《随机过程》课件第4章.pptx

1、第4章 平稳过程第4章 平稳过程4.1 平稳过程的定义与性质平稳过程的定义与性质 4.2 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度 4.3 平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解 4.4 平稳过程的各态历经平稳过程的各态历经性性4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程 习习题四题四第4章 平稳过程在上一章，我们主要从随机过程的均值函数和相关函数这两个数字特征来研究它的概率规律性。本章将用类似的方法来讨论更为特殊的一类二阶矩过程平稳过程。平稳过程只要求均值函数和相关函数存在且不随时间的推移而变化，这在实际问题中往往易于实现，数学上也比较容易处理。平稳过程是一类应用十分广泛的随机过程，它在雷达、

2、通信等随机信号分析中起着非常重要的作用。本章着重介绍宽平稳过程的相关函数、功率谱密度和各态历经性等基本概念，并将讨论平稳过程在线性系统中的应用、平稳过程的谱分解等内容。第4章 平稳过程4.1 平稳过程的定义与性质平稳过程的定义与性质平稳过程有严平稳过程和宽平稳过程之分，前者是对有限维分布函数的要求，后者只是对均值函数与相关函数的要求。第4章 平稳过程4.1.1 定义定义首先给出严平稳过程的定义。定义定义 4.1.1 设 X=X(t)，t T 是随机过程，如果对任意 n 1，t 1，t 2，t n T 和实数 ，当 t1+，t 2+，t n+T 时，(X(t 1)，X(t 2)，X(t n)与(

3、X(t 1+)，X(t 2+)，X(t n+)有相同的联合分布函数，则称 X 是一严(或强、狭义)平稳过程。第4章 平稳过程换言之，若随机过程 X(t)的任意有限维分布函数沿 t 轴作平移时是不改变的，则 X(t)就是严平稳过程，严平稳过程描述的物理系统，其概率特征不随时间的推移而改变，特别地，对任意 t T，X(t)的概率分布相同。第4章 平稳过程一般来说，严格用定义来判断某个随机过程的严平稳性是很困难的，但是，若产生随机过程的主要物理条件在时间过程中不改变，则此过程就可以认为是严平稳的。在无线电电子学的实际应用中所遇到的随机过程，有很多可以近似认为是严平稳的随机过程。例如，一个工作在稳定状

4、态下的接收机，其输出噪声就可以认为是严平稳的随机过程;而当刚接上电源时的输出噪声则应认为是非平稳过程。另外，有些非平稳过程，在一定的时间范围内，也可以作为严平稳过程来处理。第4章 平稳过程将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有着重要的实际意义，因为若过程是平稳的，则可使问题的分析大为简化。例如，我们要测定一个电阻的热噪声的统计特性，因电阻热噪声属平稳随机过程，故无论何时进行测量，都能得到相同的结果。严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变，反映在它的一、二维概率分布上具有下列性质:若 X(t)，t T 是严平稳过程，则它的一维概率分布与时间无关，而它的二维概率分布只与 t1、t 2

5、的时间间隔有关，而与时间起点无关。第4章 平稳过程如前所述，要确定一个随机过程的有限维分布族，并进而判定随机过程的严平稳性是十分困难的，因此，在工程实际中，通常只在相关理论的范围内考虑平稳随机过程问题。所谓相关理论是指:只限于研究随机过程一、二阶矩的理论，即主要研究随机过程的均值函数、相关函数和功率谱密度等的理论。第4章 平稳过程随机过程的一、二阶矩函数虽不能像多维概率分布那样全面地描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上能够相当有效地描述随机过程的某些重要特性。以电子技术为例，若平稳过程 X(t)表示噪声电压(或电流)，则由它的一、二阶矩函数可以求出噪声的直流平均功率、总平均功率、功率谱密

6、度等重要参数。显然，得到了这些参数，就能解决许多工程技术问题。又如，对于工程技术中常遇到的正态随机过程来说，只要给定了均值函数和相关函数，该随机过程的多维概率密度也就完全确定了。由于有些随机过程的概率特征主要由它的一阶矩和二阶矩函数决定。下面给出在应用上和理论上更为重要的另一种平稳过程的概念。第4章 平稳过程定义定义 4.1.2 设 X=X(t)，t T 是二阶矩过程，如果(1)对任意 t T，m X(t)=E X(t)=m X=const(与 t 无关的常数);(2)对任意 s，t T，R X(s，t)=R X(t-s)，即其相关函数仅与 t-s 的大小有关，而与s、t 的取值无关，则称 X

