实变函数与泛函分析全册精品完整课件.ppt

1、University of science 正定性: ( , 为 中零元). (2) 正齐性: ( , ). (3) 次可加性: ( ). 则称 为 上的一个范数,而 称为 的范数. 此时 称为线性赋范空间,简称赋范空间,记为 . 0 x 0 xxx xxx xyxy, x y x ( ,) x University of science 若 比 更强, 比 也更强,则称 与 等价. 范数等价具有自反性,对称性及传递性. 1 2 n x 12 00 nn xx 1 2 1 1 1 2 2 2 University of science 所有非有限维线性空间都叫 无限维线性空间.Eg. , ,

2、. 代数同构映射保持两线性空间中的加法和数乘. 维线性空间 一定与 代数同构.进一步,若 还是 赋范空间,则 , ,范数相等的同构映 射称为等距同构. , a b C n (1,2,.)n n n R , p a b L p n R n R x 1,.,n n University of science 若对 ,及 ,均有 ,则称 为齐性的.齐性且可加 的算子称为线性算子. 由定义可知,若 为线性算子,则 一定是 中的一 个线性子空间,且值域 也是 中的线性子空间,且 有 . :( )Y D 12 ,( )x xD 1212 ()xxxx( )x D () xx ( )D ( )RY Y Un

3、iversity of science 若 在 上每点均连续,则称 为连续算子. 引理1 设 为线性算子,对某个 ,则 在 点连 续 为连续算子. 0 ( )x D 0 x :( )Y DY 0 ( )x D 0 ( ), nn xxxD ( )D 0n xx University of science 时称 为不变算子或恒等算 子或单位算子,分别用 与 表示. 例 4.2.3 设 ,令 , 则 是 到 的有界线性算 子.其中 为 的对偶数. :xx 0 1 I ( , )(1) bb p aa k s tdsdtp ( )( , ) ( ) b a x sk s t x t dt , q a

4、 b L q , p a b L p University of science () . 0 0 f g 0 x g xf x 0 fg University of science 是共轭的. 不完备的空间(非Banach空间)一定不是自反的;完备的 但非自反的有 空间. 11 , L * , * , 1p , , pp a b L 22 , ,a b L University of science & Technology of China 定理 4.4.1 设 为赋范空间,则 ,即 与 的 一个线性子空间保范同构. 定义 4.4.1 设 为线性赋范空间, ,若对 ,均有 ,则称 弱收敛到

5、 ,记为 . 显然 . , n xx * f n f xf x n xx n xx 弱 nn xxxx 弱 * * University of science & Technology of China 4.4.2. 共轭算子 定义 4.4.2 设 与 为两个线性赋范空间, , 若 ,使 及 ,均有 ,则 称 为 的共轭算子或伴随算子. YY * :Yx * Yf * fxfx * University of science & Technology of China 定理 4.4.2 设 与 为两个线性赋范空间,则有: 1 对每个 ,存在唯一的共轭算子 . 2 映射 是 到 的保范线 性映射

6、. 3 . * Y * Y * Y * * Y Y University of science & Technology of China 例 4.4.1 设 ,对 ,令 则易知 ,求 . 1,m xR ,1,2,1,2, ij aim jn 1,ijmij xx aa A mn RRA * A University of science & Technology of China 4.5 逆算子定理、闭图像定理和共鸣定理 本节介绍算子理论的三条基本定理,它们与 Hahn-Banach定理一起奠定了泛函分析的理论基础 ,并有着广泛的应用范围. University of science & T

7、echnology of China 4.5.1. 逆算子定理 定义 4.5.1 设 与 为同一数域 上的两个赋范空间, 若 是11对应,则称 为可逆算子 ,记其逆为 . 1 . 2若 线性,则 也线性. 3 . 4设 ,若 ,使 , ,则 可逆,且 . Y :Y DR 1 11 , DDRR 1 11 , DR : DR :S DR S D S R 1 S University of science & Technology of China 定义 4.5.2 设 与 为同一数域 上的两个赋范空间, 是线性算子,若 是可逆算子,且 有界, 则 为正则算子. Y :Y D 1 Universi

