《数字图像处理》课件第5章 频域处理.pptx

1、数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image Processing目目 录录1.概论2.数字图像处理基础3.图像增强4.图像的几何变换5.频域处理6.数学形态学基础7.图像分割8.图像特征与理解第五章第五章 频域处理频域处理1.频域与频域变换2.傅立叶变换3.频域变换的一般表达式4.离散余弦变换5.频域变换中图像处理的实现6.小波变换简介原始图像频域图像5.1 频域与频域变换频域与频域变换n 频域频域变换变换本质上是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。参考资料：（从头到尾彻底

2、理解傅里叶变换算法）http:/ 5.1 频域与频域变换频域与频域变换n 理论基础：任意波形都可以用不同频率和相位不同频率和相位的正弦波或正弦波或余弦波的加权和余弦波的加权和来表示。(a)(b)(c)(d)图图5-1 5-1 任意任意波形可分解为波形可分解为正弦波正弦波或余弦波或余弦波的的加权和加权和5.1 频域与频域变换频域与频域变换n 将图51(b)所示的正弦波取出来,虚线虚线表示的振幅为表示的振幅为1 1，且，且初相位为初相位为0 0的正弦波作为基本正弦波的正弦波作为基本正弦波，则实线表示的波形可由其振幅振幅A A和初相位和初相位确定确定。一个正弦波可由频率，振幅和相位唯一确定。一个正弦

3、波可由频率，振幅和相位唯一确定。图图5 52 2 正弦波的振幅正弦波的振幅A A和相位和相位5.1 频域与频域变换频域与频域变换n 图51(b)、(c)、(d)个不同的正弦波形可以描述为图53所示的2幅图。其中图53(a)表示振幅与频率振幅与频率之间的关系，称为幅频特性幅频特性，而图53(b)表示初相位与频率初相位与频率之间的关系，称为相频特性相频特性。Au(a)幅频特性(b)相频特性图5-3 图5-1(a)波形的频域表示波形的频域表示u5.1 频域与频域变换频域与频域变换n 时域和频域之间的变换时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：)()(Fxf正变换逆变换)(),()(Axf正变换逆变

4、换 幅值与相位与频率幅值与相位与频率w w之间的关系之间的关系 F(w)为幅值与相位关于频率为幅值与相位关于频率w的的复数表示复数表示5.1 频域与频域变换频域与频域变换n 举例举例来自：来自：http:/ 频域与频域变换频域与频域变换n 举例举例来自：来自：http:/ 傅立叶变换傅立叶变换n 傅立叶变换是一种常用的正交变换正交变换，它的理论完善，应用广泛。n 在图像处理应用领域，傅立叶变换起着非常重要的作用，可用它完成图像分析图像分析、图像增强图像增强及图像压缩图像压缩等工作。5.2.1 傅立叶变换傅立叶变换n 如果一维连续信号f(x)满足狄里赫莱条件，即：(1)有限有限个间断点；个间断点

5、；(2)有限个极值点；有限个极值点；(3)绝对可积。绝对可积。其其傅立叶变换对一定存在傅立叶变换对一定存在。f(x)的傅立叶变换傅立叶变换与反变换反变换(Fourier transform pair)定义为2()()()ejuxf xF uf xdx12()()()ejuxF uf xF udu cossinjxexjx1jx时变量；时变量；u频域变量。频域变量。()f x dx 正变换正变换逆变换逆变换5.2.1 傅立叶变换傅立叶变换n 1维连续傅里叶变换举例，窗函数的傅里叶变换窗函数的傅里叶变换：220ETtTp tothers 2222cos 22sin 22cos 22sin 2222

6、sin02sin20juTjuTEuTjuTuTjuTEeEeF ujujuEuTuEuTuuETu222()()TjutTf xF uEedt对p(t)作傅里叶变换对上式求解，可得F(u)的表达式5.2.1 傅立叶变换傅立叶变换n 如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶二维傅立叶变换对变换对为:dxdyeyxfvuFyxfvyuxj)(2),(),(),(dudvevuFyxfvuFvyuxj)(21),(),(),(x,y时域变量；时域变量；u,v频域变量。频域变量。正变换正变换逆变换逆变换5.2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换n 定义：设f(x)|f(0),f(1)