7、 为宽(或弱、广义)平稳过程，简称为平稳过程。第4章 平稳过程应该指出，这两种平稳过程在名称上虽有强弱、严宽、狭义与广义之分，但本质上并不存在如同它们名称所用的文字所显示的含义。弱平稳过程一定是二阶矩过程，而严平稳过程则不一定是二阶矩过程，从而也就不一定是弱平稳过程。当然，如果严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程，这可由严平稳过程的定义推得。反过来，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，这是因为仅一、二阶矩平稳并不能决定分布函数的平稳。第4章 平稳过程对于正态过程，宽平稳性与严平稳性是等价的，这是因为正态过程的有限维分布完全由其均值函数和协方差函数所确定。在讨论随机过程的平稳性时，有时考察其均

8、值函数与协方差函数也是可行的，这是因为对于平稳过程，其均值函数为常数，从而协方差函数为说明协方差函数与相关函数同时仅依赖于 t-s，而与 s、t 无关。第4章 平稳过程今后如无特别声明，所讨论的平稳过程都指的是宽平稳过程。平稳过程在实际问题中是经常遇到的随机过程之一，例如照明用电网中电压的波动过程，无线电技术的随机噪音，军舰的颠簸过程，飞机飞行时关于事先规定的飞行水平面的波动过程都是平稳过程。由于平稳过程的数学期望是常数，因此从直观上看，它的样本函数都是围绕 y=E X(t)=m 的水平直线而上下波动的。但要判断一随机过程是否为一平稳过程就不能仅凭直观，还需依据定义4.1.2 来判断。第4章

9、平稳过程例例 4.1.1 (随机相位周期过程)设 s(t)是一个周期为 T 的连续函数，是服从区间0，T 上均匀分布的随机变量。定义 X(t)=s(t+)，t (-，)，称 X(t)为随机相位周期过程。试讨论它的平稳性。解解 由于 X(t)的均值函数第4章 平稳过程是一个与 t 无关的常数，而 X(t)的相关函数其值仅与 有关，而与 t 无关，因而随机相位周期过程是一平稳过程。第4章 平稳过程例例 4.1.2 (随机电报信号)在电报信号传输中，信号是由不同的电流符号 c、-c 给出，且对任意的 t而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流变换符号的时间是随机的，设 X(t)在 0，t)内的变号次

10、数 N(t)是强度为 的 Poisson 过程，试讨论 X(t)，t 0 的平稳性。第4章 平稳过程与 t 无关，可见随机电报信号 X(t)，t 0 是平稳过程。第4章 平稳过程例例 4.1.3 设 W=W(t)，t 0 是参数为 2的 Wiener 过程，a 为正实数，令试证明 X=X(t)，t 0 是严平稳的正态过程。证明证明 由 X(t)=W(t+a)-W(t)服从正态分布 N(0，2a)，有第4章 平稳过程另一方面，对 s，t 0，由于 R W(s，t)=2 min(s，t)，故 X 的相关函数为可见 R X(t，t+)与 t 无关，这便证明了 X 是宽平稳过程。第4章 平稳过程由于

11、Wiener 过程是正态过程，而 X 的有限维分布可表为 W 的有限维分布的线性变换，故 X(t)的有限维分布是多维正态分布，因此 X 是正态过程。由于正态过程的严平稳和宽平稳等价，故 X 是一严平稳的正态过程。第4章 平稳过程4.1.2 平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质定定理理 4.1.1 平稳过程 X=X(t)，t T 的相关函数 R X()具有以下性质:(4)R X()具有非负定性，即对于任意自然数 n，任意 t 1，t 2，t n T 及任意复数 1，2，n，有第4章 平稳过程证明证明第4章 平稳过程推论推论 4.1.1 对于平稳过程，由于其相关函数的特殊要求，我们可猜

12、想它均方连续、均方可微、均方可积的判别条件也可简化，这有如下的三个定理。定定理理 4.1.2 平稳过程 X=X(t)，t T 均方连续的充要条件是相关函数 R X()在点=0 处连续，且此时 R X()处处连续。证证明明 X 连续当且仅当 R(s，t)在所有(t，t)处连续，这又当且仅当 R()在 =0 处连续，这当且仅当 R(s，t)在某个(t 0，t 0)处连续，可进一步当且仅当 R()处处连续。利用均方可微准则及其推论可以证明以下定理。第4章 平稳过程定理定理 4.1.3 对平稳过程 X=X(t)，t T(1)X 均方可微的充要条件是其相关函数 R X()在点 =0 处二次连续可微。(2

13、)若 X 均方可微，则其均方导数过程 X(t)，t T 仍为平稳过程，且其均值 m X=0，相关函数 R X ()=-R X()。推论推论 4.1.2 设 X(t)，t T 是一均方可微的实平稳过程，则对任意 t T，X(t)与X(t)不相关。第4章 平稳过程证明证明 由于 X(t)，t T 是实平稳过程，故 E X(t)X(t)=-R(0);又 R(-)=R()，故 R(-)=-R()，即 R(0)=-R(0)，从而 R(0)=0，故 E X(t)X(t)=-R(0)=0。推论推论 4.1.3 设 X(t)，t T 是一均方可微的正态平稳过程，则对任意 t T，X(t)与X(t)相互独立。第

