福州大学高等数学(B)下第五章向量代数一解几习题课件.ppt（85页）

1、第五章向量代数与空间解析几何5.1向量及其运算p.1一.填空题1.(4,3,5),MOxOyOzO 点点到到轴轴轴轴轴轴及及原原点点 的的距距离离分分别别是是(,),(,).d M zd M O22(,)(3)534.d M x 解解 22(,)4541.d M y 22(,)4(3)5.d M z 222(,)4(3)55 2.d M O (,)(,),d M xd M y344155 22.(4,1,7),(3,5,2)OzAB在在轴轴上上与与点点等等距距离离的的.点点是是 (0,0,),z解解设设所所求求点点的的坐坐标标为为则则22222241(7)35(2),zz1414,(0,0,)

2、.99z所所求求点点为为14(0,0,)93.与与三三坐坐标标轴轴正正向向成成等等角角的的单单位位向向量量是是 (cos,cos,cos),abc 解解 设设所所求求向向量量为为则则coscoscos,abc222coscoscos1,abc1coscoscos,3abc 1(1,1,1).3 1(1,1,1)3 4.(2,1,7),ABBxyz 向向量量的的终终点点为为且且在在 轴轴轴轴 轴轴上上的的4,4,7,.A 投投影影依依次次为为则则起起点点 的的坐坐标标是是 (,),(2,1,7)(,)(4,4,7),A x y zABx y z解解 设设则则(,)(2,1,7)(4,4,7)(2

3、,3,0).x y z (2,3,0)5.2 aijk向向量量与与各各坐坐标标轴轴的的夹夹角角分分别别12122(),222 aijkijk解解 是是 .121cos,cos,cos,222,cos.343,3 4 3 6.53,aijkbijk已已知知向向量量与与共共线线 则则.511,15,.315 解解 115,5 12127.(3,5,3),(3,3,5),3,MMMM MMM设设且且点点使使.OM 则则 12(,),3M x y zM MMM 解解 设设则则由由得得(,)(3,5,3)3(3,3,5)(,),x y zx y z4(,)(3,5,3)3(3,3,5)(12,4,12)

4、,x y z(,)(3,1,3).x y z(3,1,3)8.|6,aaxyz 设设且且 与与 轴轴轴轴 轴轴正正向向的的夹夹角角依依次次为为,.3 34a 和和则则 6(cos,cos,cos)(3,3,3 2).334a解解 (3,3,3 2).二.计算题(p1).二二 计计算算题题1.1,1,1,2,3,5,2,1,2,设设(1)|,|,|;求求000(2),;求求 的的单单位位向向量量000(3),用用表表示示.(1)|3,|38,|3;解解 0011(2)(1,1,2),(2,3,5),33801(2,1,2);3 0(3)3,038,03.12342.,ABCBCD D D D 的

5、的边边五五等等分分 分分点点依依次次为为再再把把1,AABc BCaD A各各分分点点与与点点 连连接接,试试以以表表示示,234 D A D AD A,和和.1111()(),5 D AADABBDca 解解 222(5 D AADca ),),ABC1D2D3D4Dca333(),5 D AADca 444().5 D AADca 3.3,5,8,2,4,7,5,1,4,abc设设(1)43;(2)Pr;xabcj 求求求求 (3)(4);y求求 在在 轴轴上上的的分分量量;求求 的的方方向向余余弦弦(5)求求与与 平平行行的的单单位位向向量量.(1)43 abc 解解 43,5,832,

6、4,75,1,4,13,7,15.(2)Pr13;xj 求求 (3)7 yj 在在 轴轴上上的的分分量量为为;13715(4),;443443443 的的方方向向余余弦弦为为13715(5),).443443443 求求与与 平平行行的的单单位位向向量量为为(三.证明题p212.,ABCG OOAr OBr三三 设设的的重重心心为为是是坐坐标标原原点点31231,().3 OCrOGrrr求求证证:1,OGOAAGrAG证证明明 2,OGOBBGrBG3,OGOCCGrCGOABCGD1r2r3r12311()(),33 OGrrrAGBGCG0,GABCAGBGCG是是的的重重心心,1231