7、,f(2),f(N-1)为一维信号f(x)的的N个个抽样抽样，其离散傅立叶变换对为离散傅立叶变换对为：x,u=0,1,2,N1210()()()uxNxjNef xF uf x21101()()()NuuxjNF uf xFNeu5.2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换n 欧欧拉公式拉公式sincosjej)2sin2cos)()(10NxujNxuxfuFNx离散序列的傅立叶变换傅立叶变换仍是一个离散的离散的序列序列对每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列所有输入序列f(x)的加权的加权和和u决定了每个傅立叶变换结果的频率频率5.2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换n 傅立叶变换为复数形

8、式R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部)()()(ujIuRuFn 傅立叶变换的指数形式)()()(ujeuFuF)()()(22uIuRuF)()(arctan)(uRuIu 式中：(R(u),I(u)实轴虚轴相位谱幅度谱5.2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换n 离散傅里叶变换举例：1 1 1 10000 x 222222220*01*02*03*04*05*06*07*0222222220*11*12*13*14*15*16*17*1220*201234567jjjjjjjjNNNNNNNNjjjjjjjjNNNNNNNNjjNeeeeeeeeeeeeeeeeFFeeFFFFFF

9、2222221*22*23*24*25*26*27*2222222220*31*32*33*34*35*36*37*3222222220*41*42*43*44*45*46*4jjjjjjNNNNNNNjjjjjjjjNNNNNNNNjjjjjjjjNNNNNNNNeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee7*4222222220*51*52*53*54*55*56*57*5222222220*61*62*63*64*65*66*67*62222220*71*72*73*74*75*jjjjjjjjNNNNNNNNjjjjjjjjNNNNNNNNjjjjjjNNNNNNeeeeeeeeeee

10、eeeeeeeeeee 2276*77*701234567jjNNffffffffee 28 2 18 120011jiuNjiiNiuF ux i eNxeiN5.2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换n 离散傅里叶变换举例：222222220*01*02*03*04*05*06*07*0222222220*11*12*13*14*15*16*17*12222220*21*22*23*24*25*2jjjjjjjjNNNNNNNNjjjjjjjjNNNNNNNNjjjjjjNNNNNNeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee226*27*2222222220*31*32*33*34*35

11、*36*37*3222222220*41*42*43*44*45*46*47*4222220*51*52*53*5jjNNjjjjjjjjNNNNNNNNjjjjjjjjNNNNNNNNjjjjjNNNNeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee2224*55*56*57*5222222220*61*62*63*64*65*66*67*6222222220*71*72*73*74*75*76*77*7jjjNNNNjjjjjjjjNNNNNNNNjjjjjjjjNNNNNNNNeeeeeeeeeeeeeeeeeee5.2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换n 离散傅里叶变换举例：1 1 1 1

12、0000 x 信号的傅里叶变换结果5.2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换n 信号的傅里叶变换中，F(i)和F(N-i)的频谱值相等，为什么？21022102211001111NNji N uji uNNji uNijiNjiuNiNiiF uF Nuef ief iNNf ief iNeN 说明：说明：*F uFNu*F uFNu5.2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换n 将一维离散傅立叶变换推广到二二维维，定义为：式中：u,x=0,1,2,M-1；v,y=0,1,2,N-1；x,y为时域变量为时域变量；u,v为频域变量为频域变量。112)00(,)(,)(,)uxvyjMNxyMNef x

13、 yF u vf x y112(00)11(,)(,)(,)uxvyjMNMNuvF u vf xeyF u vMN5.2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换n 二维离散函数的傅立叶频谱傅立叶频谱、相位谱相位谱和能量谱能量谱分别为：式中：R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部实部和虚部。(,)arctan()(,),I u vvRuu v22(,),)(,(F u vR u vIu v22(,),)(,(E u vR u vIu v5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 二维离散傅立叶变换的性质对图像的分析具有十分重要的作用。线性线性),(),(),(),(21

14、21vubFvuaFyxbfyxaf比例性质比例性质),(1),(bvauFabbyaxf可分离性可分离性平移性质平移性质空间位移频率位移图像中心化图像中心化当时，(,)(,)(,)yyxxFF u vFf xFf x yyF1111(,)(,)(,)uuvvFF u vf x yFFF u vF0002()0()(,),uxvyjMNfF u vxyexy0002()0(,)()u xv yjMNuuf x yvFve00,22MNuv(,)(,2()1)2x yMNuFvf x y5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 二维离散傅立叶变换的性质对图像的分析具有十分重要的作用

