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1、概率论及数理统计全册概率论及数理统计全册 精品完整课件精品完整课件 习题选讲习题选讲 练习练习1 利用互不相容事件的概念及加法原理利用互不相容事件的概念及加法原理、乘法原乘法原 理证明恒等式：理证明恒等式： 解解 (1)考虑考虑E：从含有：从含有n-1个黑球和个黑球和1个白球的袋中任取个白球的袋中任取k 个球个球的组合的组合，记记A=没有取到白球没有取到白球， 则则 ;) 1 ( 1 11 k n k n k n CCC 、含、含 k n k n CAC 1 .)()2( 2 0 2n n n k k n CC 个基本事件。含 1 1 k n CA 由加法原理即得由加法原理即得(1)式式。 解

2、解 (2)考虑考虑E：从含有：从含有n个黑球和个黑球和n个白球的袋中任取个白球的袋中任取n 个球个球的组合的组合，记记Ak=取到取到k个个白球白球，k=0,1,2,n, 则则 ;), 1 , 0( 2 个基本事件含、含nkCCAC kn n k nk n n 。，又)( 0 jiAAA ji n k k 由加法原理即得由加法原理即得(2)式式。 (可推广可推广) 练习练习1 甲甲、乙约定下午乙约定下午1点点2点间到某车站乘车点间到某车站乘车，该时间该时间 段内有段内有4班车班车，每刻钟一辆每刻钟一辆。若若(1)见车就乘；见车就乘；(2)最多等一最多等一 班车班车。求二人乘同一车的概率求二人乘同

3、一车的概率。 解解1 记记A=见车就乘时二人乘同一车见车就乘时二人乘同一车， B=最多等一最多等一 班车时二人乘同一车班车时二人乘同一车，则则 法法1 几何概型几何概型 ( )( )() 42*310 444416 P BP AP BA 1 x y 1 4 ( ), 16 P A 4 ( ), 44 P A 法法2 古典概型古典概型 10 ( ) 16 P B 习题选讲习题选讲 练习练习2 n个座位依次从个座位依次从1号编到号编到n号号，把把1号至号至n号的号的n个个 号码分给号码分给n个人个人，每个人一个号码每个人一个号码，这这n个人随意地坐到个人随意地坐到 座位上座位上，求至少有一个人手里

4、的号码恰好与座位的号码相求至少有一个人手里的号码恰好与座位的号码相 同的概率同的概率，且当且当n很大时很大时，给出这个概率的近似值给出这个概率的近似值。 解解 记记B=至少有一个人的号码恰好与座位的号码相同至少有一个人的号码恰好与座位的号码相同， , 2 , 1, 1 )(ni n BP i , ! )!2( )(ji n n BBP ji ! 1 )(, 21 n BBBP n 1 12 1 ( )()()( 1)() n n iijn iij P BP BP BBP B BB ! 1 ) 1( ! )!2( * 1 * 12 nn n C n n n n n k k k 1 1 ! ) 1

5、( 0 ! ) 1( 1 k k n ke n 1 1 Bi=第第i个人的号码恰好与座位的号码相同个人的号码恰好与座位的号码相同，i=1,2,n，则则 1 , n i i BB 练习练习3 (习题习题1.11) (蒲丰投针问题蒲丰投针问题）平面上有一族平行线平面上有一族平行线 。其中任何相邻的两线距离都是其中任何相邻的两线距离都是 a(a0)。向平面任意投一向平面任意投一 长为长为 l(la) 的针的针，试求针与一条平行线相交的概率试求针与一条平行线相交的概率。 解解 设设 x 是针的中点是针的中点 M 到最近的平行线的距离到最近的平行线的距离， 是针是针 与此平行线的交角与此平行线的交角，投

6、针问题就相当于在平面区域投针问题就相当于在平面区域 D 取点取点 的几何概型的几何概型。 0 sin 2 2 . 2 l d Al P a Da 的面积 的面积 ( , )|0,0 2 a Dxx ( , )|0,0sin 2 l Axx sin 2 l x x 2 a D A 0 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业交两面内容全学的页码 1990年，美国Parade展示杂志“Ask Marilyn 专栏的主持人玛莉莲 莎凡收到了一名读者的提问： 假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门 中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面 则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号门，然后知道

