河南省郑州市2023-2024学年高二下学期期末考试 数学试卷（含解析）.docx

1、郑州市20232024学年下期期末考试高二数学试题卷注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第I卷（选择题，共58分）一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1若，则等于（）ABCD2已知随机变量满足，下列说法正确的是（）ABCD3五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学中医学和占卜方面，五行指金木水火土.现将“金木水火土”排成一排，则“土水”相邻的排法种数为（

2、）A12B24C48D724已知由样本数据组成一个样本，可得到回归直线方程为，且，则样本点的残差为（）A0.3B-0.3C1.3D-1.35某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查.已知抽查的男生女生人数均为，其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的.若本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则的最小值为（）附：参考公式及数据：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A20B21C22D236函数在区间上有最小值，则的取值范围是（）ABCD7不等

3、式的解集为（）ABCD8设，则（）ABCD二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列说法中，正确的是（）A两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1B在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变C在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越低D已知随机变量，若，则10已知函数，则“有两个零点”的一个充分不必要条件是（）ABCD11杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有详解九章算法日用算法和杨

4、辉算法，杨辉在1261年所著的详解九章算法给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（）A第2024行中，第1012个数最大B杨辉三角中第8行的各数之和为256C记第行的第个数为，则D在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为第II卷（非选择题，共92分）三填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12曲线在点处切线的斜率为 .13某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排

5、三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种.（用数字作答）14在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是 ；如果此人患流感，此人选自地区的概率 .四解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256.(1)求展开式中的系数；(2)求展开式中所有的有理项.16在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车发展的方向.为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部将在2018年上半年，将在全国所有城市全面启用新能源汽车专用号牌.2020年11月

6、，国务院办公厅印发新能源汽车产业发展规划（20212035年）要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展.随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，又因其颜值高空间大提速快用车成本低等特点深得民众的追捧，目前充电难问题已成为影响新能源汽车销量的关键因素，国家为了加快新能源汽车的普及，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区20192023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：年份20192020202120222023充电桩数量万台13579新能源汽车年销量万辆2537485872(1)由上表中新能源汽车年销售量和充电桩数量的样本数据所画出的散

7、点图知，它们的关系可用线性回归模型拟合，请用所学统计知识进行定量分析；（结果精确到0.001）；(2)求关于的线性回归方程，且预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：.17已知函数，其中.(1)当时，求函数在上的最大值；(2)讨论的单调性.18从2020年开始，新高考数学试卷中出现了一种新的题型多选题.教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的得分率，也有利于提高试卷的区分度.新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考

8、生全部选对得6分.对而不全得3分，选项中有错误得0分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中：(1)小明可以确认一道多选题的选项是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得6分的概率为，求；(2)小明可以确认另一道多选题的选项是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：只选不再选择其他答案；从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？19从函数的观点看，方程的根就是函数的零点

9、，设函数的零点为.牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线（轴，以下同），切线与轴交于点，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解.(1)设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；(2)如图，设函数；（i）由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释？（ii）若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和.1C【分析】按照导数四则运算法则求导即

10、可【详解】故选：C2B【分析】根据随机变量线性运算的方差规律，直接求解即可【详解】根据随机变量线性运算的方差结论，得到，则故选：B.3C【分析】利用捆绑法计算即可求解.【详解】将“土、水”绑在一起，当做一个整体，有种排法，将该整体与“金木火”全排列，共有种排法，所以共有种排法.故选：C4A【分析】先将中心代入回归方程求出，将代入回归方程求得，结合残差的定义即可求解.【详解】由题意知，将点代入，得，所以，将代入，解得，所以样本点的残差为.故选：A5D【分析】依题意，作出列联表，计算的值，依题意，须使的值不小于小概率对应的，求解不等式即得.【详解】依题意，作出列联表：男生女生合计喜爱乒乓球运动不喜

11、爱乒乓球运动合计则，因本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，故得，解得，因，故的最小值为23.故选：D.6D【分析】求出导数，判断单调性，结合函数图象，求出的范围即可【详解】求导，令，得易知函数在单调递增，在单调递减，且，由图象知故选：D.7A【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解.【详解】易知，.因为，所以原不等式可化为，所以，所以原不等式的解集为.故选：A8B【分析】构造函数，利用导数研究单调性，即可比较，由，可比较，从而得到答案【详解】构造函数，所以，即在上单调递增，所以，即，即，所以，又因为，所以，则，故选：B9AD【分析】对于A选项，根据线性相关性判

