高中名校模拟试卷-数学(全54页).doc
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1、目录 北 京 市 人 大 附 中 高 三 年 级 第 二 学 期 阶 段 性 测 试 2 成 都 七 中 高 中 毕 业 班 第 一 次 诊 断 性 检 测 7 长 沙 市 长 郡 中 学 高 三 第 三 次 适 应 性 考 试 11 长 沙 市 雅 礼 中 学 高 三 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 18 答 案 及 部 分 试 题 解 析 23 北京市人大附中高三年级第二学期阶段性测试 数 学 第一部分(选择题共 40 分) 一 选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.在复平面内,复数i(2 i)对应的点位于( )
2、A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知集合 A x | 0 x 3, A ,则集合 B 可以是( ) A. 1,2 B. 1,3 C. 0,1,2 D. 1,2,3 3.已知双曲线 y 2 x b 2 的离心率为 5,则 b 的值为( ) 2 1( 0) b A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知实数 a,b,c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( ) A b- a c +a B. c2 ab C. 1 5.在 6 的展开式中,常数项为( ) ( 2x) x c c D. b c a c b a A. 120 B. 120 C. 160
3、 D. 160 6.如图,半径为 1 的圆 M 与直线 l 相切于点 A,圆 M 沿着直线 l 滚动.当圆 M 滚动到圆 M 时,圆 M 与直 3 线 l 相切于点 B,点 A 运动到点 A ,线段 AB 的长度为 2 , 则点 M 到直线 BA 的距离为( ) A. 1 B. 3 2 C. 2 2 D. 1 2 7.已知函数 f(x)=|x-m|与函数 g(x)的图象关于 y 轴对称.若 g(x)在区间(1,2)内单调递减,则 m 的取值范围为 ( ) A. -1,+) B. (-,-1 C. -2,+) D. (-,-2 8.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为( ) A.
4、5 B. 2 2 C. 2 3 D. 13 9.若数列a 满足 n a 则“ , *, 1 2, p r N a a a ”是“a 为等比数列”的( ) p r p r n A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10.形如 22n 1(n 是非负整数)的数称为费马数,记为 Fn.数学家费马根据 F0 ,F1,F2 ,F3, F4 都是质数提出了猜 想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出 F5 不是质数,那 F5 的位数是( ) (参考数据: lg20.3010 ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第二部分(非选择题
5、共 110 分) 二 填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. . 11.已知点 P(1,2)在抛物线 C: y2 2px 上,则抛物线 C 的准线方程为_. 12.在等差数列 a 中, a1 3, a2 a5 16 ,则数列a 的前 4 项的和为_. n n 13.已知非零向量 a, b 满足 a = a - b ,则 1 (a b) b =_. 2 2 14.在ABC 中, AB 4 3, B ,点 D 在边 BC 上, CD=2,则 AD=_;ACD 的面积 4 3 ADC , 为_. 15.如图,在等边三角形 ABC 中, AB=6.动点 P 从点 A 出发,沿着此三角形三边
6、逆时针运动回到 A 点,记 P 运动的路程为 x,点 P 到此三角形中心 O 距离的平方为 f(x),给出下列三个结论: 函数 f(x)的最大值为 12; 函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x=9; 关于 x 的方程 f x kx 3最多有 5 个实数根. 其中,所有正确结论的序号是_. 三 解答题共 6 小题,共 85 分. .解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程. . 16.如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,AB平面 BB C C AB BB BC BC ,点 E 为 A1C1 的中 1 1 , 1 2 2, 1 3 点. (I)求证:C1B 平面 ABC; (II)求二面角
7、A BC E 大小. 17.已知函数 f (x) 2cos2 x sin x . 1 2 (I)求 f(0)的值; (II)从 1 1, 2 2 ; 1 1, 2 1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数 f(x)在 , 上的最小值,并直接写出函数 f(x)的一个周期. 2 6 18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而 研发投入是科技创新的基本保障,下图是某公司从 2010 年到 2019 年这 10 年研发投入的数据分布图: 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元). (I)从
