《离散数学 》课件第5章 函数.ppt

1、第第5章章 函数（函数（Functions）5.1 函数的基本概念函数的基本概念(The concept of function)5.2 特殊映射特殊映射(Special mappings)5.3 复合函数与逆函数复合函数与逆函数(Compositions of functions and Inverse functions)第第5章章 函数（函数（Functions）5.1 函数的基本概念函数的基本概念(The concept of function)函数概念是最基本的数学概念之一，也是函数概念是最基本的数学概念之一，也是最重要的数学工具。初中数学中函数定义为最重要的数学工具。初中数学中函数

2、定义为对自变量每一确定值都有一确定的值与之对应对自变量每一确定值都有一确定的值与之对应的因变量；高中数学中函数又被定义为两集的因变量；高中数学中函数又被定义为两集合元素之间的映射。合元素之间的映射。第第5章章 函数（函数（Functions）现在，我们要把后一个定义作进一步的深化，现在，我们要把后一个定义作进一步的深化，用一个特殊关系来具体规定这一映射，称这个特用一个特殊关系来具体规定这一映射，称这个特殊关系为函数，因为关系是一个集合，从而又将殊关系为函数，因为关系是一个集合，从而又将函数作为集合来研究。离散结构之间的函数关系函数作为集合来研究。离散结构之间的函数关系在计算机科学研究中也已显示

3、出极其重要的意义。在计算机科学研究中也已显示出极其重要的意义。我们在讨论函数的一般特征时，总把注意力集中我们在讨论函数的一般特征时，总把注意力集中在离散结构之间的函数关系上，但这并不意味着在离散结构之间的函数关系上，但这并不意味着这些讨论不适用于其它函数关系。这些讨论不适用于其它函数关系。第第5章章 函数（函数（Functions）考虑下面几个由图示表示的集合考虑下面几个由图示表示的集合A到集合到集合B的关系。的关系。在这个关系中，在这个关系中，后个关系后个关系3，4，5，6与与1，2不同，不同，它们都有下面两个特点：它们都有下面两个特点：（1）其定义域为其定义域为A；（2）A中任一元素中任一

4、元素a对应唯一一个对应唯一一个B中的元中的元素素b。第第5章章 函数（函数（Functions）几个关系的示图几个关系的示图第第5章章 函数（函数（Functions）几个关系的示图几个关系的示图第第5章章 函数（函数（Functions）几个关系的示图几个关系的示图第第5章章 函数（函数（Functions）定义定义5.1.1 设设X，Y为集合，如果为集合，如果f为为X到到Y的关的关系系（f XY），且对每一），且对每一xX，都有唯一的，都有唯一的 yY，使，使x,yf，称，称 f 为为X到到Y的函数的函数（functions），记为），记为 f：XY。当。当X=X1X2Xn时，称时，称f为

5、为n元函数。函数也元函数。函数也称映射（称映射（mapping）。）。第第5章章 函数（函数（Functions）换言之，函数是特殊的关系，它满足换言之，函数是特殊的关系，它满足（1）函数的定义域是）函数的定义域是X，而不能是，而不能是X的某个真子集的某个真子集 (即即dom(f)=X)。（2）若）若x,yf，x,yf，则，则yy（单值（单值 性）。性）。第第5章章 函数（函数（Functions）第第5章章 函数（函数（Functions）由于函数的第二个特性，人们常把由于函数的第二个特性，人们常把x,yf 或或 xfy 这两种关系表示形式，在这两种关系表示形式，在 f 为函数时改为函数时改

6、为为y=f(x)。这时称。这时称x为自变量，为自变量，y为函数在为函数在x处的处的值；也称值；也称y为为x在在 f 作用下的像作用下的像(image of x under f)，x为为y的原像。一个自变量只能有唯一的像，的原像。一个自变量只能有唯一的像，但不同的自变量允许有共同的像。但不同的自变量允许有共同的像。注意，函数注意，函数的上述表示形式不适用于一般关系。（因为一的上述表示形式不适用于一般关系。（因为一般关系不具有单值性。）般关系不具有单值性。）第第5章章 函数（函数（Functions）【例例1】设设A=a,b,B=1,2,3，判断下列集合是，判断下列集合是否是否是A到到B的函数。的

