理科数学-2024届高考考前最后一卷(全国甲卷)(全解全析及评分标准).pdf
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1、理科数学 全解全析及评分标准 第 1 页(共 11 页)2024 届高考考前最后一卷(全国甲卷)理科数学全解全析及评分标准 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B D B D A D A B D A C 1C【解析】由301xx,得13x.又xZ,所以0123A,由2log(2)2x,得2x,所以|2Bxx,所以|2UBx x,所以012UAB,故选 C 2B【解析】因为(i)(i 3)1z,所以21i 3i 3i 3i 3ii 3(i 3)(i 3)i919
2、10z ,所以i 3311ii101010z ,所以311i1010z ,所以z在复平面内对应的点为3 11(,)10 10,位于第二象限故选 B 3D【解析】由题意,知3244aa a.由3a,10,62a成等差数列,得63202aa,所以632a,所以 等比数列na的公比6332aqa,所以3121aaq,438aa q,47364aa q,所以14773aaa.故选 D 4B【解析】由题意,得甲的射箭成绩的中位数为606361.52,故 A 正确;乙的射箭成绩的平均数74757681 8286796x乙,故 B 错误;甲的射箭成绩的平均数515660636565606x甲,所以甲的射箭成
3、绩的方差为 2222222(5160)(5660)(6060)(6360)(6560)(6560)266s甲,故 C 正确;乙的射箭成绩的方差为 2222222(7479)(7579)(7679)(8179)(8279)(8679)5663s乙,所以乙的射箭成绩的标准差为1683,故 D 正确故选 B 5D【解析】由三视图,知该几何体是一个大长方体挖去一个小长方体而得到的,大长方体的底面是边长为4的正方形,高为5,小长方体的底面是长为3,宽为2的矩形,高为5,如图,所以该几何体的表面积为44 5244223100 故选 D 理科数学 全解全析及评分标准 第 2 页(共 11 页)6A【解析】因
4、为6(3)x的展开式中kx的系数为666C(3)kk,0,1,6k,所以62()()3xx的展开式中3x的系数为443366C(3)2C(3)135 故选 A 7D【解析】因为332cos()cos()cos()sin()882883,所以233341cos(2)cos2()2cos()12148899 故选 D 8A【解析】因为抛物线2(0)ymx m旋转后对应的准线方程为32 333yx,且点(0,0)到直线 32 333yx的距离为 1由21xym,知114m,解得14m 故选 A 9B【解析】二次函数2yxx图象的对称轴是直线2x,当2x 时,2yxx单调递减,2exxy也单调递减,当
5、2x 时,2yxx单调递增,2exxy也单调递增.因为2ennna中的自变量n为正整数,所以由*10,nnaa N,得1921222,所以2119,所以“21”是“*10,nnaa N”的必要不充分条件故选 B 10 D【解析】由题意,知双曲线C的左焦点1(,0)Fc(c为半焦距)到渐近线byxa的距离为b,|OPa,所以四边形1OPFQ的面积1Sab将xc代入双曲线C的方程,得2bya,即22|bABa,所以222122bb cScaa 由12SS,知22a bb c,即2abc,所以422ab c 又222bca,所以4422aca c,两边同时除以4a,并整理,得4210ee,解得251
6、2e,所以5+12e(负值舍去)故选 D 11A【解析】2223332ee lne3b,构造函数()lnf xxx,则()1lnfxx,当10ex时,()0fx,当1ex 时,()0fx,所以函数()f x在1(0,)e上单调递减,在1(,)e上单调递增 理科数学 全解全析及评分标准 第 3 页(共 11 页)又23233327(),(e),1()4e228afbf,所以2313ee2,所以ab 因为232e5bc,231255e()82,所以232e15,所以bc综上,abc故选 A 12C【解析】因为D为BC的中点,SDBC,所以SBSC,即SBC为等腰三角形 又2ABBCSC,3CAB,
7、所以SBC,ABC均是边长为 2 的等边三角形,所以ADBC.又SDADD,,SD AD 平面SAD,所以BC 平面SAD.又BC 平面ABC,所以平面ABC 平面SAD,所以交线AD就是AS在平面ABC内的射影,所以SAD就是SA与平面ABC所成的角,即4SAD 又3ADSD,所以4DSASAD,所以ADSD.又SDBCD,,SD BC 平面SBC,所以AD 平面SBC 设三棱锥SABC外接球的球心为O,SBC外接圆的圆心为1O,ABC外接圆的圆心为2O,连接12,OO OO OD OB,则12,OOSBC OOABC平面平面 因为SBC,ABC均是边长为 2 的等边三角形,所以221236
