北师大版数学八升九暑假作业专题复习提升-专题八 三角形中位线的应用技巧.docx

1、北师大版数学八升九暑假作业专题复习提升-专题八 三角形中位线的应用技巧类型一 连接两中点构造中位线1. 如图，在ABC中，AB=AC，点M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的两点，连接DN，EM，线段DN，EM相交于点G.若AB=5，BC=8，DE=4，则DGE的面积为（ ）第1题图A. 1B. 32C. 2D. 522. 如图，已知在RtABC中，ACB=90 ，点D是AC延长线上的一点，AD=12，点E是BC上一点，BE=6，连接DE，点M，N分别是AB，DE的中点，则MN的值为 .第2题图3. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，点P是AC的中点，点N是BC的中点，点M是AD的

2、中点，BAC=80 ，ACD=20 .求PMN的度数.类型二 连接第三边构造中位线4. 如图，ABC的中线BD，CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点.请你探索DG与EF的位置关系和数量关系，并说明理由.5. 如图，ABC和DBE是等边三角形，A，B，D三点在一条直线上，点M，N，O分别为CE，AD，AC的中点.求证：OM=ON.6. 如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF.（1） 求证：四边形EGFH是平行四边形；（2） 连接BD交AC于点O，若BD=14，AE+CF=EF，求EG的长.类型三 取中点构造中位线7. 如图，在

3、四边形ABCD中，AD/BC，AD=2，BC=5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（ ）第7题图A. 1B. 1.5C. 2.5D. 3.58. 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，且AD=6，BC=10，则线段EF的长可能为（ ）第8题图A. 7B. 8.5C. 9D. 109. 如图，在ABCD中，ABC和DAB的平分线BE与AE交于点E，且点E恰好在边CD上.（1） 求证：点E为CD的中点；（2） 若AD=3，BE=4，求AE的长；（3） 点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：BG=3EG.类型四 利用角平分线垂直构造三角形的中位线10

4、. 如图，在ABC中，点D是AB的中点，CE平分ACB，AECE于点E.（1） 求证：DE/BC；（2） 若AC=5，BC=7，求DE的长.类型五 延长一边构造中位线11. 如图，AB=BC，DC=DE，ABC=CDE=90 ，点D，B，C在一条直线上，点F为AE的中点.（1） 求证：BF/CE；（2） 若AB=2，DE=5，求BF的长.12. 如图，在ABC中，点D是BC的中点，AE平分BAC，AEBE.（1） 求DE与AC的位置关系，并说明理由.（2） 若AB=3，AC=5，求DE的长.类型六 延长两边构造中位线13. 如图，AD是ABC的角平分线，AD=AC，BEAD于点E，AC，BE的

5、延长线交于点F.（1） 求证：BE=EF；（2） 求证：ABAC=2DE.14. 已知点M为ABC的边BC的中点，AB=12，AC=18，BDAD于点D，连接DM.（1） 如图1，若AD为BAC的平分线，求MD的长；图1（2） 如图，若AD为BAC的外角平分线，求MD的长.图2答案专题八 三角形中位线的应用技巧类型一 连接两中点构造中位线1B235 3解：如图，连接PN. 点P 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，点M 是AD 的中点，PM 是ADC 的中位线，PN是ABC 的中位线，PM/CD，PM=12CD，PN/AB，PN=12AB，MPA=ACD=20 ，NPC=BAC=80 ，AP

6、N=180NPC=18080=100 ，MPN=MPA+APN=20+100=120 .又AB=CD，PM=PN，PMN=PNM=12180MPN=12180120=30 .类型二 连接第三边构造中位线4解：DG/EF，且DG=EF.理由如下：如图，连接AO，CE 是ABC 的中线，点F 是BO 的中点，EF是ABO 的中位线，EF/AO，EF=12AO，同理：DG/AO，DG=12AO，DG/EF，且DG=EF.5证明：如图，连接AE，CD.ABC 和DBE 是等边三角形，AB=BC，BE=BD，ABC=EBD=60 ，ABC+CBE=EBD+CBE，即ABE=CBD.在ABE 与CBD 中

7、，AB=CB,ABE=CBD,BE=BD,ABECBDSAS，AE=CD. 点M，N，O分别为CE，AD，AC的中点，OM 是CAE 的中位线，ON是ACD 的中位线，OM=12AE，ON=12CD，OM=ON.6（1） 证明： 四边形ABCD 是平行四边形，AB/CD，AB=CD，GAE=HCF. 点G，H分别是AB，CD的中点，AG=CH.在AGE 和CHF 中，AG=CH,GAE=HCF,AE=CF,AGECHFSAS，GE=HF，AEG=CFH，GEF=HFE，GE/HF.又GE=HF， 四边形EGFH 是平行四边形.（2） 解：如图，连接BD 交AC 于点O. 四边形ABCD 是平行