14、4章 平稳过程定理定理 4.1.4 设 X(t)，t R 为均方连续的平稳过程，f(t)为分段连续函数，则在任何有限区间上，积分在均方意义下存在，且对任一分段连续函数 g(t)，有:第4章 平稳过程证证明明 因为 X(t)是均方连续的，故 R X(s，t)在(t，t)处，从而也在(s，t)处连续。因此普通的二元分段连续函数 R X(t-s)f(t)f(s)存在二重积分再由均方可积准则可知，在均方意义下，积分由相关函数的定义及均方可积准则可知(4.2.1)式成立。第4章 平稳过程4.1.3 联合平稳过程的互相关函数及其性质联合平稳过程的互相关函数及其性质在实际应用中，常常需要同时研究两个或两个以

15、上随机过程的统计特性。例如，接收机输入端往往有信号和噪声，而二者均可能是随机的，为了从噪声中检测出有用的信号，除了必须考虑它们各自的统计特性外，还要同时研究信号和噪声两个过程的联合统计特性。设X(t)，t T，Y(t)，t T 为两个随机过程，在实际工作中，除了要求 X(t)，t T，Y(t)，t T 是平稳的外，还要求它们之间的统计联系也是平稳的。第4章 平稳过程例如，X(t)，t T，Y(t)，t T 都是平稳过程，现在要问 Z(t)=X(t)+Y(t)，t T 是否为平稳过程?如果X(t)，t T 代表原发信号，Y(t)，t T 代表随机干扰，它们都是平稳过程，而且相互独立，则Z(t)，

16、t T 就表示接收到的信号，我们自然希望它也是平稳的，这在线性系统理论或信号检测理论中是十分重要的，这样就引出了所谓联合平稳的概念。第4章 平稳过程定义定义 4.1.3 平稳过程 X(t)，t T 和平稳过程 Y(t)，t T 称为联合平稳的(或称为平稳相关的)，如果对任意 ，R XY(s+，t+)=R XY(s，t)，即其互相关函数 R XY(s，t)=R XY(t-s)仅与 t-s 的大小有关，而与 s、t 的取值无关。由此可以定义它们的互相关函数为第4章 平稳过程例例 4.1.4 设平稳过程 X(t)，t T 和 Y(t)，t T 是平稳相关的，讨论随机过程Z(t)=X(t)+Y(t)，

17、t T 的平稳性。解解 由于故Z(t)，t T 是平稳过程第4章 平稳过程定理定理 4.1.5 平稳相关的平稳过程 X(t)，t T 和 Y(t)，t T 的互相关函数 R XY()具有下列性质:(1)R XY()=R YX(-)，特别当 X(t)，t T 和 Y(t)，t T 为平稳相关的实平稳过程时，有第4章 平稳过程(2)对任意的复常数 ，X(t)+Y(t)也是平稳过程，且它的相关函数满足:(3)|R XY()|2 RX(0)R Y(0)，|R YX()|2 RX(0)R Y(0)定理的证明请读者自行给出。第4章 平稳过程4.2 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度Fourier 变

18、换在许多理论和实际应用中是一种有效的分析方法，它确定了时域与频域的转换关系。我们知道，只要函数 f(t)在(-，+)上绝对可积，就可以求出它的 ourier变换，即求出它的频谱，这一情况称为确定性函数的谱分析。现在我们要用 Fourier 变换这一有效工具来分析平稳过程。平稳过程的相关函数是在时域上描述随机过程的统计特征。第4章 平稳过程为在频域上描述平稳过程的统计特征，需要引进谱密度的概念。谱密度的概念在平稳过程的理论及应用中扮演着十分重要的角色。在数学上看，它是相关函数的 Fourier 变换，它的物理意义是功率谱密度。第4章 平稳过程4.2.1 谱函数和谱密度的定义谱函数和谱密度的定义我

19、们先从数学角度引进谱密度。实际上，由定理 4.1.1 与定理 4.1.2 知，均方连续的平稳过程的相关函数是连续非负定的。由此及定理 1.3.2 知，它可作为特征函数，于是由特征函数与分布函数之间的一一对应，我们有以下定理。第4章 平稳过程定理定理 4.2.1 (维纳辛钦定理)均方连续平稳过程 X(t)，t T 的相关函数 R X()可表示为其中 F X()是(-，)上的非负、有界、单调不减、右连续的函数，且第4章 平稳过程证明证明 若 R X(0)=0，则 R X()0。此时，F X()0 即为定理中所要求的。若 R X(0)0，令则 f()连续、非负定，且在 =0 处等于 1，由 Boch