8、 2010 年至 2019 年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过 10%的概率; (II)从 2010 年至 2019 年中随机选取两个年份,设 X 表示其中研发投入超过 500 亿元的年份的个数,求 X 的 分布列和数学期望; (III)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由. 19.已知函数 f (x) ex ax . (I)当 a=-1 时, 求曲线 y= f(x)在点(0,f(0)处 切线方程; 求函数 f(x)的最小值; (II)求证:当 a2,0时,曲线 y f x与 y 1 lnx 有且只有一个交点. 20.已知椭
9、圆 C: x y 2 2 2 2 1(a b 0) 的离心率为 a b 3 2 , ( , 0), ( , 0), (0, ) A a A a B b , A1BA2 的面积为 2. 1 2 (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 M 是椭圆 C 上一点,且不与顶点重合,若直线 A1B 与直线 A2M 交于点 P,直线 A1M 与直线 A2B 交 于点 Q.求证:BPQ 为等腰三角形. 21.已知数列a 是由正整数组成 无穷数列.若存在常数 k N* ,使得 a2n 1 a2n kan 任意的 nN* 成 n 立,则称数列a 具有性质 (k) . n (1)分别判断下列数列a 否具有性质 (2
10、) ; (直接写出结论) n a 1 n a 2n , n (2)若数列 a a n ,求证:“数列a 具有性质 (2) ”是“数列 a 满足 1 ( 1, 2,3, a 为常数列”的充 n n n n n 分必要条件; (3)已知数列a 中 n a 1 1, 且 a 具有性质 (4) ,求数列 a 1 a (n 1, 2,3, .若数列 a 的通项公式. n n n n 成都七中高中毕业班第一次诊断性检测 数学(理科) 长沙市长郡中学高三第三次适应性考试 数学(理)试题 一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分 12 1.集合 中含有的元素的个数为( ) x N | z x
11、 A. 4 B. 6 C. 8 D.12 2.设 a,b R,i 是虚数单位,则“复数 z a bi 为纯虚数”是“ ab 0 ”的( ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件 3. 2019 年 10 月 1 日上午,庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行,这次阅兵不 仅展示了我国的科技军事力量,更是让世界感受到了中国的日新月异,今年的阅兵方阵有一个很抢眼,他们 是院校科研方阵,他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建,若已知甲、乙、丙三人来自上 述三所学校,学历分别是学士,硕士,博士学位,现在知道甲不是军事学
12、院的;来自军事学院的不是博 士;乙不是军事学院的;乙不是博士学位;国防科技大学的是研究生,则丙来自哪个院校的,学位是 什么() A. 国防大学,博士 B. 国防科技大学,研究生 C. 国防大学,研究生 D 军事科学院,学士 4. 8 1 x y 2 x 的展开式中 x 1 y2 的系数是( ) A. 160 B. 240 C. 280 D.320 5.已知 a b e c e,则下列关系正确的是( ) ln 3, log , log 3 A. c b a B. a b c C. b a c D.b c a f (x) 6.函数 e e x x 在 3, 3上的图像大致是( ) ln(x 1)
13、2 A. B. C. D 7.一个几何体的三视图及尺寸如图,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几 何体的表面积是( ) A. 8 2 8 B. 8 2 16 C. 16 2 8 D. 16 2 16 , cos( ) 1 , cos( ) 3 8.已知 (0, ), ( ,0) ,则 cos( ) ( ) 2 2 4 3 4 3 2 A. 3 3 B. C. 5 3 3 3 9 D. 6 9 9.已知 x 2 F F 是双曲线C : y 1(a 0)的两个焦点,过点 1, 2 2 a 2 F 且垂直于 x 轴的直线与C 相交于 A, B 两点, 1 若 AB 2 ,则
14、 ABF 的内切圆半径为( ) 2 A. 2 3 B. 3 3 C. 3 2 3 D. 2 3 3 10.已知数列 a 的通项公式为 a 2n 2,将这个数列中的项摆放处如图所示的数阵,记 b 为数阵从左 n n n n 至右的 n 列,从上到下的 n 行共个数 n2 个和,则数列 的前 2020 项和为( ) b n A. 1011 2020 B. 2019 2020 C. 2020 2021 D. 1010 2021 11.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨制成的骨笛(图 1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学 水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系,图 2 为骨笛测量“春(秋)