7、函数。F1=a,1,b,2,F2=a,1,b,1，F3=a,1,a,2,F4=a,3 解解:F1,F2是函数，是函数，F3,F4不是函数，但若不强调是不是函数，但若不强调是A到到B的函数，则的函数，则F4是函数，其定义域为是函数，其定义域为a。第第5章章 函数（函数（Functions）【例例2】下列关系中哪些能构成函数？下列关系中哪些能构成函数？（1）x,y|x,y N,x+y10（2）x,y|x,y N,x+y=10（3）x,y|x,y R,|x|=y（4）x,y|x,y R,x=|y|（5）x,y|x,y R,|x|=|y|解解:只有（只有（3）能构成函数。）能构成函数。第第5章章 函数

8、（函数（Functions）对于函数对于函数 f：XY,f 的前域的前域dom(f)=X就是函数就是函数 y=f(x)的定义域的定义域,有时也记为有时也记为 D f ,f 的值域的值域ran(f)Y,有时也记为有时也记为R f ,即即 R f=Y称为称为 f 的共域的共域,ran(f)=R f 也称为也称为 f 的像集合的像集合,dom(f)=X=D f 也称为也称为 f 的原像集。对于的原像集。对于)()(xfyXxxy第第5章章 函数（函数（Functions）A X，称，称f(A)为为A的像（的像（image of A），定义为），定义为 f(A)=显然显然,f()=,f(x)=f(x)

9、(xA)。)()(xfyAxxy 第第5章章 函数（函数（Functions）由于函数归结为关系，因而函数的由于函数归结为关系，因而函数的表示及运算可归结为集合的表示及运算，表示及运算可归结为集合的表示及运算，函数的相等的概念、包含概念，也便归函数的相等的概念、包含概念，也便归结为关系相等的概念及包含概念。结为关系相等的概念及包含概念。第第5章章 函数（函数（Functions）定义定义5.1.2 设设 f:AB，g:CD，如果，如果A=C，BD，且对每一，且对每一xA，有，有 f(x)g(x)，称函数，称函数 f 等于等于g,记为记为 f=g。如果。如果 A C，BD，且对每一，且对每一xA

10、，有，有 f(x)g(x)，称函数，称函数 f 包含于包含于g，记为，记为f g。第第5章章 函数（函数（Functions）事实上，当不强调函数是定义在哪个集合上事实上，当不强调函数是定义在哪个集合上的时候，由于函数是序偶的集合（特殊的关的时候，由于函数是序偶的集合（特殊的关系），所以系），所以f=g的充分必要条件是的充分必要条件是f g且且 g f。第第5章章 函数（函数（Functions）【例例3】设设A=a,b,B=1,2,3。由。由AB能生成多少个不同的函数？由能生成多少个不同的函数？由BA能生成多少个不同的函数？能生成多少个不同的函数？解解:设设 fi:AB(i=1,2,，9),

11、gi:BA(i=1,2,，8)第第5章章 函数（函数（Functions）f1=a,1,b,1 g1=1,a,2,a,3,a f2=a,1,b,2 g2=1,a,2,a,3,b f3=a,1,b,3 g3=1,a,2,b,3,a f4=a,2,b,1 g4=1,a,2,b,3,b f5=a,2,b,2 g5=1,b,2,a,3,a f6=a,2,b,3 g6=1,a,2,a,3,b f7=a,3,b,1 g7=1,b,2,a,3,b f8=a,3,b,2 g8=1,b,2,b,3,b f9=a,3,b,3第第5章章 函数（函数（Functions）定理定理5.1.1 设设|A|=m，|B|=n

12、，那么，那么f|f:AB的的基数为基数为 nm，即共有，即共有nm个个A到到B的函数。的函数。证明证明 设设A=a1,a2,am,B=b1,b2,bn，那么每一，那么每一个个f:AB由一张如下的表来规定由一张如下的表来规定:aa1a2amf(a)bi1bi2bim第第5章章 函数（函数（Functions）其中其中b i1，b i2，b im为取自为取自b1，b2，bn的允许元素重复的排列，这种排列的允许元素重复的排列，这种排列总数为总数为n m个。因此，上述形式的表恰有个。因此，上述形式的表恰有n m张，张，恰对应全部恰对应全部n m个个A到到B的函数。的函数。第第5章章 函数（函数（Fun