8、ty of science & Technology of China 定理4.5.1（Banach逆算子定理）设 与 为两个 Banach空间,若 ,且 是 的11对应, 则 有界,即 为正则算子. Y Y Y 1 University of science & Technology of China 引理 1 设 为线性赋范空间 的稠密子集,则对 , ,有 ,其中 ,且 . 引理 2 在定理4.5.1的条件下,令 ,则存在一个 在 的某个闭球中稠. 引理 3 在定理4.5.1的条件下,必存在一个 ( 的定 义如引理2)在 中稠密. y y 1 k k yy k y 3 ,1,2, 2 k

9、k yyk 1 Y, n yyn y 1,2,n Y Y University of science & Technology of China 例 4.5.1 设线性空间 关于范数 与 均成为 Banach空间,若 比 更强,则 与 等价. 2 1 2 2 1 1 University of science & Technology of China 4.5.2. 闭图象定理 设 和 为同一数域 上的两个线性赋范空间,令 在 中定义加法与数乘: 在上述加法与数乘下成为一个线性空间.又在 中定义: 或 ,则 成为一个线性赋范 空间,则称 为 与 的乘积空间,记为 . 1 2 12 ,x y x

10、y 11221212121122 12 , , x yxyxxyyx xy y x yxyxy 22 , x yxyxy, , 1 2 12 University of science & Technology of China 定义 4.5.3 设 与 为同一数域 上的两个线性赋范空 间, ,令 ,称 为算 子 的图象.若 为 的闭集,则称 为闭算子. 引理1 设 与 为两个线性赋范空间,若 为连续算子(特别 是线性有界算子),且 为 中的 闭集,则 为闭算子. F :F D ,F T Gxx x DG F G F :F D D University of science & Technol

11、ogy of China 思考题思考题 设 ,则 闭 ,若 ,则 ,且 . 例 4.5.2 考虑例4.2.5微分算子 , , 则 是无界线性算子,但 是闭算子. :F D n xD , nn xxxy xD yx 1 , : a ba b d xx dt University of science & Technology of China 定理 4.5.2 （闭图象定理）设 与 均为Banach空间, 若 是 到 的闭线性算子,则 有界. 例 4.5.3 设 为可数矩阵,且 ,对 ,定义 ,则 是 上的连 续算子. Y Y ,1 ij i j Aa 2 1 ,1,2, ij i aj 2 1

12、2 ,x ij yxx a A A 2 University of science & Technology of China 4.5.3. 共鸣定理 在介绍本定理之前,先看看Fourier级数中的一个问 题,若 是在 上可积且绝对可积的实函数,则可 知 的Fourier级数为: f t , f t 0 1 cossin 2 kk k a f taktbkt University of science & Technology of China Dirichlet定理给出,若 为上以 为周期的实连续函 数,而 在任何有限区段上逐渐光滑,则在 上有: 当然,Dini定理还把后一条件减弱为 处处可

13、导.我们 问,仅有前一条件,而 ,上述结论是否成立？回答 是否定的.1876年,P. du Bios Reymoud用泛函分析给出 了一个反例. f t2 f t 0 1 cossin 2 kk k a f taktbkt f t 2 f University of science & Technology of China 定理 4.5.3 (Banach-Steinhaus共鸣定理) 设 是 Banach空间, 是线性赋范空间, , 为一个指标集,则 有界 对每个固定的 , 有界. 推论 设 为Banach空间, 是线性赋范空间, ,若对 , 均在 中收敛, 则 有界. YAY xx Y

14、Y ,1,2, n n x nx n Y University of science & Technology of China 注:对 , 收敛,并不能保证 ,使 . 但若将 改为Banach空间,则可保证. x nx Y n 强 Y University of science & Technology of China 例 4.5.4 设 为定义在 上,以 为周期的实连续函 数全体.定义范数 , ,易验证 按该 范数成为Banach空间,则 ,使 的Fourier级数, 在 处不能收敛到 ,即 ,这里 的 F-级数为 其中 2 2 max t R xx t 2 x 2 2 x x t 0t 0 x 0 1 0 2 k k a xa x t 0 1 cossin 2 kk k a x taktbkt 11 cos0,1,2,sin0,1,2, kk ax tktdt kbx tktdt k