20、ner 辛钦定理可知，f()一定是某一随机变量的特征函数，从而，存在分布函数 G()，使得显然，F X()=2 R X(0)G()，即为定理中所要求的。第4章 平稳过程定理 4.2.1 中的函数 F X()称为平稳过程 X(t)，t T 的谱函数，而(4.2.1)式称为平稳过程相关函数的谱展式。如果存在函数 S X()，使则称 S X()为 X(t)，t T 的谱密度。谱函数类似于分布函数，而谱密度则与密度函数类似。定理 4.2.1 说均方连续平稳过程的谱函数一定存在，以下定理给出了谱密度存在的一个条件。第4章 平稳过程定理定理 4.2.2 如果平稳过程 X=X(t)，t T 的相关函数 R

21、X()绝对可积，即则 X 存在谱密度 S X()，且有维纳辛钦公式可见，S X()是相关函数 S X()的 Fourier 变换，S X()是 S X()的 Fourier 逆变换。利用特征函数与分布函数之间的关系不难证得以上定理，具体证明请读者给出。第4章 平稳过程例例 4.2.1 设 X(t)，t T 是平稳过程，相关函数 R X()=e-|，其中 ，是正数，求 X(t)，t T 的谱密度和谱函数。第4章 平稳过程例例 4.2.2 设 Y=Y(t)，t (-，+)是实正交增量过程，E Y(t)=0，且E Y(t)-Y(s)2=|t-s|，-s，t+，令 X(t)=Y(t)-Y(t-1)，t

22、 (-，+)，证明 X=X(t)，t (-，+)是平稳过程，求其自相关函数和对应的谱密度函数。第4章 平稳过程解解 由于第4章 平稳过程可见相关函数 R X(t，t+)与 t 无关，因此 X 是平稳过程，其自相关函数为第4章 平稳过程从而其谱密度函数为第4章 平稳过程例例 4.2.3 设 F(x)是任一单调不减、右连续的有界函数，且 F(x)=0，又设 X、Y是两个相互独立的随机变量，X 以 F(x)/F(+)为其分布函数，Y 服从区间 0，2 上的均匀分布。对 t (-，+)，令试证明X(t)，t (-，+)是均值为 0 的平稳过程，且 F(x)是其谱函数。第4章 平稳过程证明证明 设 F(

23、x，y)是(X，Y)的联合分布函数，F X(x)、F Y(y)分别为 X、Y 的分布函数，因为第4章 平稳过程故有第4章 平稳过程因此 X 是一均值为 0 的平稳过程，且 F(x)是其谱函数。从这个例子可以看出，任一单调不减、右连续的有界函数都可以作为某个平稳过程的谱函数，且上式中的 R X()就是该平稳过程的相关函数。对于平稳序列有类似于定理 4.2.1 的结论。第4章 平稳过程定理定理 4.2.3 (平稳时间序列的相关函数的谱分解定理)平稳时间序列 X(n)，n Z 的相关函数 R X(m)可表为其中 F X()是(-，上 的 非 负、有 界、单 调 不 减 的 右 连 续 的 函 数，且

24、 F X(-)=0，F X()=2 R X(0)。这个定理的证明要用到 Herglotz 引理，具体证明参阅参考文献 3。第4章 平稳过程定理 4.2.3 中的函数 F X()，(-，称为平稳时间序列 X(n)，n Z 的谱函数。进而，如果存在函数 S X()，使则称 S X()，为 X(n)，n Z 的谱密度。第4章 平稳过程如果相关函数绝对可和，即则可以证明 F X()可微，且这时有第4章 平稳过程例例 4.2.4 (无限滑动和)设 X(n)，n=0，1，2，为复的互不相关的随机变量序列，且 E X(n)=0，D X(n)=2，c n 为满足的复数序列，令求 Y=Y(n)，n=0，1，2，

25、的谱密度。第4章 平稳过程解解 因为故 Y 为复平稳序列，且其相关函数为第4章 平稳过程由于故 Y 存在谱密度，且其谱密度为第4章 平稳过程4.2.2 谱密度的物理意义谱密度的物理意义上面我们从数学观点定义了平稳过程的谱密度。谱密度的概念来自无线电技术，在物理学中它表示功率谱密度。下面我们利用频谱分析方法讨论平稳过程的功率谱密度。在信号与系统理论中，我们知道，设 x(t)为一确定性的功率信号，则 x(t)在频率 处的功率谱密度为对于平稳过程，有以下定理。第4章 平稳过程定理定理 4.2.4 设 R X()是平稳过程 X(t)，t T 的相关函数，如果 R X()绝对可积，则有其中第4章 平稳过