13、ctions）由于上述缘故，当由于上述缘故，当A,B是有穷集合时，我是有穷集合时，我们以们以B A记所有记所有A到到B的全体函数的集合：的全体函数的集合：B A=f|f:AB 则则|B A|=|B|A|。特别地特别地AA表示表示A上函数的全体。目前在上函数的全体。目前在计算机科学中，也用计算机科学中，也用AB替代替代B A。第第5章章 函数（函数（Functions）例例3中，中，B A=f1,f2,f9，|B A|=9，A B=g1,g2,g8，|A B|=8。该定理当该定理当X或或Y中至少有一个集合是空集时，中至少有一个集合是空集时，可分成下面两种情况：可分成下面两种情况：(1)当当X 时

14、，时，X到到Y的空关系为一函数，的空关系为一函数，称为空函数，即称为空函数，即YX=。(2)当当X 且且Y=时，时，X到到Y的空关系不是的空关系不是一个函数，即一个函数，即YX=X=。第第5章章 函数（函数（Functions）小结小结:本结介绍了函数的概念。重点掌握本节本结介绍了函数的概念。重点掌握本节定义的函数与以往函数及一般关系的不同之处。定义的函数与以往函数及一般关系的不同之处。第第5章章 函数（函数（Functions）定义定义5.2.1 给定函数给定函数 f:XY，(1)如果函数如果函数 f 的值域的值域 Ran f=Y，即，即Y的每一个的每一个元素都有原像元素都有原像,则称则称

15、f:XY为为满射函数满射函数（surjection）,满射函数也称映上的函数。满射函数也称映上的函数。(2)对于任意对于任意 x1,x2X,若若 x1x2则有则有f(x1)f(x2),或者当或者当 f(x1)=f(x2)时必有时必有x1=x2,则称则称 f 为为单射函数单射函数（injection）,单射函数也称一对一的单射函数也称一对一的函数。函数。5.2 特殊映射特殊映射(Special Mappings)第第5章章 函数（函数（Functions）(3)f:XY。如果它既是满射，又是单射，。如果它既是满射，又是单射，则称则称 f 为双射函数（为双射函数（bijection）,双射函数也称

16、一双射函数也称一一对应。一对应。由定义不难看出，如果由定义不难看出，如果 f:XY是满射，则是满射，则对于任意的对于任意的yY,都存在都存在xX,使得使得y=f(x);如果如果 f:XY是单射的，则对于任意的是单射的，则对于任意的y Ran f,都存在唯一的都存在唯一的 xX,使得使得y=f(x)。图图5.2.1说明了这三类函数之间的关系。注意，说明了这三类函数之间的关系。注意，既非单射又非满射的函数是大量存在的。既非单射又非满射的函数是大量存在的。第第5章章 函数（函数（Functions）图图 5.2.1 既非单射又非满射单射双射满射YX第第5章章 函数（函数（Functions）【例例1

17、】对于给定的对于给定的 f 和集合和集合A，请判断，请判断 f 性质性质 (类型类型)；并求；并求A在在 f 下的像下的像f(A)。(1)f:R R，f(x)=x，A=8 (2)f:NNN，f(x)=x,x+1，A=2,5 (3)f:ZN，f(x)=|x|，A=-1,2 (4)f:S R，,S=0,+)，A=0,7)(5)f:0,1a,b,a b,f(x)=(b-a)x+a,A=0,1/2)1()1f xx第第5章章 函数（函数（Functions）解解:（1）f是双射，是双射，f(A)=f(8)=8 (2)f是单射，是单射，f(A)=f(2,5)=2,3,5,6 (3)f是满射，是满射，f(

18、A)=f(-1，2)=1，2 (4)f是单射，是单射，f(A)=f(0,7)=（1/8，1 (5)f是双射，是双射，f(A)=f(0,1/2)=a,(a+b)/2)第第5章章 函数（函数（Functions）定理定理5.2.1 设设A,B是有穷集合，是有穷集合，|A|=|B|，则，则f:AB是单射的充分必要条件是是单射的充分必要条件是 f 是满射。是满射。证明证明 先证必要性。先证必要性。设设f是单射，则是单射，则|A|=|f(A)|=|B|。因为。因为 f(A)B，而，而B是有穷集合，所以是有穷集合，所以f(A)=B，故，故f是满射。是满射。第第5章章 函数（函数（Functions）再证充