7、门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假 设是三号门。他然后问你: 你想选择二号吗？ 一个教授都容易回答错误的概率问题 1.4 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性 一、一、条件概率条件概率 1问题 E产品(N个产品中含M个次品)随机抽样。 Ai = 第 i 次抽到次品, i = 1, 2， M N 放回抽样时， ?)/( 12 AAP 不放回抽样时， 21 (/)P AA M N M N M N P(A2) P(Ai) P(A2) 1 1 M N 1 M N 2定义定义 )( )( )/( BP ABP BAP 为在B发生的条件下， A发生的条件概率。 注2条件概率满足三条

8、公理及概率的其它性质。 注1P(A/B) 是将样本空间 压缩成B、事件A压缩成AB 后计算概率， P(A/B)本质上是一个无条件概率； A B AB 设A、B为两随机事件，且P(B) 0，则称 例1 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30 年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪 水的概率为85%，现已知该地区已经30年未发生特大洪 水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？ 解 记A=30年内无特大洪水， B=未来10年内有特 大洪水，则 ()() (/) ( )( ) P BAP AAB P B A P AP A B ( ) 0.20.15 0.25 ( )0.2 P

9、AP AB P A 二、乘法公式 )( )( )/( BP ABP BAP )/()()(BAPBPABP0)(BP )/()()(ABPAPABP0)(AP )/()/()/()()( 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP A =40年内无特大洪水 例2 设A盒内有M 个黑球，B盒内有同种质地、大小的M个 白球。现让某人从B 盒内随机摸取一球放入 A盒中，然后 再从A 盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。若 经M次交换后，A中恰有M个白球则此人可获奖。问此人获 奖的概率是多少？ 解 设 个白球中恰有次交换后，经过MAMA k AkAB 在第 次交换中，

10、 中黑球与 中白球交换 ., 2 , 1Mk 由概率的乘法公式有则. 21M AAAA M AAAPAP 21 121312121MM P AP A AP A A AP AA AA M M MM M 1 ! 2 112211 () () ()() 1111 MMMMMM MMMMMMM M 例3 袋中有5个球：3个红球，2个白球。现每次 任取1个，取后放回，并同时放入3个同色的球。记Ai 为第i次取到红球，求概率P(A2)。 解 )( 2 AP )()( 2121 AAPAAP)( 2121 AAAAP )/()()/()( 121121 AAPAPAAPAP 5 3 3 62 3 5 85

11、8 )/()()/()()( 1211212 AAPAPAAPAPAP 问题：A3由哪几个原因引起？ 31231212312 1231212312 ()()(/)()(/) ()(/)()(/) P AP AAP AAAP AAP AAA P AAP AAAP AAP AAA 121312 ()(/)(/)P AP AAP AAA 三、全概率公式三、全概率公式 B (1), ij AAij 1 (2) n i i A 则对任何事件B有 n i ii ABPAPBP 1 )/()()( 证 11 ( )()() )() nn ii ii P BPBPA BPAB 1 () n i i P AB

12、n i ii ABPAP 1 )/()( A1 A2 An BA1 BA2 BAi. BAn 设A1 , A2 , ,An 是对 的一个划分： 注意：解题时先画因果关系图(多因一果)。 A1 Ai An P(B/Ai) B P(Ai) 例1.17 (P10：矿工逃生问题)。 BA1 四、四、Bayes公式公式 P(Ai) P(Ai/B) A1 A2 An P(B/Ai) B 设 A1, A2, ,An是对 的一个划分，则 1 () (/) (/) () (/) ii in jj j P A P B A P A B P A P B A ni., 2, 1 P(Ai) 先验概率 P(Ai/B) 后

13、验概率 B B 证明 () (/) ( ) i i P AB P A B P B 1 () (/) () (/) ii n jj j P A P B A P A P B A 例4 一台机床正常时，产品的合格率为90%，非正常 时，产品的合格率为30%。每天上班开动机床时，机床正 常的概率为75%。检验人员为检验机床是否正常，开动机 床生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此 时机床处于正常状态的概率是多少？ 解 记A=机器处于正常状态 B=生产出的一件产品为不合格品 A A B )/()()/()( )/()( )/( ABPAPABPAP ABPAP BAP 7 . 025. 01