7、().3OGrrr5.1向量及其运算p.1完5.2向量的乘法运算p.3一.填空题1.(2,1,2)18 aa x 与与共共线线且且满满足足的的向向量量.x 2.(2,2,1)(4,5,3)ab同同时时垂垂直直于于与与的的单单位位向向量量是是.3.(1,3,1)(2,1,3)ab以以和和为为两两边边的的平平行行四四边边形形.S 的的面面积积2(4,2,4)a 1(1,2,2)33 104.(2,1,1),(3,0,1)ab 已已知知=,=,5.|5,|8,(,),|.3aba bab 已已知知且且则则6.(1,1,4),(1,2,2),Pr.babj a已已知知则则(,).a b 7.(3,5,

8、2),(2,1,4),ababz设设又又与与 轴轴垂垂直直 则则,.满满足足关关系系式式 11116521530 sin(,).a b 则则 73 34 2 二.计算题p31.(2,3,1),(1,1,3),(1,2,0),:abc计计算算(1)()();(2)()();(3)().a b ca c babbcabc(1)()()a b ca c b 解解 (2 1(3)(1)1 3)(2 1(3)(2)cb 8(1,2,0)8(1,1,3)(0,8,24);(2)()()abbc (34,4)(2,3,3)(0,1,1);(3)()(2,3,1)(1,1,3)abcc(8,5,1)(1,2,

9、0)2.2.375,4 abab ab若若向向量量垂垂直直于于向向量量垂垂直直于于向向量量72,abab 决决定定向向量量 和和 间间的的夹夹角角.2222(3)(75)07|1615|0,(4)(72)07|308|0 ababaa bbababaa bb22|,|,a bbab22|cos|,abbab 1cos,.23 3.|3,|1,(,),236 aba babab 设设计计算算以以与与.为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形面面积积|(2)(3)|abab解解|326|aaabbabb|5|5|sin6abab 15 353 1.22 三.证明题123123.1.,a a a b b

10、 b三三设设为为任任意意实实数数 试试利利用用向向量量有有关关知知识识:证证明明不不等等式式2222221231231 12233|.aaabbba ba ba b123123(,),(,),aa a abb b b证证明明 令令 则则222222123123|aaabbbab|cos(,)|aba b1 12233|.a ba ba ba b2.:,a b证证明明 对对任任意意的的向向量量都都有有2222|()|.aba bab2222|sin(,).ababa b证证明明 2222()|cos(,),a baba b2222|()|.aba bab5.2向量的乘法运算p.3完成5.3平面与

11、直线p.5一.填空题p51.(3,0,1)375120 xyz过过点点且且与与平平面面平平行行的的.平平面面是是 2.(3,1,2).z过过点点且且包包含含 轴轴的的平平面面是是 003.(2,9,6)MOM 通通过过点点且且垂垂直直于于向向量量的的平平面面方方程程.是是 4.2250 xyz平平面面与与各各坐坐标标面面的的夹夹角角余余弦弦分分别别是是 37540 xyz30 xy296121xyz2 2 1,3 3 35.1(0)axbyczabc平平面面与与三三个个坐坐标标面面围围成成的的.V 四四面面体体体体积积16.24xyzxyz 直直线线的的对对称称式式方方程程是是.16|abc5

12、211133()213213xyxyzz7.(3,1,1)629960 xyz点点关关于于平平面面的的对对称称.点点是是 8.(0,2,4)21xz过过点点且且同同时时平平行行于于平平面面和和32yz 的的直直线线方方程程是是(9,5,17)2-8024()231-3100 xzxyzyz .二.计算题p500.1.(1,1,1)(2,1,1)MMM二二求求过过点点且且垂垂直直于于与与连连线线.的的平平面面方方程程0(1,2,2),nM M解解 所所求求平平面面方方程程为为1(1)2(1)2(1)0,xyz2230 xyz011.2.(0,1,2)112xyzM 二二求求过过点点且且与与直直线