19、分性。再证充分性。设设f是满射，则是满射，则f(A)=B,从而从而|f(A)|=|B|。反设。反设 f 不是单射，则必存在不是单射，则必存在x1,x2A,x1x2且且 f(x1)=f(x2).又因为又因为A是有穷集合，于是是有穷集合，于是|f(A)|A|-1|B|。与。与|f(A)|=|B|矛盾。所以矛盾。所以f是是单射。单射。第第5章章 函数（函数（Functions）说明说明:（1）设）设 f:XY,如果存在如果存在cY，使得对所有的，使得对所有的xX都有都有f(x)=c，则称，则称f:XY是常函数。是常函数。（2）任意集合）任意集合A上的恒等关系上的恒等关系IA为一函数，常为一函数，常称

20、为恒等函数，因为对任意称为恒等函数，因为对任意xA都有都有IA(x)=x。注意注意:定理定理5.2.1 只对只对X和和Y 是有限集合的情形成立是有限集合的情形成立,在无限集合上不一定有效。在无限集合上不一定有效。例如例如:f:ZZ,f(x)=2x.则则 f 是单射是单射,但不是满射但不是满射.第第5章章 函数（函数（Functions）(3)设设A为集合，对于任意的为集合，对于任意的AA，A的的特征函数特征函数 ：A0，1 定义为定义为10AaAaAAAx(4)设设R是是A上的等价关系，令上的等价关系，令 g:AA/R aA,g(a)=,其中其中 是由是由a生成的等价类，生成的等价类，则称则称

21、g是从是从A到商集到商集A/R的自然映射的自然映射。RaRa第第5章章 函数（函数（Functions）【例例2】设设A=1,2,3,4,R=1,2,2,1IA,求自然映射：求自然映射：g1:AA/IA，g2:AA/R。解解 g1(1)=1,g1(2)=2,g1(3)=3,g1(4)=4 g2(1)=g2(2)=1,2，g2(3)=3，g2(4)=4 注意到，注意到，A/IA=1,2,3,4，A/R=1,2,3,4，所以自然映射都是满射且，所以自然映射都是满射且只有等价关系取只有等价关系取IA时是双射。时是双射。第第5章章 函数（函数（Functions）关于集合的特征函数：设关于集合的特征函

22、数：设A为集合，不难证为集合，不难证明，明，A的每一个子集的每一个子集A都对应于一个特征函数，都对应于一个特征函数，不同的子集则对应于不同的特征函数。而自然不同的子集则对应于不同的特征函数。而自然映射映射g给定集合给定集合A和和A上的等价关系上的等价关系R，就可以确，就可以确定一个自然映射定一个自然映射g:AA/R。第第5章章 函数（函数（Functions）小结小结:本结介绍了几种特殊的函数（恒等函数、本结介绍了几种特殊的函数（恒等函数、单射、满射、双射）。重点掌握这单射、满射、单射、满射、双射）。重点掌握这单射、满射、双射的概念双射的概念。第第5章章 函数（函数（Functions）5.3

23、复合函数与逆函数复合函数与逆函数(Compositions of functions and Inverse function)5.3.1 复合函数复合函数(Compositions of functions)5.3.2 逆函数逆函数(Inverse function)第第5章章 函数（函数（Functions）5.3.1 复合函数复合函数(compositions of functions)定理定理5.3.1 设设 f:AB，g:BC，那么复合关系，那么复合关系f g为为A到到C的函数，称为函数的函数，称为函数 f 和和 g 的复合函数。的复合函数。证明证明 首先证明首先证明 Dom(f g

24、)=A。对任一。对任一xA，有，有yB，使使x,y f；对这一；对这一y，有，有zC，使得，使得y,z g，因此因此x,z f g。故。故x Dom(f g)。故故Dom(f g)=A得证。得证。因为函数是一种特殊的关系，因为函数是一种特殊的关系，所以和关系一所以和关系一样也有复合运算。样也有复合运算。对于函数的复合我们有下面的对于函数的复合我们有下面的定理：定理：第第5章章 函数（函数（Functions）再证再证f g的单值性。设对任意的单值性。设对任意xA有有z1,z2，使，使x,z1f g，x,z2f g。那么有。那么有y1,y2，使，使x,y1f，y1,z1 g，x,y2f,y2,z