26、程证明证明 因为第4章 平稳过程故第4章 平稳过程4.2.3 谱密度的性质谱密度的性质由定理 4.2.4 可得以下第一个性质。性质性质 4.2.1 S X()为实值非负函数。性性质质 4.2.2 实平稳过程的谱密度为偶函数。证证明明 由于实平稳过程的相关函数是实函数，故由 Fourier 变换的性质立即可得:第4章 平稳过程性质性质 4.2.3该性质的证明是显然的。第一式表明谱密度曲线下的总面积(即平均功率)等于相应平稳过程的均方值;第二式表明谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积。第4章 平稳过程性质性质 4.2.4 设 X=X(t)，t T，Y=Y(t)，t T 为两个正交的平稳过程

27、(即 R XY(s，t)=0)，则 Z=Z(t)=X(t)+Y(t)，t T 的谱密度为 S Z()=S X()+S Y()，这里S X()、S Y()分别为 X(t)、Y(t)的谱密度。证明证明 由于 X 与 Y 正交，故 R Z()=R X()+R Y()，因此 Z 为平稳过程，且其谱密度S Z()=S X()+S Y()。第4章 平稳过程例例 4.2.5 已知平稳过程 X=X(t)，t T 的谱密度为求 X 的相关函数和平均功率。第4章 平稳过程解解 由于其中 F-1 表示 Fourier 逆变换。特别地，平均功率为第4章 平稳过程4.2.4 联合平稳过程的互谱密度及其性联合平稳过程的互

28、谱密度及其性质质定义定义 4.2.1 设 R XY()为联合平稳的两个平稳过程 X=X(t)，t T，Y=Y(t)，t T 的互相关函数，若则其 Fourier 变换称为 X 与 Y 的互谱密度。第4章 平稳过程互相关函数 R XY()是在时域上描述平稳过程 X 和 Y 的相互关系，互谱密度 S XY()则是在频域上描述它们的相互关系。根据定义容易证明互谱密度具有如下的性质:性质性质 4.2.5第4章 平稳过程性质性质 4.2.6 S XY()=S YX()，即 S XY()与 S YX()互为共轭函数。性性质质 4.2.7 若 X 与 Y 为实的，则 S XY()的实部 Re S XY()是

29、偶函数，虚部 In S XY()是奇函数。性性质质 4.2.8其中性质性质 4.2.9(互谱不等式)第4章 平稳过程4.3 平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解在 4.2 节中我们研究了平稳过程相关函数的谱分解。本节我们进一步讨论平稳过程本身的谱分解。由前面可得到:两两互不相关的复谐波的有限叠加而成的随机过程第4章 平稳过程是平稳过程。反之，在很一般的条件下，平稳过程X(t)，-t 可以表示为无穷多个复谐波的叠加，不过这种叠加要表示为积分形式。不失一般性，在本节我们假设 m X=E X(t)=0，否则我们只须讨论 X(t)-m X(t)。第4章 平稳过程4.3.1 平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解

30、定定理理 4.3.1 (平稳过程的谱分解)设 X=X(t)，-t 是零均值、均方连续的复平稳过程，其谱函数为 F()，则 X 可以表示为其中第4章 平稳过程称为 X 的随机谱函数，它具有以下性质:(1)E Z()=0;(2)Z=Z()，-是正交增量过程;(3)对于任意的 1 2，第4章 平稳过程证明证明 设 a，b 是 F 的连续点，且 a b。第一步，定义我们证明，当 T ，Z T(a，b)均方收敛到某一随机变量 Z(a，b)。令 00，|-a|，|-b|，上式中内层积分当 T 时趋于 0。为此将上式中内层积分改写为第4章 平稳过程由于第4章 平稳过程令 S，T 可知，E|Z T(a，b)-

31、Z S(a，b)|2 0。故存在二阶随机变量 Z(a，b)，使得第4章 平稳过程第二步，如果(a，b)、(c，d)是两个互不相交的区间，则 Z(a，b)和 Z(c，d)是正交的。设 a、b、c、d 是 F 的四个连续点，则由(4.3.2)式知 E Z(a，b)Z(c，d)存在，且第4章 平稳过程第4章 平稳过程因此第4章 平稳过程第三步，存在正交增量的二阶矩过程 Z(t)，使得由式(4.3.3)知又当 a，c 时，有第4章 平稳过程因此将(4.3.6)式代入(4.3.3)式知 Z(t)是正交增量过程。再将(4.3.6)式代入(4.3.5)式，即可得(4.3.4)式。第4章 平稳过程第四步，设