13、线平平行行.的的直直线线方方程程12,112xyz 解解 所所求求直直线线方方程程为为11.2422xyxyyzxz 或或或或210.3.2010 xyzxyzxyz 二二求求过过直直线线且且垂垂直直于于.的的平平面面方方程程解解 设设所所求求平平面面方方程程为为21(1)0,xyzxyz 1(2)2(1)(1)(1)0,1,4:310.xyz 所所求求平平面面方方程程为为 .4.2228xyzxyz二二求求两两平平面面与与.的的平平分分面面方方程程(,)M x y z解解 平平分分面面上上的的点点到到两两平平面面的的距距离离相相等等,|22|28|,66xyzxyz|22(28),xyzxy

14、z 1:20,yz 得得两两个个平平分分面面:2:2100.xyz .5.(2,1,2)P 二二设设一一直直线线过过点点且且与与两两直直线线12111213:101113xyzxyzLL 与与同同时时相相交交,求求此此直直线线方方程程.1(1,1,1),LAtt解解 设设所所求求直直线线与与相相交交于于2(2,1,33),LBrrr 与与相相交交于于(1,2,1),(,2,53)PAttPBrrr 则则 121,253 ttPA PBrrr 共共线线5,4r 5 351(,)(5,3,5),4 444 PB 212.535xyz 所所求求直直线线方方程程为为 三.证明题p60.MLML三三 设

15、设是是直直线线 外外的的一一点点,是是直直线线 上上的的任任意意一一点点,0|.|M Msds 00|sin|,M MsM Ms 解解 0,LsML且且直直线线 的的方方向向向向量量为为 证证明明:点点到到 的的距距离离0|sin|,dM M 0|.|M Mss dsM0M 5.3平面与直线p.4完成5.4-5.4曲面与曲线p.7一.填空题p72221.2440 xyzxyz球球面面的的,.R 中中心心是是 半半径径2.(1,3,2),以以点点为为球球心心 且且通通过过原原点点的的球球面面方方程程是是.23.5xOzzxx 将将坐坐标标面面上上的的抛抛物物线线绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所.生

16、生成成的的旋旋转转面面方方程程是是 (1,2,2)3222(1)(3)(2)14xyz225yzx224.1.94xy方方程程所所表表示示的的曲曲面面是是 22225.:(1)5,(2)2,zxyxyy设设有有三三元元方方程程222222(3)1,(4)(1),xyzxyz则则表表示示锥锥面面.的的方方程程是是2226.1.xyz方方程程所所表表示示的的旋旋转转面面是是由由.上上的的 绕绕 轴轴旋旋转转一一周周生生成成的的椭椭圆圆曲曲面面(4),xOy yOzy双双曲曲线线2217.493xyy 方方程程组组在在平平面面解解析析几几何何中中表表示示 ,在在空空间间解解析析几几何何中中表表示示.

17、2228.22zxyzxxOy曲曲线线与与的的交交线线在在面面上上的的投投影影.曲曲线线方方程程是是 (0,3)交交点点22014933xyxyy 直直线线或或2210 xyz 二.计算题p71.(2,3,1)(4,5,6),一一动动点点与与两两定定点点和和等等距距离离 求求这这动动点点的的轨轨迹迹方方程程.(,),x y z解解 设设动动点点坐坐标标为为则则322222(2)(3)(1)(4)(5)(6)xyzxyz所所求求动动点点的的轨轨迹迹方方程程为为4410630.xyz222.4936xOyxyx将将坐坐标标面面上上的的双双曲曲线线分分别别绕绕 轴轴,.y及及 轴轴旋旋转转一一周周