14、. 075. 0 1 . 075. 0 0.3( )0.75P A 0.75 0.25 0.1 0.7 此时机器处于不正常状态的概率为0.7，应检修。 一个教授都容易回答错误的问题的解答 = i A设第i号门后是汽车 ，i=1,2,3 = j B选择第j号门 ，j=1,2,3 =3C主持人知道哪个门是汽车，打开了 号门是山羊 ， 33 1111 11 ()=(B C)=P(A B )P(C|A B ) iii ii P BCP A 1111 11 1 11 () (|)1 92 (|) 1 ()3 6 P AB P C AB P A BC P BC 11 (|)?P A BC 11 =( 33

15、 111121213131 =P(A B )P(C|A B )+P(A B )P(C|A B )+P(A B )P(C|A B ) 1 2 1+0) 1 6 21 1 1 2 9 (|) 1 3 6 P ABC 21 (|)?P ABC 一、什么是贝叶斯推断一、什么是贝叶斯推断 贝叶斯推断（贝叶斯推断（Bayesian inferenceBayesian inference）是一种统计学方法，用来估计）是一种统计学方法，用来估计 统计量的某种性质，它是贝叶斯定理（统计量的某种性质，它是贝叶斯定理（Bayes theoremBayes theorem）的应用。）的应用。 英国数学家托马斯贝叶斯（

16、英国数学家托马斯贝叶斯（Thomas BayesThomas Bayes）在）在 17631763 年发表的一篇年发表的一篇 论文中，首先提出了这个定理。论文中，首先提出了这个定理。 贝叶斯推断的含义贝叶斯推断的含义 对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式： 我们把 P(A)称为先验概率（Prior probability），即在 B 事 件发生之前，我们对 A 事件概率的一个判断。P(A|B)称为后验 概率（Posterior probability），即在 B 事件发生之后，我们 对 A 事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为可能性函数 （Likelyhood），这是一个调整因子

17、，使得预估概率更接近真实 概率。 这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个先验概率，然后加 入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了先验概率，由 此得到更接近事实的后验概率。 在这里，如果可能性函数P(B|A)/P(B)1，意味着先验概率 被增强，事件 A 的发生的可能性变大；如果可能性函数=1，意 味着 B 事件无助于判断事件 A 的可能性；如果可能性函数1， 意味着先验概率被削弱，事件 A 的可能性变小。 【例子】水果糖问题【例子】水果糖问题 为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看两个例子 两个一模一样的碗， 一号碗有 30 颗水果糖和 10 颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各 20 颗。

18、 现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水 果糖来自一号碗的概率有多大？ 。我们假定，H1 表示一号碗，H2 表示二号碗。由于这两个碗是一 样的，所以 P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两 个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率就 叫做先验概率， 即没有做实验之前， 来自一号碗的概率是 0.5。 。 再假定，E 表示水果糖，所以问题就变成了在已知 E 的情况下， 来自一号碗的概率有多大，即求 P(H1|E)。我们把这个概率叫做 后验概率，即在 E 事件发生之后，对 P(H1)的修正。 根据条件概率公式，得到 。根据条件概率公式，得

19、到 。 已知， P(H1)等于 0.5， P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率， 等于 0.75，那么求出 P(E)就可以得到答案。根据全概率公式， 所以， 将数字代入原方程，得到 这表明，来自一号碗的概率是 0.6。也就是说，取出水果糖之 后，H1 事件的可能性得到了增强 介绍了贝叶斯推断的原理，下面讲如何将它用于垃圾邮件过 滤。 什 么 是 贝 叶 斯 过 滤 器 ？ 垃圾邮件是一种令人头痛的顽症，困扰着所有的互联 网用户。 正确识别垃圾邮件的技术难度非常大。 传统的垃圾邮件过滤方 法，主要有关键词法和校验码法等。前者的过滤依据是特 定的词语；后者则是计算邮件文本的校验码，再与已知的垃

20、圾 邮件进行对比。它们的识别效果都不理想，而且很容易规避 2002 年，Paul Graham 提出使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件。 他说，这样做的效果，好得不可思议。1000 封垃圾邮件可以过 滤掉 995 封，且没有一个误判。 另外，这种过滤器还具有自我学习的功能，会根据新收到的邮 件，不断调整。收到的垃圾邮件越多，它的准确率就越高。 建立历史资料库建立历史资料库 贝叶斯过滤器是一种统计学过滤器，建立在已有的统计结果之上。所以， 我们必须预先提供两组已经识别好的邮件，一组是正常邮件，另一组是 垃圾邮件。 我们用这两组邮件，对过滤器进行训练。这两组邮件的规模越大，训 练效果就越好。Paul Gr