25、2 g。由于。由于 f 为函数，知为函数，知y1=y2；又因；又因g为函数，得知为函数，得知z1=z2。f g为为A到到C的函数得证。的函数得证。我们注意到，我们注意到，x,zf g是指有是指有y使使 x,yf，y,zg，即，即y=f(x)，z=g(y)=g(f(x)，因而因而 f g(x)=g(f(x)。第第5章章 函数（函数（Functions）这就是说，当这就是说，当 f,g为函数时，它们的复合为函数时，它们的复合作用于自变量的次序刚好与合成的原始记号作用于自变量的次序刚好与合成的原始记号的顺序相反。故我们约定把两个函数的顺序相反。故我们约定把两个函数 f 和和 g 的复合记为的复合记为

26、g f（简记为（简记为gf）。图图 5.3.1 复合函数的图示复合函数的图示 第第5章章 函数（函数（Functions）【例例1】设设A=1,2,3,4B=1,2,3,4,5,C=1,2,3。f:AB，f=1,2,2,1,3,3,4,5 g:BC，g=1,1,2,2,3,3,4,3,5,2 求求g。f。解解:g。f=1,2,2,1,3,3,4,2 用关系图图示用关系图图示g。f，其中，其中表示表示g。f,见图见图5.3.2。第第5章章 函数（函数（Functions）图图 5.3.2 第第5章章 函数（函数（Functions）【例例2】设设f，g均为实函数，均为实函数，f(x)=2x+1,

27、g(x)=x 2+1,求求f。g，g。f，f。f，g。g。解解 f。g(x)=f(g(x)=2(x 2+1)+1=2x 2+3 g。f(x)=g(f(x)=(2x+1)2+1=4x 2+4x+2 f。f(x)=f(f(x)=2(2x+1)+1=4x+3 g。g(x)=g(g(x)=(x 2+1)2+1=x 4+2x 2+2 第第5章章 函数（函数（Functions）所以所以 g。f=x,4x 2+4x+2 f。g=x,2x 2+3 f。f=x,4x+3 g。g=x,x 4+2x 2+2 RxRxRxRx第第5章章 函数（函数（Functions）定理定理5.3.2 设有函数设有函数f：AB

28、和和 g：BC，1)若若f，g都是单射，都是单射，则则gf也是单射。也是单射。2)若若f，g都是满射，都是满射，则则gf也是满射。也是满射。3)若若f，g都是双射，都是双射，则则gf也是双射。也是双射。证明证明 1)任取任取a1，a2A，且且a1a2，因为因为f是单射，是单射，所以所以 f(a1)f(a2)；又因为又因为g是单射，是单射，所以所以 g(f(a1)g(f(a2)。因此因此,gf是单射。是单射。第第5章章 函数（函数（Functions）2)任取任取cC，因为因为 g是满射，是满射，所以存所以存在在bB，使得使得g(b)；又；又 因为因为 f是满射，是满射，所以存在所以存在aA，使

29、得使得f(a)b。所以所以 gf(a)g(f(a)g(b)c，即即 cRgf，所以所以 C Rgf，又显然又显然Rgf C，所以所以 CRgf .故故gf是满射。是满射。第第5章章 函数（函数（Functions）3)因为因为 f 和和 g 是双射，是双射，所以它们都是单射和所以它们都是单射和满射。满射。由由1)和和2)知，知，gf是单射和满射是单射和满射,即即gf是双射。是双射。第第5章章 函数（函数（Functions）定理定理5.3.3 设有函数设有函数 f：AB和和 g：BC，1)若若gf是单射，是单射，则则f是单射。是单射。2)若若gf是满射，是满射，则则g是满射。是满射。3)若若g

30、f是双射，是双射，则则f是单射而是单射而g是满射。是满射。该定理请读者自证。该定理请读者自证。定理定理5.3.3说明定理说明定理5.3.2的逆定理只能部分成立。的逆定理只能部分成立。例如，例如，如图如图5.3.3所示，所示，复合函数复合函数gf是满射，是满射，但但g是满射，是满射，而而 f 不是满射不是满射,因为因为b1B在在 A中无原像。中无原像。第第5章章 函数（函数（Functions）图图 5.3.3第第5章章 函数（函数（Functions）定理定理5.3.4 设有函数设有函数 f：AB，g：BC和和 h：CD，则有则有 h(gf)(h g)f .证明证明:这可由关系的复合的可结合性

