229.20初中数学折叠问题.doc

1、 初中数学中的折叠问题初中数学中的折叠问题 折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实 质理解不够透彻， 导致对这类中档问题失分严重。 本文试图通过对在初中数学中经常涉及到 的几种折叠的典型问题的剖析， 从中抽象出基本图形的基本规律， 找到解决这类问题的常规 方法。其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后 图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形， 这样

2、便于找到图形之间的数量关系和位置关系 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为 x，然后根据轴对称的性质 用含 x 的代数式表示其他线段的长度， 选择适当的直角三角形， 运用勾股定理列出方程求解 一、矩形中的折叠一、矩形中的折叠 1将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中 BC，BD 为折痕，折叠后 BG 和 BH 在同一条直 线上，CBD= 度 BC、BD 是折痕，所以有ABC = GBC，EBD = HBD 则CBD = 90 折叠前后的对应角相等 2如图所示，一张矩形纸片沿 BC 折叠，顶点 A 落

3、在点 A处，再过点 A折叠使折痕 DE BC，若 AB=4，AC=3，则ADE 的面积是 沿 BC 折叠，顶点落在点 A处，根据对称的性质得到 BC 垂直平分 AA，即 AF = 1 2 AA， 又 DEBC， 得到ABC ADE， 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求 出三角形 ADE 的面积 = 24 对称轴垂直平分对应点的连线 2 3如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，得折 痕 DG，求 AG 的长 由勾股定理可得 BD = 5，由对称的性质得ADG ADG，由 AD = AD = 3，AG = AG，则 AB = 5 3

4、 = 2， 在 RtABG 中根据勾股定理，列方程可以求出 AG 的值 根据对称的性质得到相等的对应边和对应角， 再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即 可 4把矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使得 BA 边与 BC 重合，然后再沿着 BF 折叠，使得折痕 BE也与BC边重合， 展开后如图所示， 则DFB等于 （ ） 根据对称的性质得到ABE=CBE，EBF=CBF，据 此即可求出FBC 的度数，又知道C=90，根据三角形 外角的定义即可求出DFB = 112.5 注意折叠前后角的对应关系 5如图，沿矩形 ABCD 的对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 的位置，已知 BC=8cm，A

5、B=6cm，求 折叠后重合部分的面积 点 C 与点 E 关于直线 BD 对称，1 = 2 ADBC，1 = 3 2 = 3 FB = FD 设 FD = x，则 FB = x，FA = 8 x 在 RtBAF 中，BA2 + AF2 = BF2 62 + (8 - x)2 = x2 解得 x = 25 4 所以，阴影部分的面积 SFBD = 1 2 FDAB = 1 2 25 4 6 = 75 4 cm 2 重合部分是以折痕为底边的等腰三角形 6将一张矩形纸条 ABCD 按如图所示折叠，若折叠角FEC=64，则1= 度；EFG 的形状 三角形 四边形 CDFE 与四边形 CDFE 关于直线 E

6、F 对称 2 = 3 = 64 4 = 180 - 2 64 = 52 ADBC 3 2 1 F E D C B A 5 4 1 3 2 G D F C D BC A E G A C AB D 3 1 = 4 = 52 2 = 5 又2 = 3 3 = 5 GE = GF EFG 是等腰三角形 对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便 于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰GEF 7如图，将矩形纸片 ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕 EF（如图） ； 延 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B处， （如图） ；展平，

7、得折痕 GC（如图） ；沿 GH 折叠，使点 C 落在 DH 上的点 C处， （如图） ；沿 GC折叠（如图） ；展平，得折 痕 GC，GH（如图 ） （1）求图 中BCB的大小； （2）图中的GCC是正三角形吗？请说明理由 （1）由对称的性质可知：BC=BC，然后在 RtBFC 中，求得 cosBCF= 1 2 ，利用特 殊角的三角函数值的知识即可求得BCB= 60； （2）首先根据题意得：GC 平分BCB，即可求得GCC= 60，然后由对称的性质知： GH 是线段 CC的对称轴，可得 GC= GC，即可得GCC是正三角形 理清在每一个折叠过程中的变与不变 8如图，正方形纸片 ABCD 的边