21、aham 使用的邮件规模，是正常邮件和垃圾邮件各 4000 封。 训练过程很简单。首先，解析所有邮件，提取每一个词。然后，计算 每个词语在正常邮件和垃圾邮件中的出现频率。比如，我们假定sex这 个词，在 4000 封垃圾邮件中，有 200 封包含这个词，那么它的出现频率 就是 5%；而在 4000 封正常邮件中，只有 2 封包含这个词，那么出现频率 就是 0.05%。（【注释】如果某个词只出现在垃圾邮件中，Paul Graham 就假定，它在正常邮件的出现频率是 1%，反之亦然。随着邮件数量的增 加，计算结果会自动调整。） 有了这个初步的统计结果，过滤器就可以投入使用了。 。 。贝叶斯过滤器的

22、使用过程贝叶斯过滤器的使用过程 现在，我们收到了一封新邮件。在未经统计分析之前，我们假定它是垃 圾邮件的概率为 50%。（【注释】有研究表明，用户收到的电子邮件中， 80%是垃圾邮件。但是，这里仍然假定垃圾邮件的先验概率为 50%。） 我们用 S 表示垃圾邮件（spam），H 表示正常邮件（healthy）。因此， P(S)和 P(H)的先验概率，都是 50%。 然后，对这封邮件进行解析，发现其中包含了 sex 这个词，请问这封邮 件属于垃圾邮件的概率有多高？ 我们用 W 表示sex这个词， 那么问题就变成了如何计算 P(S|W)的值， 即 在某个词语（W）已经存在的条件下，垃圾邮件（S）的概

23、率有多大。 。贝叶斯过滤器的使用过程贝叶斯过滤器的使用过程 根据条件概率公式，马上可以写出 公式中， P(W|S)和 P(W|H)的含义是， 这个词语在垃圾邮件和正常邮件中， 分别出现的概率。这两个值可以从历史资料库中得到，对 sex 这个词来 说，上文假定它们分别等于 5%和 0.05%。另外，P(S)和 P(H)的值，前面 说过都等于 50%。所以，马上可以计算 P(S|W)的值： 因此，这封新邮件是垃圾邮件的概率等于 99%。这说明，sex 这个词的推 断能力很强，将 50%的先验概率一下子提高到了 99%的后验概率 做完上面一步，请问我们能否得出结论，这封新邮件就是垃圾邮件？ 回答是不

24、能。因为一封邮件包含很多词语，一些词语（比如 sex）说这 是垃圾邮件，另一些说这不是。你怎么知道以哪个词为准？ Paul Graham 的做法是，选出这封信中 P(S|W)最高的 15 个词 1215 ,w ww ，计算它们的联合概率1215 ( |,)P S w ww 。 如果1215 ( |,)0.9P S w ww 则这封信为垃圾邮件，否则，认为是正 常邮件 （【注释】如果有的词是第一次出现，无法计算 P(S|W)，Paul Graham 就假定这个值等于 0.4。因为垃圾邮件用的往往都是某些固定的词语， 所以如果你从来没见过某个词，它多半是一个正常的词。） 注 . 已知某事件已发生，

25、求另一事件的概率则为 求条件概率。 . 已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结 果出现的条件概率，则由全概率公式，可求得某结 果出现的概率P(B)(非条件概率)；由Bayes公式，可 求得结果B是由某原因引起的(后验, 条件)概率。 .应用全概率公式和Bayes公式时要注意其条件 (原因两两不相容)。 五、事件的独立性五、事件的独立性 引例 E传染病抽检(已知该病犯病率为1%)，A =前 99位查没病，B=第100位有病 ( )(/)P BP B A () ( ) P AB P A )()()(BPAPABP 定义1 若事件A、B满足：P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互 独立。(通

26、常根据直观意义判断独立性，再反用定义) 定理定理 下面四个等式是等价的：下面四个等式是等价的： )()()() 1 (BPAPABP )()()()2(BPAPBAP )()()() 3(BPAPBAP)()()()4(BPAPBAP 证明 (1) (2) )()(ABAPBAP)()(ABPAP )()()( )1( BPAPAP )()(BPAP )(1)(BPAP 类似地可证: (2) (3)， (3) (4)， (4) (1)， 解 = 定义定义2 称称A、B、C相互独立，是指下面等式成立：相互独立，是指下面等式成立： ),()()(BPAPABP),()()(CPAPACP),()(