8、四边形，OA=OC，OB=OD.BD=14，OB=OD=7.AE=CF，OA=OC，OE=OF.AE+CF=EF，AE=CF，2AE=EF=2OE，AE=OE.又 点G 是AB 的中点，EG是ABO 的中位线，EG=12OB=72.类型三 取中点构造中位线7B8A9（1） 证明： 四边形ABCD 是平行四边形，AD=BC，AB/CD，DEA=BAE.AE 平分DAB，DAE=BAE，DAE=DEA，ED=AD，同理：BC=EC，ED=EC， 点E 为CD 的中点.（2） 解：由（1）可知，ED=EC=AD=3，CD=2ED=6. 四边形ABCD 是平行四边形，AB=CD=6，AD/BC，DAB

9、+ABC=180 .BE 平分ABC，AE平分DAB，CBE=ABE=12ABC，DAE=BAE=12DAB，BAE+ABE=12DAB+12ABC=12DAB+ABC=12180=90 ，AEB=180BAE+ABE=18090=90 ，AE=AB2BE2=6242=25，即AE 的长为25.（3） 证明：如图，取BE 的中点H，连接FH，则BH=EH. 点F 为AE 的中点，FH 是ABE 的中位线，FH/AB，且AB=2FH. 四边形ABCD 是平行四边形，AB=CD，AB/CD，FH/CD，CEG=FHG.由（1）可知，CD=2CE，FH=CE.又CGE=FGH，CEGFHGAAS，E

10、G=HG，EH=2EG.BH=EH，BH=2EG=2HG，BG=3EG.类型四 利用角平分线垂直构造三角形的中位线10（1） 证明：如图，延长AE 交BC 于点F.CE 平分ACB，AECE于点E，ACE=FCE，AEC=FEC=90 .在ACE 和FCE 中，ACE=FCE,CE=CE,AEC=FEC=90, ACEFCE.AE=EF. 点D 是AB 的中点，AD=BD，DE 是ABF 的中位线.DE/BC.（2） 解：ACEFCE，CF=AC=5.DE 是ABF 的中位线，DE=12BF=12BCCF=1275=1，故DE 的长为1.类型五 延长一边构造中位线11（1） 证明：如图，延长A

11、B 交CE 于点G.AB=BC，DC=DE，ABC=CDE=90 ，ABC 和CDE 都是等腰直角三角形，ACG 也是等腰直角三角形.ABC=90 ，BCAG，AB=BG. 点F 是AE 的中点，BF是AGE 的中位线，BF/CE.（2） 解：AB=2，DE=5，CG=AC=2AB=22，CE=2DE=52，GE=CECG=5222=32.BF 是AGE 的中位线，BF=12GE=322.12（1） 解：DE/AC.理由如下：如图，延长BE 交AC 于点F.AE 平分BAC，BAE=FAE.AEBE，AEB=AEF=90 .在AEB 和AEF 中，BAE=FAE,AE=AE,AEB=AEF,

12、AEBAEFASA.BE=EF. 点D 是BC 的中点，DE是BFC 的中位线，DE/FC，即DE/AC.（2） 由（1）可知AEBAEFASA，AF=AB=3，BE=EF，FC=ACAF=53=2.BD=DC，BE=EF，DE=12FC=1.类型六 延长两边构造中位线13（1） 证明：AD平分BAC，EAB=EAF.AEBF，AEB=AEF=90 ，EAB+ABE=90 ，EAF+AFE=90 ，ABE=AFE，AB=AF.AEBF，BE=EF.（2） 如图，作FH/DE 交BD 的延长线于点H.BE=EF，DE/FH，BD=DH，FH=2DE.AD=AC，ADC=ACD.AD/FH，ADC

13、=H.ACD=FCH，H=FCH，CF=FH=2DE.AB=AF，ABAC=AFAC=CF=FH=2DE.14（1） 解：如图1，延长BD 交AC 于点E.图1AD 为BAC 的平分线，BDAD，BAD=EAD，AD=AD，ADB=ADE，BADEADASA，BD=DE，AB=AE=12，CE=ACAE=1812=6.又 点M 为ABC 的边BC 的中点，DM 是BCE 的中位线，MD=12CE=126=3.（2） 如图2，延长BD 交CA 的延长线于点E.图2AD 为BAC 的外角平分线，BDAD，同法可证BD=DE，AB=AE=12，CE=AC+AE=18+12=30.又 点M 为ABC 的边BC 的中点，DM 是BCE 的中位线，MD=12CE=1230=15.