8、长为 8，将其沿 EF 折叠，则图中四个三角形的周 长之和为 四边形 BCFE 与四边形 BCFE 关于直线 EF 对称，则 这四个三角形的周长之和等于正方形 ABCD 的周长 折叠前后对应边相等 4 9如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿着折痕 EF 折叠，使 点 B 落在边 AD 的中点 G 处，求四边形 BCFE 的面积 设 AE = x，则 BE = GE = 4 - x， 在 RtAEG 中，根据勾股定理 有：AE2 + AG2 = GE2 即：x2 + 4 = (4 - x)2 解得 x = 1.5，BE = EG = 4 1.5 = 2.5 1 + 2 = 90，2 + 3

9、 = 90 1 = 3 又A = D = 90 AEG DGP AE DG = EG GP ，则 1.5 2 = 2.5 GP ，解得 GP = 10 3 PH = GH GP = 4 - 10 3 = 2 3 3 = 4，tan3 = tan1 = 3 4 tan4 = 3 4 ， FH PH = 3 4 ，FH = 3 4 PH = 3 4 2 3 = 1 2 CF = FH = 1 2 S梯形BCFE = 1 2 ( 1 2 + 5 2 )4 = 6 注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10如图，将一个边长为 1 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落

10、在边 AD 上 不与 A、D 重合MN 为折痕，折叠后 BC与 DN 交于 P (1)连接 BB，那么 BB与 MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设 BM=y，AB=x，求 y 与 x 的函数关系式； (3)猜想当 B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形 MNCB面 积最小？并验证你的猜想 (1)BB = MN 过点 N 作 NHBC 交 AB 于点 H） ，证ABB HNM (2)MB = MB = y，AM = 1 y，AB = x 在 RtABB中 BB = AB2 + AB2 = 1 + x2 因为点 B 与点 B关于 MN 对称，所以 BQ = BQ， 则 BQ = 1 2 1 +

11、 x2 由BMQBBA 得 BMBA = BQBB P C N BC AD M B Q P H C N BC AD M B 5 y = 1 2 1 + x2 1 + x2 = 1 2(1 + x 2) (3) 梯形 MNCB的面积与梯形 MNCB 的面积相等 由(1)可知，HM = AB = x， BH = BM HM = y x，则 CN = y - x 梯形 MNCB 的面积为： 1 2 (y x + y) 1 = 1 2 (2y - x) = 1 2 (2 1 2(1 + x 2) x) = 1 2 (x - 1 2 ) 2 + 3 8 当 x = 1 2 时，即 B 点落在 AD 的中

12、点时，梯形 MNCB的面积有最小值，且最小值是 3 8 二、纸片中的折叠二、纸片中的折叠 11如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则的度数等于（ ） = 1，2 = 1 = 2 2+ABE=180， 即 2+30=180， 解得=75 题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角 为 180 度的性质，注意EAB 是以折痕 AB 为底的等腰三角形 12如图，将一宽为 2cm 的纸条，沿 BC，使CAB=45，则后重合部分的面积为 作 CDAB， CEAB，1=2， 根据翻折不变性，1=BCA， 故2=BCA AB=AC 又CAB=45， 在 RtADC 中，A

13、C = 2 2 ，AB = 2 2 S 1 2 ABCD = 2 2 a 2 1 30 B EF A C D 6 在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片） 折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的 等腰三角形 ABC 13将宽 2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕 PQ 的长是 如图，作 QHPA，垂足为 H，则 QH=2cm， 由平行线的性质，得DPA=PAQ=60 由折叠的性质，得DPA =PAQ， APQ=60， 又PAQ=APQ=60， APQ 为等边三角形， 在 RtPQH 中，sinHPQ =