15、，因此，有必要理解和掌握二维DFT的性质。周期性周期性共轭对称性共轭对称性旋转不变性旋转不变性平均值平均值卷积定理卷积定理),(),(),(),(),(),(),(),(bNyaMxfbNyxfyaMxfyxfbNvaMuFbNvuFvaMuFvuF),(),(vuFvuF),(),(vuFvuF),(),(00Frf)0,0(1),(1),(1010FMNyxfMNyxfMxNy),(),(),(),(),(),(),(),(vuHvuFyxhyxfvuHvuFyxhyxf5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 二维离散傅立叶变换的性质对图像的分析具有十分重要的作用，因此，有

16、必要理解和掌握二维DFT的性质。互相关定理互相关定理自相关：自相关：),(),(),(),(),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfvuGvuFyxgyxf),(),(),(),(),(),(22vuFvuFyxfvuFyxfyxf5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 线性),(),(),(),(2121vubFvuaFyxbfyxaf+=fftfftfft+=5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 比例性质),(1),(bvauFabbyaxf f xF u1(0)uf axFaaa为大于 的实数(,)(,)af x yaF u v1(,)(/,/)

17、f ax byF u a v bab af xaF u5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 比例性质证明比例性质证明 f xF u1(0)uf axFaaa为大于 的实数 222:,11juxju t aju a tG uf ax edxlet tax so xt af t ed t af t edtauFaa5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 比例性质图像幅度谱5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 可分离性可分离性可分离性 f(x,y)F(x,v)F(u,v)按行进行一维按行进行一维DFT按列进行一维按列进行一维DFT行变换行变换列变换

18、列变换变换结果变换结果以列为对象以列为对象(,)(,)(,)yyxxFF u vFf xFf x yyF5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 可分离性行变换行变换列变换列变换以行为对象以行为对象(,)(,)(,)yyxxFF u vFf xFf x yyF5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 可分离性5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 平移性质时移00200(,)(,)euxvyjMNf xxyyF u v2()()ejutMf xtF u它表明若在时域时域f(x)在平移时间t，则其频谱函数的振幅振幅并不改变，但其相位将改变ut。f xf

19、 xf xM注：为周期函数，即tMM5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 平移性质时移00200(,)(,)euxvyjMNf xxyyF u v2()()ejutMf xtF u 210221102211221102102210()e()MjuxMxMMtjuxju y tMMxy tMMtju y tju y tMMy ty MMtju y tju y tMMy tyMju x tMxMjuxjMxF uf xFuf xt efy efy efy efy efy ef x ef xfeeyMf y utM 证明证明5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 平

20、移性质时移5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 平移性质频移00200(,)e(,)u xv yjMNf x yF uu vv 020()ju xMf x eF uu时和2200NvMu(,)(1)(,)22x yMNf x yF uv 0021022211000eMjuxMxMMju xjuxju uxMMMxxF uf xG uf x eef x eF uu 证明：证明：(a)原图像原图像(b)无平移的傅无平移的傅立叶频谱立叶频谱(c)平移后的傅平移后的傅立叶频谱立叶频谱频谱频谱平移示意图平移示意图5.2.3 离散离散傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n 平移性质频移频频移

21、性移性5.3 频域变换的一般表达式频域变换的一般表达式n 傅立叶变换是可分离变换分离变换的一个特例，这类变换具有一些共同特点。可分离变换可分离变换图像变换的矩阵形式图像变换的矩阵形式5.3.1 可分离变换可分离变换n 二二维傅立叶变换可用维傅立叶变换可用通用通用关系式关系式表示表示 g(x,y,u,v),h(x,y,u,v)称为变换核，如果满足：如果g1和和g2,h1和和h2在形式上形式上一样，则称该变换是对称对称的。1100(,)(,)(,)MNxyg x y u vF u vf x y1100(,)(,)(,)MNuvh x y u vf x yF u v12(,),g xg x y u

22、vgyuv12(,),h xh x y u vhyuv5.3.1 可分离变换可分离变换n 二二维傅立叶维傅立叶变换是变换是可分离变换可分离变换，它的核函数是，它的核函数是对称的对称的。二维傅立叶变换可以利用变换核的可分离性利用变换核的可分离性，用两次一维两次一维变换来变换来实现实现。2()22(,)uxvuxjvyNMjyjNMg x yeeeu v()222111(,)uxvuxjvyyjMjNNMh x y u veMNMeeN5.3.2 图像图像变换的矩阵表示变换的矩阵表示n 设f(x,y)为MN的图像灰度矩阵图像灰度矩阵，将可分离变换写成矩阵矩阵的形式的形式：QfPF 11FQPf式中