18、求求所所生生成成的的旋旋转转曲曲面面方方程程22249()36.xxyz解解 绕绕 轴轴旋旋转转的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为2224()936.yxzy绕绕 轴轴旋旋转转的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为3.指指出出下下列列方方程程在在平平面面解解析析几几何何中中和和空空间间解解析析几几何何中中?分分别别表表示示什什么么22(1)2;(2)4.xxy (1)2,x 解解 在在平平面面解解析析几几何何中中表表示示直直线线 在在空空间间解解析析;几几何何中中表表示示平平面面22(2)4,xy 在在平平面面解解析析几几何何中中表表示示圆圆周周 在在空空间间.解解析析几几何何中中表表示示圆圆柱柱面面

19、8.4.p说说明明下下列列旋旋转转曲曲面面是是怎怎样样形形成成的的?222222(1)1;(2)1.4yxzxyz 22222(1)1144yyxzxOyx解解 是是由由面面上上的的双双曲曲线线.y绕绕 轴轴旋旋转转而而成成221.4yzOyzy或或由由面面上上的的双双曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转而而成成22222(2)11xyzxOyxy是是由由面面上上的的双双曲曲线线.x绕绕 轴轴旋旋转转而而成成221.xOzxzx或或由由面面上上的的双双曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转而而成成8.5.pxy分分别别求求出出母母线线平平行行于于 轴轴及及 轴轴且且通通过过 222222216.0 xyzxzy 的

20、的柱柱面面方方程程2222222222182162,3082yxxyzxzyzx 解解 222316(8),yOzyzz它它在在面面上上的的投投影影为为222316(8);xyzz所所求求母母线线平平行行于于 的的柱柱面面方方程程为为注注意意 它它是是双双曲曲面面的的一一部部分分.8.5.p解解续续.223216.yxz所所求求母母线线平平行行于于 的的柱柱面面方方程程为为222222222163216,0 xyzxOzxzxzy 在在面面上上的的投投影影为为222226.0zaxyxyax求求由由上上半半球球面面柱柱面面0zxOyxOz 及及平平面面所所围围成成的的立立体体在在平平面面和和上

21、上的的投投影影.2222220,0 xyzaxyaxz 解解 所所围围立立体体为为222,.0 xzaxOzz 立立体体在在平平面面上上的的投投影影为为220,0 xyaxxOyz 立立体体在在平平面面上上的的投投影影为为22298.7.xyzpxy 将将曲曲线线的的直直角角坐坐标标方方程程.化化成成参参数数方方程程3 2cos,02.23sinxyttzt 解解 5.4-5.4曲面与曲线p.7完成第五章 自测题p.9一.填空题p911.24xyzxyz 直直线线的的对对称称式式方方程程是是.2.(1,2,0)210 xyz点点在在平平面面上上的的投投影影.是是 5322011xyz5 2 2

22、(,)2 3 3 9.3.,pa 与与三三坐坐标标面面的的夹夹角角分分别别为为则则222coscoscos.4.(,).a b cx点点关关于于 轴轴对对称称的的点点是是 225.1zxyyzxOy与与的的交交线线在在面面上上的的投投影影曲曲.线线方方程程为为 2(,)abc2210 xyyz 6.,.x y z与与轴轴正正向向成成等等角角的的单单位位向向量量是是 12111117.:12111xyzxyzll 与与相相交交.于于一一点点,则则=9.8.()().pabab 3(1,1,1)3 542()ab 2232129.0 xyyz 曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的曲曲面面

23、方方.程程是是 22222221610.0 xyzyxyz 母母线线平平行行于于 轴轴且且过过曲曲线线的的柱柱.面面方方程程为为 2223()212xzy223216xz二.单项选择p922221.,().xyzyhyhab与与相相截截 其其截截线线为为平平面面上上的的();();();().ABCD抛抛物物线线双双曲曲线线椭椭圆圆直直线线A2.(2,0,1)().M点点在在空空间间中中的的位位置置是是()()()().ABxOyCxOzDy在在第第一一卦卦限限;在在面面上上;在在面面上上;在在 轴轴上上C3.,0,().a b 则则以以下下等等式式面面立立的的是是2222()()()|;()