14、 HQ PQ 3 2 = 2 PQ ，则 PQ = 4 3 3 注意掌握折叠前后图形的对应关系 在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为 底边的等腰三角形 APQ 14如图 a 是长方形纸带，DEF=20，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c， 则图 c 中的CFE 的度数是（ ） 图c 图b 图a C D GF E A C G D F EA F D BC AE BB ADBC， DEF=EFB=20， 在图 b 中，GE = GF，GFC=180-2EFG=140， 在图 c 中CFE=GFC-EFG=120， 本题考查图形的翻折变换

15、，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴 对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变 由题意知DEF=EFB=20图 bGFC=140，图 c 中的CFE=GFC-EFG 7 15将一张长为 70 cm 的长方形纸片 ABCD，沿对称轴 EF 折叠成如图的形状，若折叠后， AB 与 CD 间的距离为 60cm，则原纸片的宽 AB 是（ ） 设 AB=xcm 右图中，AF = CE = 35，EF = x 根据轴对称图形的性质，得 AE=CF=35-x（cm） 则有 2（35-x）+x=60， x=10 16一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部

16、分表示纸条的反 面） ，为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点 P 的长度相等，则最初折叠时，求 MA 的 长 将折叠这条展开如图， 根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即 3cm， 下底等于纸条宽的 2 倍，即 6cm， 两个三角形都为等腰直角三角形， 斜边为纸条宽的 2 倍，即 6cm， 故超出点 P 的长度为（30-15）2=7.5， AM=7.5+6=13.5 G E F D A E F D B C A B C 60cm 8 三、三角形中的折叠三、三角形中的折叠 17如图，把 RtABC（C=90），使 A，B 两点重合，得到折痕 ED，再沿 BE 折叠，C 点 恰好与 D

17、点重合，则 CE：AE= 18在ABC 中，已知 AB=2a，A=30，CD 是 AB 边的中线，若将ABC 沿 CD 对折起来， 折叠后两个小ACD 与BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC 的面积的1 4 （1）当中线 CD 等于 a 时，重叠部分的面积等于 ； （2）有如下结论（不在“CD 等于 a”的限制条件下）：AC 边的长可以等于 a；折叠前 的ABC 的面积可以等于 3 2 a 2 ；折叠后，以 A、B 为端点的线段 AB 与中线 CD 平行且相 等其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”） (1)CD = 1 2 AB ACB = 90 AB

18、= 2a，BC = a，AC = 3a SABC = 1 2 ACBC = 3 2 a 2 重叠部分的面积为：1 4 3 2 a 2 = 3 8 a 2 (2)若 AC = a，如右图 AD = a，2 = 180- 30 2 = 75 BDC = 180- 75= 105 BDC = 105 3 = 105- 75= 30 1 = 3 ACBD 四边形 ABDC 是平行四边形 重叠部分CDE 的面积等于的面积的1 4 若折叠前ABC 的面积等于 3 2 a 2 过点 C 作 CHAB 于点 H，则 1 2 ABCH = 3 2 a 2 B C D A B 2 3 1 E B C D B A

19、9 CH = 3 2 a 又 tan1 = CH AH AH = 3 2a BH = 1 2a 则 tanB = CH BH ，得B = 60 CBD 是等边三角形 2 = 4 3 = 4，ADCB2 又 CB2 = BC = BD = a，CB2 = AD 四边形 ADCB2是平行四边形 则重叠部分CDE 的面积是ABC 面积的1 4 (3)如右图，由对称的性质得，3 = 4，DA = DB3 1 = 2 又3 + 4 = 1 +2 4 = 1 AB3CD 注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角 和对应边 19在ABC 中，已知A=80，C=30，现

20、把CDE 沿 DE 进行不同的折叠得C DE，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把CDE 沿 DE 折叠在四边形 ADEB 内，则求1+2 的和； （2）如图（2）把CDE 沿 DE 折叠覆盖A，则求1+2 的和； （3）如图（3）把CDE 沿 DE 斜向上折叠，探求1、2、C 的关系 （1）根据折叠前后的图象全等可知，1=180-2CDE，2=180-2CED，再根据三 角形内角和定理比可求出答案； （2）连接 DG，将ADG+AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； 3 2 4 1 E H B2 D A B C 3 4 1 2 B3 D A B C 10 （3）将2 看