32、a b 是 F 的两个连续点，则由第4章 平稳过程第4章 平稳过程由于Z()是正交增量过程，且满足(4.3.4)式，故积分存在。且由(4.3.7)式和相关函数的谱分解公式，得第4章 平稳过程所以有这就证明了，当X(t)的谱函数连续时，(4.3.1)式成立。第4章 平稳过程当 a 不是 F 的连续点时，定义这时，上述证明的本质性公式(4.3.3)(4.3.9)都成立。故此时(4.3.1)式也成立。下面说明定理 4.3.1 的实际意义。由(4.3.1)式第4章 平稳过程将区间-T，T 等分为 2 N 个子区间，由均方积分的意义说明均方连续的平稳过程 X(t)可以看成振幅为角频率为 kT/N 的谐波

33、分量的有限叠加和的均方极限。简单地说，X(t)是角频率 在(-，)中变化的谐波分量 ej t dZ()无限叠加的和。对于实平稳过程，定理 4.3.1 中的结论可写为如下推论中的形式。第4章 平稳过程推论推论 4.3.1 (实平稳过程的谱分解)设 X=X(t)，-t 是零均值的、均方连续的实平稳过程，其谱函数为 F()，则 X 可以表示为其中第4章 平稳过程它们具有以下性质:第4章 平稳过程4.3.2 平稳过程序列的谱分解平稳过程序列的谱分解对于平稳序列也有类似的谱分解定理。定定理理 4.3.2 (平稳序列的谱分解)设 X=X n，n=0，1，2，是零均值的平稳序列，谱函数为 F()，则 X 可

34、以表示为其中第4章 平稳过程具有以下性质:(1)E Z()=0;(2)Z()，-是正交增量过程;(3)对于任意 1 2，有第4章 平稳过程推论推论 4.3.2 (实平稳序列的谱分解)设 X=X n，n=0，1，2，是零均值的实平稳序列，谱函数为 F()，则 X 可以表示为其中第4章 平稳过程称为 X 的随机谱函数，它们具有以下性质:第4章 平稳过程例例 4.3.1 设 =n，n=0，1，2，是实平稳过程，E(n)=0，对应的随机谱函数为Z ()，-，又假设 a n，n=0，1，2，是实数列，满足(1)试证明 X=X n，n=0，1，2，是平稳过程，并求其随机谱函数;(2)若 有谱密度函数 S

35、()，求 X 的谱密度函数。第4章 平稳过程解解(1)由类似第 3 章例 3.1.1 知，条件保证作为均方极限是存在的，且另一方面，有于是 R X(n+k，n)只依赖于时差 k，这便证明 X 是平稳过程。第4章 平稳过程第4章 平稳过程(2)设 X 的谱函数和谱密度函数分别为 F X()和 S X()，F ()为 的谱函数，则有第4章 平稳过程从而请读者考虑线性系统的输入、输出的随机谱函数之间的关系。第4章 平稳过程4.4 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性在实际工作中，确定随机过程的数学期望及相关函数是很重要的。例如飞机在高空飞行时，因受湍流的影响产生机翼振动，在选择制造飞机的材料时，

36、就要考虑在时间变化过程中机翼振幅的大小(它是一随机过程)的均值及方差。又如在电路中电子不规则运动的热骚动引起电位的脉动(通常称为热噪声)，要考虑其脉动范围、噪声功率等就归结为求一随机过程的方差、相关函数等数字特征。第4章 平稳过程由第 2 章知，欲求出随机过程的数字特征，就需知该过程的一、二维分布函数，这在实际问题中是一件很困难的事。实际上，对于随机过程 X，所能得到的往往是通过试验而得到的一个样本函数 x(t)或是一个样本函数在若干时刻，如 t 0，t 1，t n 所对应的值 x(t 0)，x(t 1)，x(t n)。因此就提出如下的问题:能否通过某个样本函数 x(t)或是样本函数在某些时刻

37、的取值 x(t 0)，x(t 1)，x(t n)所携带的信息来估计该随机过程的数字特征?第4章 平稳过程若我们研究的是平稳过程 X=X(t)，t (-，)，确定 X 的均值 m X 和相关函数R X()，根据大数定律，一种很自然的想法是进行很多次试验得到的许多样本函数 x 1(t)，x 2(t)，x n(t)。对固定的 t 1，均值第4章 平稳过程用这样的方法计算均值和相关函数，需要很大的 n。但在实际问题中，常常很难测得很多样本函数。这时，我们自然想到通过一个样本函数 x(t)能否估计平稳过程的均值 m X 和相关函数 R X()。因为对不同的样本函数 x(t)，在-T，T 上的均值 是不同

38、的。这时，我们想到当 T 充分大时，是否有 m T E X(t)。根据均方收敛的意义，上述问题就是在什么条件下有第4章 平稳过程4.4.1 平稳过程的各态历经性的概念和条件平稳过程的各态历经性的概念和条件基于以上讨论，我们给出如下的定义。定义定义 4.4.1 设 X=X(t)，t (-，)是平稳过程。(1)如果均方极限 存在，则称之为 X 在(-，)上的时间平均，记为;(2)对于固定的 ，若均方极限t 存在，则称之为 X 在(-，)上的时间相关函数，记为。第4章 平稳过程从定义看，平稳过程的时间平均是随机变量，时间相关函数是随机过程，而 m X 是常数，R X()是普通函数。第4章 平稳过程定