31、得出，这可由关系的复合的可结合性得出，这里我们这里我们 直接由函数相等的定义证明。直接由函数相等的定义证明。首先首先 h(gf)，(hg)f 都是都是A到到D的函数。的函数。所以对任一所以对任一aA，有有 h(gf)(a)h(gf(a)=h(g(f(a)(hg)(f(a)(hg)f(a)第第5章章 函数（函数（Functions）由元素由元素a的任意性，的任意性，有有 h(gf)(hg)f 这样，这样，个函数个函数f，g，h的复合函的复合函数，数，可以去掉括号，可以去掉括号，记为记为hgf。若有若有f：AA，则则 ff 简记为简记为f 2，一一般地般地 简记为简记为f n。显然。显然nfff

32、01()()()nnfxxfxffx第第5章章 函数（函数（Functions）注意注意:函数的复合运算不满足交换律。函数的复合运算不满足交换律。【例例3】（1）设）设A=1,2,3，f:AA，f=1,2,2,2,3,1 g:AA，g=1,2,2,1,3,3，则，则 g。f=1,1,2,1,3,2，f。g=1,2,2,2,3,1。所以所以 g。f f。g.函数复合的下列性质也是明显的。函数复合的下列性质也是明显的。第第5章章 函数（函数（Functions）定理定理5.3.5 若有函数若有函数f：AB，则则 f IAIB ff。证明证明:任取任取aA，有有IA(a)a,则则 f IA(a)f(

33、IA(a)f(a)。由由a的任意性，的任意性，有有 f IAf。同理可证同理可证 IB ff。第第5章章 函数（函数（Functions）定义定义 5.3.1 若函数若函数 f：AA,且且f 2f，则称，则称f是是幂等函数。幂等函数。例例4中的中的f就是幂等函数。就是幂等函数。【例例4】设设 f:AA，A=a,b,c。f(a)=b，f(b)=b，f(c)=c，则有则有 f 2=f。即。即 f 是幂等函数。是幂等函数。第第5章章 函数（函数（Functions）5.3.2 逆函数逆函数(Inverse functions)考虑函数考虑函数 f：AB,f 的逆关系的逆关系f-1是是B到到A关系关系

34、,但但 f 1可能不是函数。可能不是函数。一方面一方面,如果如果 f 不是单射不是单射,则则f 1不是不是函数函数,另一方面另一方面,如果如果 f 不是满射不是满射,则则f 1也不是函数。也不是函数。因此我们有如下定理因此我们有如下定理:定理定理5.3.6 若若f：AB是双射，则是双射，则 f 的逆关系的逆关系f-1是是B到到A的双射。的双射。第第5章章 函数（函数（Functions）证明证明:先证先证 f 是是B到到A的函数，的函数，这只要证这只要证 f 满足满足函数定义的两个条件。函数定义的两个条件。任取任取bB，因为，因为 f是满射，所以存在是满射，所以存在aA，使得使得a，bf，由定

35、义，由定义 b，a f-1，由，由b的任意性，有的任意性，有 B。1fD第第5章章 函数（函数（Functions）若有若有bB，但存在，但存在a1，a2A且且a1a2，使使 b，a1 f-1，b，a2 f-1，则有，则有 a1，b f，a2，b f。这与这与f是单射是单射矛盾。矛盾。所以对每一所以对每一bB，有唯一有唯一aA，使，使 b，a f-1，即即f-1是是B到到A的函数。的函数。第第5章章 函数（函数（Functions）下面再证下面再证f-1是双射。是双射。因为因为Rf-1 D f A，所以所以f-1是满射。是满射。若若f-1不是单射，不是单射，则有则有b1，b2B且且b1b2，但