27、)(CPBPBCP )()()()(CPBPAPABCP 例5 设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色， 一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意 取一张，令A=抽出的卡片上出现红色，B=抽出的卡片 上出现白色，C=抽出的卡片上出现黑色，试分析A、B、 C的独立性。 A= ， B= ， C= 2 1 )()()(CPBPAP 4 1 )()()(ACPBCPABP 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 )(ABCP但 即A、B、C两两独立，但A、 B、C不相互独立的。 对比乘法公式看其意义 一般称一般称A1, A2, An相互独立，是指下面等式成立：相互独立，是指下面等式

28、成立： P(Ai1 Ai2 Aik)=P(Ai1) P(Ai2) P(Aik)， 1i1 i2 ikn，2kn 例6 设某人玩电子射击游戏，每次射击命中目标的概率是 p=0.004，求他独立地射击n次能命中目标(至少一次)的概率 解 记Ai =第i次命中目标，i=1,2,n， A =射击n次能命中目标至少一次，则 )(1)(1)()( 111 n i i n i i n i i APAPAPAP nn n i i pAP996. 01)1 (1)(1 1 独立地 1 n 说明 小概率事件也不能忽略 注：互不相容与相互独立是两个不同的概念 )()()(BPAPABP相互独立： AB互不相容： (

29、一般二者不同时成立) 相互独立的性质：若n个事件相互独立，则其中任意m个 事件也相互独立；把其中任意m个事件换成对立事件以 后，所得的n个事件也相互独立。 练习2 讨论两事件互不相容与相互独立的关系。 练习3 一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只 有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过 敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到 达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的 概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。 是非题1 若P(A)=0，则A=；若P(A)=1，则A= 。 (如几何概型中任一基本事件概率为0) 练习2 讨论互不相容与相互独立的关系。

30、 解 (1) 若P(A) P(B)0, 则二者不可能同时成立. 因为 (a) 若A、B互不相容，即AB=，则 0=P(AB) P(A) P(B)， 即A、B 不相互独立； (b) 若A、B 相互独立，即P(AB) = P(A) P(B)0，则 AB， 即A、B相容。 (2) 若P(A) P(B) =0, 则二者有可能同时成立. 因为 A、B互不相容，即AB=，则二者可同时成立 此时P(AB)= P(A) P(B)=0 AB=，除非已知 (,)ABA ABB 即A、B必相互独立，但 练习3 一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只 有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过

31、敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到 达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的 概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。(列出式子即可) 解 记Bi为长机与i架僚机到达目标上空， i=0,1,2， A为目标被炸毁。则 P(B0)=0.8*0.22=0.032 P(B1)= 2*0.82 *0.2=0.256, P(B2)=0.83=0.512 故 2 0 )/()()( i ii BAPBPAP=0.4765 B0 B1 B2 P(A/Bi) A P(Bi) P(A/B0)=0.3 或 22233 1 0.20.8*0.2 *0.72*0.8 *0.2*0.70.8 *

32、0.7 P(A/B2)=10.73=0.657 P(A/B1)=10.72=0.51 随机事件 A 第一章小结第一章小结 随 机 试 验 样本空间 =所 有 关系： ， ， BAABAB 运算： ，AB，A-B= =A-AB BABA 独立 P(AB)=P(A)P(B) 公式 P(AB)=P(A)P(B/A) P(A/B)=P(A) 公理化定义 1.P(A)0 2. 3. 1)(P )()( ii APAP )(1)(APAP )()()(BPAPBAPBA )()()()(ABPBPAPBAP 条件概率 )( )( )/( BP ABP BAP 全概率公式P(B)=i=1nP(Ai)P(B/

33、Ai) Bayes公式 n j jj i i ABPAP BAP BAP 1 )/()( )( )/( 统计古典 几何概率 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业交两面内容全学的页码作业交两面内容全学的页码 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 一一、随机变量随机变量 1. 例例 E1掷骰子掷骰子 =1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6 E2观察寿命观察寿命X=X()=0， E3抛硬币抛硬币 =反面反面，正面正面 E4摸奖摸奖 =空调空调，彩电彩电，饮水器饮水器，香皂香皂，不中不中 X=X()= =1, 2, 3, 4, 5