23、：F、f 二维MN的矩阵；PMM矩阵；QNN矩阵。n 图像变换的矩阵表达式和代数表达式矩阵表达式和代数表达式其本质相同，将上式写成代数表达式代数表达式如下：1010),(),(),(),(MxNyvxQyxfuxPvuF式中：u取0,1,2,M1；v取0,1,2,N1。Q:对对f每一行的变换，每一行的变换，P：对：对f每列的变换每列的变换5.4 离散余弦变换离散余弦变换（DCT）n 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform）的变换核为余弦函数余弦函数，因其变换核为实数实数。n DCT的变换阵的基向量能基向量能很好地描述人类语音信号、图像信号语音信号、图像信号的相关特征相

24、关特征。n 近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准中，均把DCT作为其中的一个基本处一个基本处理模块理模块。5.4.1 一维离散余弦变换一维离散余弦变换n 一维DCT的变换核定义为：式中：x,u取0,1,2,N1，且设f(x)|x=0,1,N-1为离散的信号列，则一维一维DCT定义定义如下：式中：u,x取0,1,2,N12(21)()c(,o)s2xg xuC uuNN2(1)01uothersC u10(21)cos2()()()2NxxF uC uf xuNN5.4.1 一维离散余弦变换一维离散余弦变换n 将DCT写成矩阵形式矩阵形式：GfF 其中：)2)12()1cos()23)1(co

25、s()2)1(cos(2)22)12(cos()26cos()22cos(2)2)12(cos()23cos()2cos(21111NNNNNNNNNNNNNNNNNNNGn 一维DCT的逆变换逆变换IDCT定义为定义为：式中：x,u取0,1,2,N110(21)cos2()()()2NxxF uC uf xuNN10(21)cos2()()()2Nuxf xCuNu F uN5.4.2 二二维离散余弦变换维离散余弦变换n 将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为：NvyMuxvCuCMNvuyxg2)12(cos2)12(cos)()(2),(n f(x,y)为MN的二维离散信号，其

26、二维DCT定义如下：10102)12(cos2)12(cos)()(),(2),(MxNyNvyMuxvCuCyxfMNvuFn 二维DCT逆变换定义如下：10102)12(cos2)12(cos),()()(2),(MuNvNvyMuxvuFvCuCMNyxf5.4.2 二二维离散余弦变换维离散余弦变换n DCT频谱举例DFTDFT和和DCTDCT的频谱的频谱分布分布比较比较(a)DFT频谱分布频谱分布(b)DCT频谱分布频谱分布5.5 频域频域中图像处理的实现中图像处理的实现n 理解数字图像的频谱图n 频域图像处理步骤n 频域滤波5.5.1 理解理解数字图像的频谱图数字图像的频谱图n 数字

27、图像平移后的频谱中，图像的能量将集中到频谱中心（低频成分），图像上的边缘、线条细节信息（高频成分）将分散在图像频谱的边缘。n 频谱中低频成分代表了图像的概貌，高频成分代表了图像中的细节。ft低频部分：变化缓慢高频部分：变化快5.5.2 频域频域图像处理步骤图像处理步骤n 在频域中进行图像处理频域中进行图像处理的步骤如下：（1）计算图像的DFT，得到，得到F(u,v)；（2）用滤波函数H(u,v)乘以乘以F(u,v)，得到处理结果G(u,v)；（3）计算滤波后的IDFT；（4）取IDFT变换结果中的实部实部，得到处理后的图像处理后的图像。H(u,v)称作滤波器滤波器，它具有允许某些频率成分允许某

28、些频率成分通过，而阻止其它频率成分通过频率成分通过的特性。),(),(),(vuHvuFvuG),(),(1vuGyxg滤波后的图像可以由IDFTIDFT得到：通过H(u,v)对图像在频域频域F(F(u,vu,v)进行处理进行处理：5.5.2 频域频域图像处理步骤图像处理步骤n 频域处理的基本步骤流程图为：f(x,y)预处理DFT滤波F(u,v)*H(u,v)IDFT后处理g(x,y)5.5.3 频域频域滤波滤波n 低通滤波器低通滤波器。低通滤波器允许低频成分通过允许低频成分通过，而抑制高频成分。因此，它能够去除图像中的噪声，实现图像平滑操作。00),(0),(1),(DvuDDvuDvuH5