21、作 180-2CED，1 看作 2CDE-180，再根据三角形内角和定理来求 解： （1）如图(1) 1+2=180- 2CDE +180- 2CED =360- 2（CDE+CED） =360-2（180- C） =2C =60； （2）如图(2) 连接 DG， 1+2=180- C-（ADG +AGD） =180-30-（180-80） =50； （3）如图(3) 2-1=180- 2CED -（2CDE - 180） =360- 2（CDE + CED） =360- 2（180- C） =2C 所以：2 - 1=2C 由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形 时常常会出现等腰三角形

22、20观察与发现： 将三角形纸片 ABC（ABAC）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD， 展开纸片 （如图） ； 在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片， 使点 A 和点 D 重合， 折痕为 EF，展平纸片后得到AEF（如图） 小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？ 请说明理由 实践与运用： (1)将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠， 使点 A 落在 BC 边上的点 F 处， 折痕为 BE （如 图） ；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点 D处，折痕为 EG（如图） ；再展 平纸片（如图） 求图中的大小 2 1 图(1) C A

23、 C B D E 1 2 图(3) CA B C D E 2 1 图(2) G C A B C D E 11 在第一次折叠中可得到EAD = FAD 在第二次折叠中可得到 EF 是 AD 的垂直平分线，则 ADEF AEF = AFE AEF 是等腰三角形 (1)由折叠可知 AEB = FEB，DEG = BEG 而BEG = 45+ 因为AEB + BEG + DEG = 180 所以 45+ 2（45+）= 180 = 22.5 由于角平分线所在的直线是角的对称轴， 所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。 要 抓住折叠前后图形之间的对应关系 (2)将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：

24、将纸片对折得折痕 EF，折痕与 AD 边交于点 E，与 BC 边交于点 F；将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠，使点 A、点 D 都 与点 F 重合，展开纸片，此时恰好有 MP=MN=PQ（如图） ，求MNF 的大小 由题意得出： NMF=AMN=MNF， MF=NF，由对称性可知， MF=PF， NF=PF， 而由题意得出：MP=MN， 又 MF=MF， MNFMPF， PMF=NMF，而PMF+NMF+MNF=180， 即 3MNF=180， MNF=60， 在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等 腰三角形 12

25、21直角三角形纸片 ABC 中，ACB=90，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使 点 A 落在直角边 BC 上，记落点为 D，设折痕与 AB、AC 边分别交于点 E、点 F 探究：如果折叠后的CDF 与BDE 均为等腰三角形，那么纸片中B 的度数是多少？写 出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形 CDF 中，C=90，且CDF 是等腰三角形， CF=CD， CFD=CDF=45， 设DAE=x，由对称性可知，AF=FD，AE=DE， FDA=1 2 CFD=22.5，DEB=2x， 分类如下： 当 DE=DB 时，B=DEB=2x， 由CDE=DEB+B，得 45+22.5+x=4x，

26、 解得：x=22.5此时B=2x=45； 见图形（1），说明：图中 AD 应平分CAB 当 BD=BE 时，则B=（180-4x）， 由CDE=DEB+B 得：45+22.5+x=2x+180-4x， 解得 x=37.5，此时B=（180-4x）=30 图形（2）说明：CAB=60，CAD=22.5 DE=BE 时，则B=180- 2x 2 由CDE=DEB+B 的，45+22.5+x=2x+180- 2x 2 此方程无解 DE=BE 不成立 综上所述B=45或 30 先确定CDF 是等腰三角形，得出CFD=CDF=45，因为不确定BDE 是以那两条边 为腰的等腰三角形，故需讨论，DE=DB，