34、, 6 X=X()= 5000， 2500， 500， 3 , X： 0, 1, T H 0 X： 2. 定义定义 设设 为为E E的样本空间的样本空间，若对若对 中的每个样本点中的每个样本点 给一个实数给一个实数X X( () )与之对应与之对应，则称则称X X( () )为随机变量为随机变量。 记为记为R R. .V V. .X X (Random(Random Variable)Variable). . 2 2 3 3 1 1 R X X( ( 1 1) ) X X( (2 2) ) X X( ( 3 3) ) A a b )()(bXaPAP)()(aXPbXP 1 1. .定义定义

35、称实函数称实函数 F F( (x)=)=P P( (X x ) ) ( (- - x ) )， 为随机变量为随机变量X 的分布函数的分布函数。 二、分布函数二、分布函数 2 2. .性质性质 （1 1）有界性：有界性：0F(x)1，且且F(- -)=0，F(+)=1 （2 2）单调单调( (不减不减) )性：性：x1 x2 （3 3）右连续性：右连续性： lim( )()( ) xa F xF aF a 证证 F(- -)=P P( ()=0，F(+)=P P( ()=1 ( (充要条件充要条件) ) F(x1) F(x2) (证略证略) 问问 为何称为何称F(x)为为分布函数分布函数？ 几何

36、意义几何意义 注注：x任意任意、固定；概率固定；概率 思考题思考题 试用分布函数试用分布函数F(x)表示概率表示概率P( (a Xb)()(其中其中 a b）、P( (X a）、 P( (Xa) ) 解解 ()lim()lim( )() xaxa P XaP XxF xF a ()()()( )()P XaP XaP XaF aF a )(1)(1)(aFaXPaXP ()1()1()P XaP XaF a R a x X x X ()P aXb)()(aXPbXP ( )( )F bF a 2.2 2.2 离散型随机变量离散型随机变量 一一、定义定义 仅取仅取有限有限或或可列无限可列无限个值

37、的随机变量称为离散型随机个值的随机变量称为离散型随机 变量变量。记为记为D D. .R R. .V V. .X X (Discrete(Discrete RandomRandom Variable)Variable) 二二、概率分布概率分布 分布律：分布律： P( (X = = xk )=)=p pk， k= =1 1, ,2 2, , 分布列：分布列： X x1 1 x2 2 xk P p1 p2 pk 三三、性质性质( (充要条件充要条件) ) （1 1）非负性：非负性：pk0 0； （2 2）规范性：规范性： = =1 1 k k p 例例1 1 记记 X X 为抛两枚硬币所出现的正面数

38、为抛两枚硬币所出现的正面数，求求X X 的分的分 布列布列、分布律分布律、分布函数分布函数。 解解 ( (1 1) )分布列：分布列： 1/4 X 0 1 2 P 1/2 1/4 ( (2 2) )分布律：分布律： ,)( 4 1 2 k CkXP2 , 1 , 0k ( (3 3) )分布函数：分布函数： F F( (x)=)=P P( (X x ) ) 0 , x 0 1/4 , 0 x 1 3/4 , 1x2 1 , x 2 x F F( (x) ) 1 2 x X x X x X x X x X x X 0 ( ) k k xx F xp 一般一般，有：有： ()()() 1,2, k

39、kk P XxF xF x k 四、常见四、常见D.R.V.D.R.V.的分布的分布 1. 两点分布两点分布 X X 0 0 1 1 P P 1 1- - p p ( (0-1分布分布) ) 应用应用 2. 二项分布二项分布 n 重贝努利重贝努利(Bernoulli)试验：试验： (2) 各次实验间相互独立各次实验间相互独立，故故A1, A2, An相互独立相互独立。 (1) 每次仅有每次仅有Ai或或 两个结果两个结果，且且P(Ai)=p，i=1,2,n； i A X表示表示n重贝努利试验中重贝努利试验中A发生的次数发生的次数。 随机变量随机变量X 的分布律为的分布律为 )(kXPk=0,1,

40、2,n 称称X 服从参数为服从参数为n, p的的二项分布二项分布，记为记为 ),(pnBX 注意到注意到 n k knkk n ppC 0 )1 ( k p kn p )1 ( k n C 1)1 ( n pp 分布列图象：中间高两头低分布列图象：中间高两头低(练习练习) 对同一对同一n重伯努利实验重伯努利实验，有两个二项分布有两个二项分布 ( , ),XB n p( ,1)YB np； 应用：应用： N次试验中抛硬币出现某面次试验中抛硬币出现某面、射击命中与否射击命中与否、 成败成败、对否对否、好坏好坏、用否用否(水水、电电、设备等设备等)、 参与否参与否、正次品正次品(放回抽样放回抽样)等