29、.5.3 频域频域滤波滤波n 低通滤波器举例(c)D0=10(d)D0=30(e)D0=60(f)D0=160(a)原图像 (b)频谱图像5.5.3 频域频域滤波滤波n 高通滤波器 与低通滤波器相反，高通滤波器则允许高频成分通过，而抑制低频成分。因此，它能够强化图像中目标的边缘，起锐化作用。00),(1),(0),(DvuDDvuDvuH5.5.3 频域频域滤波滤波n 带通滤波器带通滤波器 带通滤波器允许指定范围的频率成分指定范围的频率成分通过，而抑制其它频率成分抑制其它频率成分。理想带通滤波器的滤波函数为：其它0),(1),(21DvuDDvuH5.5.3 频域频域滤波滤波n 带阻滤波器 带

30、阻滤波器抑制抑制指定范围的频率成分指定范围的频率成分，而允许其它频率成分通过。理想带阻滤波器的滤波函数为：其它1),(0),(21DvuDDvuH5.5.3 频域频域滤波滤波n 巴特沃斯滤波器 由于理想滤波器存在明显的“振铃振铃”现象，且其垂直的频率响应特性仅能用软件方法实现，无法用电路实现。因此，研究实用滤波器极具应用价值实用滤波器极具应用价值。一种常用的频域滤波器是巴特频域滤波器是巴特沃斯（沃斯（Butterworth）滤波器）滤波器。nDvuDvuH20),(11),(nvuDDvuH20),(11),(低通巴特沃斯滤波器低通巴特沃斯滤波器高高通巴特沃斯滤波器通巴特沃斯滤波器22),(v

31、uvuD式中式中:5.5.3 频域频域滤波滤波n 巴特沃斯滤波器举例 (a)原始图像 (b)D0=60，n=1的滤波器 (c)低通巴特沃斯滤波效果巴特沃斯滤波器及处理效果5.6 小波变换小波变换简介简介n 傅里叶变换能够得到信号的频率组成信号的频率组成，但不知道频率发生的时间频率发生的时间。如上图所示，两个不同的信号，他们的傅里变换是类似的傅里变换是类似的，主主频成分也近似一致频成分也近似一致。5.6 小波变换小波变换简介简介n 对于非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其

32、幅值这也就是时频分析时频分析。来自：http:/ 小波变换小波变换简介简介n 小波分析的主要优点之一就是提供局部分析与细化局部分析与细化的能力。n 小波分析在时域和频域都具有良好的局部化时域和频域都具有良好的局部化特性特性，这称为小波变换的“数学显微镜”特征。n 与传统的信号分析技术相比，小波分析能在无明显损失无明显损失的情况下，对信号进行压缩和去噪压缩和去噪。5.6.1 小波变换的理论基础小波变换的理论基础n 与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得平移母小波来获得信号的时间信

33、息信号的时间信息。n 对母小波母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。反映了小波和局部信号之间的相关程度。5.6.1 小波变换的理论基础小波变换的理论基础n 连续小波变换 与傅立叶分析相似，小波分析就是把一个信号分解为将母小波母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此，小波是小波变换的基函数小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。将将无限长的三角函数无限长的三角函数基换成了有限长的会基换成了有限长的会衰减的小波基。衰减的小波基。来自：http:/

34、uf x edx()(,)tdtaC af t5.6.1 小波变换的理论基础小波变换的理论基础n 连续小波变换dtattfaC)()(),(小波的缩放操作f(t)=(t)；a=1f(t)=(4t)；a=0.25 f(t)=(2t)；a=0.5 固定固定 ,改变改变a5.6.1 小波变换的理论基础小波变换的理论基础n 连续小波变换dtattfaC)()(),(小小波波的的平移平移固定固定a,改变改变5.6.1 小波变换的理论基础小波变换的理论基础n 小波时频分析举例来自：http:/ 小波变换小波变换n 总结来自：http:/ 小波变换提供了局部分析与细化能力了局部分析与细化能力。小波分析在时域和时域和频域频域都具有良好的局部化特性局部化特性。对于高频采取逐渐精细的时域或空域步长时域或空域步长，从而可以聚焦分析对象的任意细节，这称为小波变换的“数学显微镜数学显微镜”特征。小波：小波：wavelet