15、分”“夏(冬)至”的示意图, 图 3 是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲部分忽略不计),夏至(或冬至)(当日正午太阳光线)与春分日 光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角,由此历法理论知:黄赤交角近 1 万年持续减小,其正切值即 对应的年代如下表: 黄赤交角 23 4 1 23 57 24 13 24 28 24 44 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是( ) A. 早于公元前 6000 年 B. 公
16、元前 2000 年到公元元年 C. 公元前 4000 年到公元前 2000 年 D.公元前 6000 年到公元前 4000 年 12.在满足 0 4, x y x y 的实数对 (x , y )(i 1, 2,3,.,n) 中,使得 y x i i i i i i i i x 1 x2 x3 . xn 1 3xn , 成立的正整数 n 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D .9 二、填空题:本题共 4 小题,每题 5 分共 20 分 13.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增长,动力蓄电池 技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动
17、新能源汽车发展的注意动力,假定现在市场销售 的某款新能源汽车上车载动力蓄电池充电循环次数达到 2000 次的概率为850 0 ,充放电循环次数达到 2500 次的概率是350 0 ,若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000 次充电,那么他的车能够充电 2500 次的概 率是_ 14.动点 P 到直线 x 1的距离和他到点 F(1, 0) 距离相等,直线 AB 过 (4, 0) 且交点 P 的轨迹于 A, B 两点, 则以 AB 为直径的圆必过_. 15.已知 f (x) ln x, g(x) 4e 2 (x a) 2 ,如果函数 h(x) f (x) g(x) 有三个零点,则实数 a 的取
18、值范围是 _ 16.如图,棱长为 2 的正方体 ABCD A BC D ,点 M, N, E 分别是 1 1 1 1 AA AB AD 的中点,以 A 为圆心,1 1, , 为半径,分别在面 ABB A 和面 ABCD内作弧 MN, NE 并将两弧五等分,分点依次是 1 1 M,P,P ,P ,P , N 以 1 2 3 4 及 N,Q ,Q ,Q ,Q ,E ,一只蚂蚁从点 P 出发,沿正方体的表面爬行至 4 , Q 则其爬行的最短距离为_ 1 2 3 4 (参考数据:cos 9 0.9877,cos18 0.9511, cos 27 0.8910) 三、解答题:共 70 分 17. 已 知
19、 a,b,c 分 别 是 ABC 内 角 A, B,C 的 对 边 , 若 ABC 同 时 满 足 下 列 四 个 条 件 中 的 三 个 b a a c 2 6 3 c 3a 3b A ;cos 2A 2 cos2 1; a 6 ;b 2 2 2 (1)满足有解三角形的序号有那些? (2)在(1)所有组合中任选一组,并求对应 ABC 的面积(若所选条件出现多种可能,则按计算的第一种 可能计分) 18.为提供市民的健身素质,某市把 A, B,C, D 四个篮球馆全部转为免费民用 (1)在一次全民健身活动中,四个篮球馆的使用场数如图,用分层抽样的方法从 A, B,C, D 四场馆的使用 场数中依
20、次抽取 a1,a2 ,a3,a4 共 25 场,在 a a a a 中随机取两数,求这两数和 的分布列和数学期望; 1, 2 , 3, 4 (2)设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为 x ,其相应维修费用为 y 元,根据统计,得到如下表的数 据: x 10 15 20 25 30 35 40 y 10000 11761 13010 13980 14771 15440 16020 y z 0.1e 2 4343 2.99 3.49 4.05 4.50 4.99 5.49 5.99 用最小二乘法求 z 与 x 的回归直线方程; y x 40 叫做篮球馆月惠值,根据的结论,试估计这四个篮球馆月惠值
21、最大时 x 的值 参考数据和公式: 7 7 z 4.5, (x x) 700, (x x)(z z) 70,e 20 2 3 i i i i1 i1 b 7 (x x)(z z) i i 7 (x x) 2 i i1 , a z bx 19. 如 图 , 三 棱 台 ABC A BC 中 , 侧 面 1 1 1 AB BA 与 侧 面 1 1 AC CA 是 全 等 的 梯 形 , 若 1 1 AA1 AB, A A1 A1C1, AB 2A1B1 4AA1 , (1)若 CD DA AE EB ,证明: DE / 平面 2 , 2 1 BCC B ; 1 1 (2)若二面角 C AA B为
22、1 1 3 ,求平面 AB BA 与平面C B BC 所成的锐二面角的余弦值 1 1 1 1 20.已知函数 ( ) 1 2 ( 1) ln ( , 0) f x ax a x x a R a 2 (1)求函数 f (x) 的单调递增区间 (2)记函数 y F(x)的图象为曲线C ,设 点 A(x , y ),B(x , y ) 是曲线C 上不同两点,如果在曲线C 上存 1 1 2 2 在点 x x M(x , y ),使得 x 1 2 ; 曲线C 在点 M 处的切线平行于直线 AB,则称函数存在“中值和 0 0 0 2 谐切线”,当 a 2时,函数 f (x) 是否存在“中值和谐切线”请说明
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