36、存在但存在aA，使得，使得 b1，a f-1，b2，a f-1，即，即 a，b1 f，a，b2 f。这与。这与 f 是函数矛盾，所以是函数矛盾，所以 f-1是单射。是单射。故故f-1是是B到到A的双射。的双射。第第5章章 函数（函数（Functions）定义定义 5.3.2 设有双射设有双射 f：AB，其逆关系，其逆关系f-1是是B到到A的一个双射，的一个双射，称为函数称为函数 f 的逆函数的逆函数(或反函数或反函数)，记为记为 f-1。这时称函数这时称函数 f 是可逆的。是可逆的。今后谈到一个函数的逆函数时，今后谈到一个函数的逆函数时，都是指双射的都是指双射的逆函数。逆函数。由定义知，由定义

37、知，若若f(a)b，则有则有f-1(b)a。函数的逆函数具有下面一些重要性质。函数的逆函数具有下面一些重要性质。第第5章章 函数（函数（Functions）定理定理5.3.7 若函数若函数 f：AB是双射，则有是双射，则有 f-1 fIA，f f-1 IB。证明证明:因为因为 f：AB是双射，是双射，所以所以 f-1：BA也是也是 双射。双射。由定理由定理4.3.2知，知，f-1 f：AA是双射，是双射，f f-1：BB是双射。是双射。任取任取aA，设设f(a)b，则则 f-1(b)a 所以所以 f-1 f(a)f-1(f(a)f-1(b)a 由由a的任意性知，的任意性知，f-1 fIA。同理

38、可证同理可证 f f-1 IB。第第5章章 函数（函数（Functions）定理定理5.3.8 设有双射设有双射 f：AB，则有则有(f-1)-1f。证明证明:由定理由定理4.3.6知，知，(f-1)-1是是A到到B的双射。的双射。任取任取aA，有有bB 使使 f(a)b 从而从而 f-1(b)a,进而进而 (f-1)-1(a)b 故故 (f-1)-1(a)=f(a)由由a的任意性知，的任意性知，(f-1)-1 f 该定理说明该定理说明 f 和和 f-1互为逆函数。互为逆函数。第第5章章 函数（函数（Functions）定理定理5.3.9 设有双射设有双射 f：AB 和和 g：BA，则，则 g

39、 f-1 iff g f IA，f gIB 证明证明:必要性：定理必要性：定理4.3.7已证。已证。充分性：充分性：若还有函数若还有函数 h：BA，也使也使 h fIA，f h IB 第第5章章 函数（函数（Functions）由复合函数的可结合性有由复合函数的可结合性有(hf)g h(fg)。而而 (hf)gIAgg，h(fg)hIBh，所以所以 hg。即满足即满足gf IA，fgIB的函数的函数 g 是唯一的。又由定理是唯一的。又由定理4.3.7知，逆函数知，逆函数f-1也满足也满足 条件，所以条件，所以 g f-1。第第5章章 函数（函数（Functions）定理定理5.3.10 设有双

40、射设有双射 f：AB和和g：BC，则则 (gf)-1 f-1 g-1。证明证明:因为因为 f：AB和和g：BC是双射，故是双射，故 gf：AC 是双射，所以是双射，所以 gf 有逆函数有逆函数(gf)-1：CA。而而 (gf)(f-1 g-1)(g(f f-1)g-1 (gIB)g-1 g g-1 IC第第5章章 函数（函数（Functions）同理可得同理可得 (f-1 g-1)(gf)IA。由定理由定理5.3.9知，知，f-1 g-1是是 gf 的逆函数，的逆函数，即即(gf)-1 f-1 g-1。第第5章章 函数（函数（Functions）设设f：RR，f（x）=x2-2；g：RR，g（

41、x）=x+4。(1)求求g。f，f。g (2)问问g。f和和f。g是否为单射、满射、双射？是否为单射、满射、双射？（3）求出）求出f、g、g。f和和f。g中的可逆函数的逆函数。中的可逆函数的逆函数。综合练习题综合练习题第第5章章 函数（函数（Functions）解解:（1）f。g=x,x2+8x+14|x R g。f=x,x 2+2|xR （2）g。f 和和 f。g均是非单非满函数。均是非单非满函数。（3）因为）因为g是双射，所以可逆，其逆函数为：是双射，所以可逆，其逆函数为：g-1（x）=x-4。第第5章章 函数（函数（Functions）小结：本结介绍了函数的复合运算与逆函数小结：本结介绍了函数的复合运算与逆函数及其性质及其性质 .重点掌握复合函数与逆函数重点掌握复合函数与逆函数的性质的性质 .