；当, 6 4 x 时，( )0g x ， 所以( )g x在0, 6 上单调递增，在, 6 4 上单调递减 而(0)0g，0 4 g ， 所以当0, 4 x 时，( )0g x， 所以( )g x在区间0, 4 上无零点 (2)( )f x的定义域为

33、( 1,) 当 ( 1,0)x 时，sin20 x，ln(1)0 x， 所以( )sin2ln(1)0f xxx，从而 ( )f x在( 1,0) 上无零点 当0 x时， ( )0f x ，从而0 x是 ( )f x的一个零点 当 0, 4 x 时，由(1)知( )0g x，所以sin2xx，又ln(1)xx， 第 15 页 共 19 页 所以( )sin2ln(1)0f xxx，从而 ( )f x在0, 4 上无零点 当 3 , 44 x 时，( )sin2ln(1)f xxx， 1 ( )2cos20 1 fxx x ， 所以 ( )f x在 3 , 44 上单调递减 而0 4 f ， 3

34、 0 4 f ，从而 ( )f x在 3 , 44 上有唯一零点 当 3 , 4 x 时，ln(1)1x，所以( )0f x ，从而 ( )f x在 3 , 4 上无零 点 综上， ( )f x有且仅有 2 个零点 【点睛】 本题主要考查利用导数判断函数单调性的方法和函数零点的概念,属于难题 21一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第 0 站、第站、第 1 站、第站、第 2 站、站、第、第 100 站，站， 共共 101 站，设棋子跳到第站，设棋子跳到第 n 站的概率为站的概率为 n P，一枚棋子开始在第，一枚棋子开始在第 0 站，棋手每掷一次骰站，棋手每掷一

35、次骰 子，棋子向前跳动一次若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳子，棋子向前跳动一次若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳 两站，直到棋子跳到第两站，直到棋子跳到第 99 站站(获胜获胜)或第或第 100 站站(失败失败)时，游戏结束时，游戏结束(骰子是用一种均匀骰子是用一种均匀 材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数 1，2，3，4，5，6) (1)求求 0 P， 1 P， 2 P，并根据棋子跳到第，并根据棋子跳到第 n 站的情况，试用站的情况，试用 2n P和和 1n P 表示表示 n P

36、； (2)求证：求证： 1 12100() nn PPn ， ， ，为等比数列；为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率求玩该游戏获胜的概率 【答案】【答案】 （1） 0 1P ， 1 1 2 P ， 2 3 4 P ， 21 11 22 nnn PPP ； （2）证明见解析； （3） 100 21 1 32 . 【解析】【解析】(1) 在第 0 站是必然事件，所以 0 1P 棋子跳到第 1 站，只有一种情形，第 一次掷骰子出现奇数点,可求出 1 P，棋子跳到第 2 站，包括两种情形，第一次掷骰子 岀现偶数点，前两次掷骰子出现奇数点，可求出 2 P.棋子跳到第(299)nn剟站，包 括两种情形

37、，棋子先跳到第2n站，又掷骰子出现偶数点, 棋子先跳到第1n站， 第 16 页 共 19 页 又掷骰子出现奇数点,进行求解. (2) 由(1)知， 21 11 22 nnn PPP ，所以 112 ( 1 ) 2 nnnn PPPP 可证. (3) 该游戏获胜的概率,即求 99 P，由（2）用累加法可求解. 【详解】 (1)棋子开始在第 0 站是必然事件，所以 0 1P 棋子跳到第 1 站， 只有一种情形， 第一次掷骰子出现奇数点， 其概率为 1 2 ， 所以 1 1 2 P 棋子跳到第 2 站，包括两种情形，第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为 1 2 ；前两次 掷骰子出现奇数点，其概率为 1

38、4 ，所以 2 113 244 P 棋子跳到第(299)nn剟站，包括两种情形，棋子先跳到第2n站，又掷骰子出现 偶数点，其概率为 2 1 2 n P；棋子先跳到第1n站，又掷骰子出现奇数点，其概率为 1 1 2 n P 故 21 11 22 nnn PPP (2)由(1)知， 21 11 22 nnn PPP ，所以 112 ( 1 ) 2 nnnn PPPP 又因为 10 1 2 PP ， 所以 1 (1,2,100) nn PPn 是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列 (3)由(2)知， 1 1 111 222 nn nn PP 所以 9999989897100 ()()()P

39、PPPPPPP 9998 111 1 222 99 11 1 22 1 1 1 2 第 17 页 共 19 页 100 21 1 32 所以玩该游戏获胜的概率为 100 21 1 32 【点睛】 本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前 n 项和公式考查累加 法求和，属于难题. 22在直角坐标系在直角坐标系xOy中，曲线中，曲线 C 的参数方程为的参数方程为 2 2 2 1 1 2 1 t x t t y t ， (t 为参数为参数)，以坐标原点，以坐标原点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为的极坐标方程

40、为 cos3 sin4 0 (1)求求 C 的普通方程和的普通方程和l的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)求求 C 上的点上的点到到l距离的最大值距离的最大值 【答案】【答案】（1） C 的普通方程为 22 1(1)xyx l的直角坐标方程为340 xy （2）3 【解析】【解析】 （1）把曲线 C 的参数方程平方相加可得普通方程，把 xcos，ysin 代入 cos 3 sin+40，可得直线 l 的直角坐标方程； （2）设出椭圆上动点的坐标（参数形式） ，再由点到直线的距离公式写出距离，利用三 角函数求最值 【详解】 （1）由 2 2 2 1 1 2 1 t x t t y t （t

41、为参数） ，因为 2 2 1 11 1 t t ，且 2 22 22 222 () 14 1 11 tt xy tt ， 所以 C 的普通方程为 22 1(1)xyx 由 cos 3 sin+40，得 x 3 y+40 即直线 l 的直角坐标方程为得 x 3 y+40； 第 18 页 共 19 页 （2）由(1)可设 C 的参数方程为 cos, sin x y (为参数， ) 则 P 到直线得 x 3 y+40 的距离为： C 上的点到l的距离为 2cos4 |cos3sin4|3 22 当 3 时，2cos4 3 取得最大值 6，故 C 上的点到l距离的最大值为 3 【点睛】 本题考查间单曲

42、线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系 的应用，是中档题 23已知已知 a，b 为正数，且满足为正数，且满足1ab (1)求证：求证： 11 (1)(1) 9 ab ； (2)求证：求证： 1125 ()() 4 ab ab 【答案】【答案】 （1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】【解析】 （1）把 a+b1 代入，用柯西不等式证明； （2）根据基本不等式求出 ab 的范围， 再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可 【详解】 已知 a，b 为正数，且满足 a+b1， （1） （1 1 a ） （1 1 b ）1 11ab abab 1 22 ab ， （ 22 ab ） （a+b）（ 22 ）28， 故 11 119 ab ； （2）a+b1，a0，b0， 根据基本不等式 1a+b2 ab0ab 1 4 ， （a 1 a ） （b 1 b ） 222222 111aba bab abab ab 1 2 ab ， 令 tab（0， 1 4 ，yt 1 t 递减， 第 19 页 共 19 页 所以 117 4 44 min y， 故（a 1 a ） （b 1 b ）2 1725 44 【点睛】 考查基本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题