8、5,333OOOOODOBODBD,所以三棱锥SABC外接球的半径5,3R 所以三棱锥SABC外接球的表面积2204.3SR故选 C 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。1316【解析】因为|3|3ab,所以2|3|9ab,所以22699aa bb,即16a b.又|cos,a baba b,|1ab,所以1cos,6 a b.故填16 142【解析】作出不等式组204580220 xyxyxy表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界),理科数学 全解全析及评分标准 第 4 页(共 11 页)作出直线0 xy并平移,由图,知当直线yxz过点A时,z取得最大值 易知(02)
9、A,,所以max0(2)2z 故填2 15712【解析】()f x的最小正周期2=2T 因为()f x在区间(,)2上是单调的,所以122T,解得01 由2()6xkkZ,得()f x图象的对称轴方程为1()()26xkkZ.由题意,知()f x的图象在区间(,)2上没有对称轴,得1()2621(1)26kk,解得6167()612kkkZ.结合01,得的最大值为712故填712.164048【解析】在(22)(42)20fxfx中,令21tx,得(3)(3)20ftft,所以函数()f x的图象关于点(3,1)对称.333221()12121xxxg x,所以()g x的图象也关于点(3,1
10、)对称,所以函数()f x与()g x图象的交点两两关于点(3,1)对称,所以20241()101261012(2)4048iiixy 故填 4048.三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。17(12 分)【解析】(1)由3(sincossin)(cossinsin)sin2aACBcABCaC,得3sinsinsin(coscos)sin2aAcCB aCcAaC.(1 分)因为sinsin()BAC,所以sinsincoscossinBAC
11、AC,由正弦定理,得coscosbaCcA,所以3sinsinsinsin2aAcCbBaC(2 分)由正弦定理,得22232acbac,(3 分)由余弦定理的推论,得222cos2acbBac(4 分)理科数学 全解全析及评分标准 第 5 页(共 11 页)33224acac(5 分)(2)由余弦定理,得2222cosbacacB,即22342acac,(6 分)所以223422acacac,当且仅当2 2ac时等号成立,所以8ac.(7 分)又1()2BDBABC ,(8 分)所以222211()(2)44BDBABCBABA BCBC (9 分)221(2|cos)4BABABCABCB
12、C 2222113(2cos)()442cacABCaacac(10 分)131()()742432434acacac,(11 分)所以|7BD ,所以线段BD长度的最大值为7(12 分)说明:2 分处,没写sinsin()BAC,所以sinsincoscossinBACAC,扣 1 分.18(12 分)【解析】(1)设,AC BD相交于点 O,因为2ABBCCDDA,所以四边形ABCD是菱形,(1 分)所以DBAC,且 O 为BD的中点.(2 分)连接PO,因为PDPB,所以DBPO.(3 分)因为AC,PO 平面PAC,ACPOO,所以DB 平面.PAC(4 分)因为PC 平面PAC,所以
13、DBPC(5 分)(2)过点 O 作平面ABCD的垂线 Oz,以 OB,OC,Oz 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0).BCD(6 分)因为DBPO,DBAC,所以POC是二面角PBDC的平面角,所以23POC(7 分)因为PO在平面yOz内,所以由已知及平面几何的性质,得3 3 3(0,)22P,(8 分)理科数学 全解全析及评分标准 第 6 页(共 11 页)所以53 333 3(0,),(333 3(3,),22)2222PCPPDB ,.(9 分)设平面PCD的法向量为(,)x y zn,则00PCPD
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