12、断；对于B选项，当点再回归直线上时来判断；对于C选项，根据残差点分布特征判断；对于D选项，运用正态分布对称性解题即可【详解】对于A选项，根据线性相关性判断，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，则A正确；对于B选项，当点在回归直线上时，去掉后，回归方程不改变，故B错误；对于C选项，根据残差点分布特征，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，说明模型的拟合精度越高，故C错误；对于D选项，运用正态分布对称性，随机变量，若，则，则，故D正确故选：AD.10CD【分析】令函数，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围，根据充分条件和必要条件的概念选出正

13、确答案.【详解】由题意知有两个相异实根，即与的图像有两个交点.，当，单调递增；当，单调递减.；当，；当，所以.又因为CD是的真子集，所以答案选CD.故选：CD.11BC【分析】利用的展开式的二项式系数的性质可判断AB；求出，再利用展开式的特征可判断C；利用可判断D.【详解】对于A，因为杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数，即，当为偶数时中间一项最大，因为，所以中间一项最大，且为第个数最大，故A错误；对于B，杨辉三角中第8行的各数之和为，故B正确；对于C，记第行的第个数为，则，则，故C正确；对于D，因为，所以时，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为，时，该三角形数阵前2024行中第1斜列

14、各项之和为2024，而，所以只适用于，故D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用的展开式的二项式系数性质解题.12【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.【详解】解：因为，所以，所以即曲线在点处切线的斜率为.故答案为：1372【分析】由已知可得，将安排三人就座看成3个坐着人的座位和3个空座位排队，利用捆绑法和插空法结合排列数和组合数的计算可得答案.【详解】由题意，可看成3个坐着人的座位和3个空座位排队，恰有两个空座位相邻，故和另外一个空座位均不相邻，先安排3个坐着人的座位，共有种坐法，产生4个空位，然后安排空座位到空中，相邻的两个空位捆绑在一起，看做一个元素，有种坐法，然后

15、再从剩余的3个空中选择一个，将剩余的一个空座位安上，有种坐法，所以共有种坐法.故答案为：72.14 # 【分析】利用全概率公式可求这个人患流感的的概率；利用条件概率公式可求如果此人患流感，此人选自地区的概率.【详解】记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，则，且、彼此互斥，由题意可得，由全概率公式可得；由条件概率公式可得.故答案为：；.15(1)1792(2)【分析】（1）根据二项式系数之和的公式建立方程，可求解n的值，从而求出展开式的通项公式，令x的指数为4，即可求解；（2）根据（1），令x的指数为整数，求出r的值，进而可以求解.【详解】（1）

16、由二项式系数和为，则，解得；则展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中含的系数为；（2）由（1）可知，令，且，则，则展开式中含x的有理项分别为，.16(1)答案见解析(2)；157.25万辆【分析】（1）先求出，结合题意中的公式计算即可求解；（2）根据最小二乘法计算，进而求出，写出线性回归方程将代入方程即可下结论.【详解】（1）由题知，又，所以，因为y与x的相关系数近似为0.999，非常接近1，所以y与x的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）， 所以y关于x的线性回归方程为当时，故当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆17(1)(2)答案

17、见解析【分析】（1）当时，利用导数研究函数单调性，从而得最值；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，综合可得出函数的增区间和减区间.【详解】（1）当时，则，所以，当或时，则函数单调递增，当时，则函数单调递减，故函数在和上单调递增，在上单调递减，又，所以，函数在上的最大值为；（2）函数的定义域为， ，当时，由，可得，当时，当时，此时，函数的单调递减，当或时，此时，函数的单调递增，当时，对任意的，此时，函数在上单调递增；当时，当时，此时，函数的单调递减，当或时，此时，函数的单调递增，综上所述，当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调

18、递增区间为、，单调递减区间为.18(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据条件概率公式求解即可；（2）分别求出方案，方案，方案的得分或者得分期望值，然后根据得分情况选择方案即可【详解】（1）（1）根据题意可知，不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件A1，“有3个选项正确”为事件A2，“小明该题得6分”为事件B，则，解得；（2）若小明选择方案，则小明的得分为3分，若小明选择方案，记小明该题得分为X，则X的可能取值为0，3，6，对应概率为：， ，故，若小明选择方案，记小明该题得分为Y，则Y的可能取值为0，6，对应概率为：，故，E（Y）E（X）3，故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案19(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的近似值；（2）（i）设，则，由，求得点处的切线方程，得到，即可得证；（ii）再根据得到，从而，求解；【详解】（1）由函数，则，切线斜率，,那么在点处的切线方程为，所以，且，,那么在点处的切线方程为，所以，且，故用牛顿法求方程满足精度的近似解为；（2）（i）设，则，因为，所以，则处切线为，切线与轴相交得，即为定值，根据牛顿法，此函数没有零点；（ii）因为得，所以，所以， 故所得前n个三角形的面积和为.【点睛】关键点点睛：根据，利用叠加法得.