39、义定义 4.4.2 设 X=X(t)，t (-，)是平稳过程。(1)若以概率 1，有=m X，则称 X 的均值具有各态历经性。(2)若对任意的 ，以概率 1，有=R X()，则称 X 的相关函数具有各态历经性;特别地，若对 =0 时，上式成立，则称 X 的均方值具有各态历经性。(3)均值和相关函数都具有各态历经性的平稳过程 X 称为各态历经过程。各态历经性又称为遍历性。第4章 平稳过程例例 4.4.1 设 X(t)=a cos(0 t+)，t (-，)，其中 a，0 是实常数，服从区间(0，2)上的均匀分布，讨论 X 的各态历经性。解解 易知 X 是平稳过程，且第4章 平稳过程故 X 的均值和

40、相关函数都具有各态历经性。因此，X 是各态历经。应当指出，并不是所有平稳过程的均值和相关函数都具有各态历经性。第4章 平稳过程例例 4.4.2 设 X(t)=Y，其中 D Y 0，则 X(t)为平稳过程，且而 Y 不是常数，从而与 E(Y)并不以概率 1 相等，说明 X 的均值不具有各态历经性。与前一样，下面的定理将均值各态历经性用协方差函数来判别。第4章 平稳过程定理定理 4.4.1 设 X=X(t)，t (-，)是平稳过程，则 X 均值各态历经(=m X)的充要条件为证证明明 随机变量等于常数 m X 的充要条件是均值为 m X 而方差为零，而 存在时均值必定为 m X，故下证其方差为零。

41、第4章 平稳过程而第4章 平稳过程故 D =0，即=m X 的充要条件为(4.4.1)式成立。推论推论 4.4.1 实平稳过程 X=X(t)，t (-，)的均值各态历经的充要条件为证证明明 由于 X 为实平稳过程，所以 R X(-)=R X()，从而 R X()是 的偶函数，因而由定理 4.4.1 即知结论成立。第4章 平稳过程推论推论 4.4.2 若平稳过程 X(t)，t (-，)的相关函数 R X()满足证证明明 由于故对任意 0，存在 T 1，使当|T 1 时，有|C X()|0，讨论 X均值的各态历经性。解解 易知 X 是一均方连续的平稳过程，且 m X=0，R X()=2cos ，因

42、为故 X 的均值具有各态历经性。现在讨论平稳过程相关函数的各态历经性。第4章 平稳过程定理定理 4.4.2 设 X=X(t)，t (-，)是均方连续的平稳过程，且对任意的 ，X(t)X(t+)也是均方连续的平稳过程，则 X 的相关函数各态历经的充要条件是第4章 平稳过程证明证明 事实上，若令 Z(t)=X(t)X(t+)，则 X 的相关函数的各态历经性等价于随机过程 Z(t)的均值历经性。而 C Z(u)=R Z(u)-|R X()|2，于是由定理 4.4.1 立得。第4章 平稳过程推论推论 4.4.4 设 X=X(t)，t (-，)是实均方连续的平稳过程，且对任意的 ，Z(t)=X(t)X(

43、t+)也是均方连续的平稳过程，则 X 的相关函数各态历经的充要条件是以下推论讨论定义在0，)上的随机过程。第4章 平稳过程推论推论 4.4.5 设 X(t)，t 0，)是均方连续的平稳过程，且对任意的 ，X(t)X(t+)也是均方连续的平稳过程，则 X(t)，t 0，)的相关函数各态历经定义可改为且 X(t)，t 0，)的相关函数各态历经的充要条件是第4章 平稳过程以上各推论的证明均可仿定理 4.4.1 的推论 4.4.1 和推论 4.4.2 的证明得到。一般来说，这些条件都难以验证，故我们讨论最常见的正态过程的相关函数的各态历经性。定理定理 4.4.3 设 X=X(t)，t (-，)是实平稳

44、的正态过程，若 RX()=0，则X 的相关函数各态历经。第4章 平稳过程第4章 平稳过程4.4.2 各态历经性与谱函数的关系各态历经性与谱函数的关系本小节对均方连续平稳过程，进一步讨论各态历经性的条件。由定理 4.2.1 知，均方连续平稳过程存在谱函数，利用谱函数可以得到各态历经性的另一种充要条件。定理定理 4.4.4 设 X=X(t)，-t 是一均方连续的平稳过程，且 E X(t)=m，则 X 的均值各态历经的充要条件是 X 的谱函数 F()在 =0 处连续。第4章 平稳过程证明证明 充分性:不妨设 m=0，否则考虑 X-m 即可。由于 X 是均方连续的，故由定理4.4.1 有零均值正交增量