24、()();()()();()()()|;A abababB ababaabbCababaabbD abababA4.(,),().a b 则则下下列列等等式式面面立立的的是是();();()|sin;()|.A abbaB abbaC a babD abab B222115.()().23xyz曲曲面面的的旋旋转转轴轴是是()()()()A xB yC zD轴轴;轴轴;轴轴;不不是是旋旋转转曲曲面面.C6.().下下式式正正确确的的是是();();();().A ijkB i jkC i ij jD iii i C7.,0,().a b c 则则下下列列命命题题成成立立的的是是()|;(),;

25、()|;(),.aAababBa bb cabC a baprj bDabacbc当当时时当当时时 有有C8.,aOA bOB cOCA B C 设设且且在在 上上 则则().nabbcca 满满足足();()/;();()(,).4A nB nC nDn 在在 上上A,0,A B Cnabbcca分分析析 如如果果共共线线 则则,0,A B Cnabbcca设设不不共共线线 则则则则()()ABACbacabcbaacaa,abbcca()nABAC()()0,abbccaabbcca/(),.nABACn 即即 9.().下下列列曲曲面面是是旋旋转转抛抛物物面面的的是是222222222(

26、);()2;()(1);().A zxyB zxyCzxyD zxyB10.().下下列列曲曲面面中中表表示示柱柱面面的的是是22222222();()1;()1;()6.A zxyB xyC zxyD xyzB三.计算下列各题p10p111.(0,2,4)2132xzyz求求过过点点且且与与平平面面和和平平行行的的直直线线方方程程.21,132xzyz解解 平平面面和和的的交交线线方方程程为为12231xyz 24.231xyz 所所求求的的直直线线方方程程为为 11.2.(1,2,1),(3,0,2),(2,1,3),pABC 已已知知,.A B C求求过过点点的的平平面面方方程程(2,2

27、,1),(1,3,2),ABAC解解 2211320,121xyz所所求求平平面面方方程程为为3411.xyz即即 (1,2,1),AMxyz三三向向量量共共面面3.|4,|3,(,),2,36 aba bab ab 设设求求以以为为边边的的.平平行行四四边边形形面面积积|(2)(3)|0230|Sababbaab解解 1|5|5|sin5 4 330.62abab 4.(,)(1,1,2)M x y zxOyM 已已知知动动点点到到平平面面与与到到的的距距离离,.M相相等等 求求动动点点的的轨轨迹迹方方程程222|(1)(1)(2)zxyz解解 22(1)(1)440.xyz 所所求求的的轨

28、轨迹迹方方程程为为 5.:用用向向量量证证明明 三三角角形形两两边边中中点点的的连连线线平平行行于于第第三三边边,且且长长度度为为第第三三边边的的一一半半.,E D FAC BC AB证证明明 如如图图,分分别别为为的的中中点点2,2,2,ACb AEb CBa ABc设设 222,bacbac1.2 EDcAB即即 1/,|B|.2 EDABEDAABCEDFabcabc 四.五.六.计算题p12(1,3,4):320.Pxyz p12.p12.四四.求求点点关关于于对对称称的的点点(1,3,4)(,),PM x y z 解解 设设关关于于 的的对对称称点点为为(1,3,4)MPxyz 则则

29、平平行行于于 的的法法向向量量134(3,1,2)(,)222xyznMP,且且的的中中点点,在在平平面面 上上134,312,134320222xyzxyz 1,5,0,(5,1,0).yxzM 解解得得 210.:2010 xyzlxyzxyz p12.p12.五五 求求在在上上的的投投影影方方程程.:21(1)0,lxyzxyz 解解 过过 的的平平面面束束方方程程(2)(1)(1)10,xyz1(2)2(1)(1)(1)0,4 令令 得得 l 过过 且且垂垂直直于于 的的平平面面方方程程为为310,xyz30.20 xyzxyz 投投影影直直线线方方程程为为 .:.六六 用用向向量量法法证证明明 直直径径所所对对应应的的圆圆周周角角是是直直角角()(),AC CBadad证证明明 22|0.adOABCaabc d.ACBC第五章习题完成