41、的次数或个数等的次数或个数 0 (n+1)p k pk YnX 例例2 2 设决策系统中设决策系统中，每个成员作出正确决策的概率为每个成员作出正确决策的概率为 p p( (0 0 p p 20，p 0。 (1) 求相继两次故障之间的时间间隔求相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；的概率分布； (2) 求在设备无故障工作求在设备无故障工作7小时的条件下小时的条件下，再无故障工作再无故障工作9 小时的概率小时的概率p。 解解（1） ( )()F tP Tt t e 1 t e t ! 0 )( 1 0 t0 0 t 0时时， 0)()(PtF （2） )7/16(TTPp )7( )7,16(

42、TP TTP )7( )16( TP TP 即即 TE( ) )7(1 )16(1 F F 9 7 16 e e e )9(TP 无记忆性无记忆性 (3) 三台设备中至少有两台设备的寿命超过三台设备中至少有两台设备的寿命超过9小时的概率小时的概率。 (二项分布二项分布，习题习题2.10，2.14，2.17(P38) 1( )0)P N t ( )1)P N t 事件转换事件转换 3正态分布正态分布 2 2 2 )( 2 1 )( x exf dxexF xx 2 2 2 )( 2 1 )( ? 2 2 2 1 )( x ex ),(N 2 X 标准正态分布标准正态分布N(0, 1)： dxex

43、 x x 2 2 2 1 )( 查表查表2 )0,(R 应用广泛：应用广泛：误差；噪声；误差；噪声； 自然界自然界、生物学指标；生物学指标； 社会学社会学、经济指标；农经济指标；农 作物收成作物收成。总之总之，受各受各 种微小的随机因素影响种微小的随机因素影响 的量的量正态分布正态分布 无法积出无法积出 3正态分布正态分布 2 2 2 1 )( x ex ),(N 2 X dxex x x 2 2 2 1 )( )()(bFbXP X dxe x b 2 2 2 )( 2 1 )( x tdte tb 2 2 2 1 查表查表2 )( b )(bXaP( )( )()() ba F bF a

44、转换公式转换公式 查表查表2 例例3 设设 XN(1, 4)，求求 P(X1)， P(X1.67)， P(X10) 解解 ) 1() 1 (XP) 2 11 ( )0(=0.5 ()()0.5,P XP X一般 (2)(1.67)P X 1.671 () 2 (0.335) -x 0 x =0.6312 )(1)(xx (4)(10)P X ) 2 110 (1 )5 . 4(1 1 10 ) 1 (F (1.67)F )10(1F (0.33)(0.34) 2 (3)(0)P X 01 () 2 1(0.5) (0)F0.3085 (对称性对称性) 例例4 由历史记录由历史记录，某地区年降雨

45、量某地区年降雨量 XN( 600, 1502 ) （单位：单位：mm） 问问: (1) 明年降雨量在明年降雨量在400mm700mm之间的概率是多少之间的概率是多少？ (2) 明年降雨量至少为明年降雨量至少为300mm的概率是多少的概率是多少？ (3) 明年降雨量小于何值的概率为明年降雨量小于何值的概率为0.1？ 解解 )700400() 1 ( XP) 150 600400 () 150 600700 ( )33. 1()67. 0( = 0.6568 )300()2(XP) 150 600300 (1 )2(1=0.9772 )()3(aXP1 . 0) 150 600 ( a )9 . 0( 150 600 1 a a=407.7675 查表查表2 =1.285 3正态分布正态分布 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe 由密度图分析概率分布的特点：对称性；单调性和最值；由密度图分析概率分布的特点：对称性；单调性和最值； 拐点拐点、渐近线；分布函数的单调性；和参数之关系渐近线；分布函数的单调性；和参数之关系。 对称性：对称性：图象和概率分图象和概率分 布关于直线布关于直线x=对称；对称； 拐点：拐点： 和参数之关系：和参数之关系： 单调性和最值：单调性和最值：左侧左侧 ，右侧右侧 ； 渐近线渐近线(水