45、过程 Z()使得第4章 平稳过程其中因此第4章 平稳过程由于|T()|1 且于是由有界收敛定理得第4章 平稳过程因此当且仅当 F()在 =0 处连续时 X 的均值各态历经。利用以上定理中的条件，我们可进一步得到判别各态历经性的条件。以下几个推论中所得的条件都是关于自相关函数的，这有别于上一节中的自协方差函数。第4章 平稳过程推论推论 4.4.6 设 X(t)，-t+是均方连续的平稳过程，则 X 的均值具有各态历经的充要条件为第4章 平稳过程证明证明 由相关函数的谱展式知由此与以上定理类似的可证得。以上推论中的条件(4.4.5)比前面定理 4.4.1 中的条件(4.4.1)要简单。第4章 平稳过

46、程推论推论 4.4.7 设 X(t)，t 0 是一均方连续的实平稳过程，则 X 的均值各态历经的充要条件是推推论论 4.4.8 设 X(t)，-t 0，有第4章 平稳过程于是，当 T、N 相当大，且 T/N 很小时，有根据小概率事件原理，一次抽样得到的样本函数 x(t)，可以认为一定有第4章 平稳过程下面介绍相关函数 R X()的近似估计。考虑 =r(T/N)，其中 r=0，1，2，m 固定。若相关函数具有各态历经性，则对任意的 0，有因而第4章 平稳过程第4章 平稳过程4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程在通信技术中，需要研究一个通信系统输入的随机信号的统计特性与该系统输出的随机

47、信号的统计特性之间的关系。对于线性时不变系统，如果输入(或激励)是一随机过程，则其输出(或响应)也是随机过程。这时，我们自然会提出下列问题:第4章 平稳过程(1)若输入是平稳过程，其输出是否为平稳过程?(2)若已知输入的统计特性，如何求出输出的统计特性?(3)输入与输出的统计关系如何?这些问题是本节所要讨论的内容。第4章 平稳过程4.5.1 线性时不变系统的基本概念线性时不变系统的基本概念为了便于本节内容的叙述，首先简要地介绍一下线性系统的基本理论。在这里仅限于讨论单输入单输出的线性系统情形。一般地，系统的输出响应与输入响应之间的关系(见图 41)可表示为第4章 平稳过程式中:x(t)代表系统

48、的输入;y(t)表示系统的输出;符号 L 是对输入信号进行某种运算的标志，称为算子，它代表着各种数学运算方法，如加法、乘法、微分、积分等。值得指出的是，式(4.5.1)中 x 是一个函数，y 是一个函数，L 是以函数 x 为变量的函数，故严格来写有y(t)=L(x)(t)，但为简单起见，我们仍用式(4.5.1)的写法。第4章 平稳过程图 41 线性系统示意图第4章 平稳过程设 x 1(t)、x 2(t)表示两个输入信号，y 1(t)、y 2(t)是与之相应的两个输出信号即 y 1(t)=L x 1(t)，y 2(t)=L x 2(t)，若对任意的常数 、有则称 L 是线性系统。若对任意的常数

49、，有则称 L 是时不变系统。第4章 平稳过程设 L 是线性时不变系统，是一列信号，且 y n(t)=L x n(t)(n=1，2，)，若当则称 L 是保持连续性的线性时不变系统。本节研究保持连续性的线性时不变系统。第4章 平稳过程定理定理 4.5.1 设 L 是线性时不变系统，若其输入为 x(t)=ej t，则其输出 y(t)为第4章 平稳过程证明证明 L(ej t)=y(t)，则由 L 的时不变性得另一方面由线性性知，对固定的 ，有取 t=0 得第4章 平稳过程存在，称之为系统 L 的脉冲响应函数。第4章 平稳过程由上述可知，若对每一系统均以 x(t)=ej t 作为标准的输入信号，这样H(

50、)就仅与系统 L 有关，因此一个系统的频率响应函数 H()或脉冲响应函数 h(t)完全表达了保持连续性的线性时不变系统的数量特征。因此当给定了 H()(或 h(t)就表示给定了一个保持连续性的线性时不变系统 L。反之，若 L 已知，也就是说 H()是已知的。由于 H()不一定是绝对可积的，故 h(t)不一定存在，因此当 L 已知时，并不能说 h(t)是已知的。第4章 平稳过程4.5.2 线性时不变系统对随机输入的响应线性时不变系统对随机输入的响应现在我们对保持连续性的线性时不变系统 L，输入 X 是平稳过程时，定理 4.5.1 中的结论是否还成立?第4章 平稳过程定理定理 4.5.2 设输入