27、BD=BE，DE=BE，然后分别利用角的关系 得出答案即可 22下列图案给出了折叠一个直角边长为 2 的等腰直角三角形纸片（图 1）的全过程：首先 对折，如图 2，折痕 CD 交 AB 于点 D；打开后，过点 D 任意折叠，使折痕 DE 交 BC 于点 E，如图 3；打开后，如图 4；再沿 AE 折叠，如图 5；打开后，折痕如图 6则折痕 DE 和 AE 长度的和的最小值是（ ） 13 过 D 点作 DFBC， 交 AC 于 F， 作 A 点关于 BC 的对称点 A， 连接 DA， 则 DA就是 DE 和 AE 的最小值 D 点是 AB 的中点， DF=1，FC=1， FA=3 DA= 1 2

28、 + 32 = 10 折痕 DE 和 AE 长度的和的最小值是 10 本题经过了三次折叠， 注意理清折叠过程中的对称关系， 求两条线段的和的最小值问题可以 参见文章 23小华将一条 1（如图 1），沿它对称轴折叠 1 次后得到（如图），再将图沿它对称轴折 叠后得到（如图 3），则图 3 中一条腰长；同上操作，若小华连续将图 1 折叠 n 次后所得到 （如图 n+1）一条腰长为多少？ 解：每次折叠后，腰长为原来的 2 2 故第 2 次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为（ 2 2 ） 2 - 1 2 则小华连续将图 1 的等腰直角三角形折叠 n 次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为 （ 2

29、2 ） n 本题是一道找规律的题目， 这类题型在中考中经常出现 对于找规律的题目首先应找出哪些 部分发生了变化，是按照什么规律变化的 14 24如图，矩形纸片 ABCD 中，AB= 6 ，BC= 10 第一次将纸片折叠，使点 B 与点 D 重合， 折痕与 BD 交于点 O1；O1D 的中点为 D1，第二次将纸片折叠使点 B 与点 D1重合，折痕与 BD 交于点 O2；设 O2D1的中点为 D2，第三次将纸片折叠使点 B 与点 D2重合，折痕与 BD 交于点 O3，按上述方法，第 n 次折叠后的折痕与 BD 交于点 On，则 BO1= ，BOn= 第一次折叠时，点 O1是 BD 的中点，则 BO

30、1 = DO1 第二次折叠时，点 O2是 BD1的中点，则 BO2 = D1O2 第三次折叠时，点 O3是 BD2的中点，则 BO3 = D2O3 因为 AB = 6 ，BC = 10 ，所以 BD = 4 第一次折叠后，有 BO1 = DO1 BO1 = 2 第二次折叠后，有 BO2 = D1O2 BO2 = BD - DD 1 2 = BD - BO 1 2 2 = 3 2 第三次折叠后，有 BO3 = D2O3 BO3 = BD 1 - D1D2 2 = BD1 - BO 2 2 2 = 9 8 即当 n = 1 时，BO1 = 2 =3 0 2 -1 = 3 1 - 1 2 12 -

31、3 当 n = 2 时，BO2 = 3 2 = 3 0 2 1 = 3 2 - 1 2 22 - 3 当 n = 3 时，BO3 = 9 8 = 3 2 2 3 = 3 3 - 1 2 32 - 3 则第 n 次折叠后，BOn = 3 n - 1 2 2n - 3 问题中涉及到的折叠从有限到无限， 要明白每一次折叠中的变与不变， 充分展示运算的详细 过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数 据与折叠次数之间的关系 15 25如图，直角三角形纸片 ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边 BC 中点，第 1 次将纸片折 叠，使点 A 与点 D 重合，折痕

32、与 AD 交于点 P1；设 P1D 的中点为 D1，第 2 次将纸片折叠， 使点 A 与点 D1重合，折痕与 AD 交于点 P2；设 P2D1的中点为 D2，第 3 次将纸片折叠，使 点 A 与点 D2重合，折痕与 AD 交于点 P3；设 Pn-1Dn-2的中点为 Dn-1，第 n 次纸片折叠， 使 A 与点 Dn-1重合，折痕与 AD 交于点 Pn（n2） ，则 AP6长（ ） AD = 5 2 第一次折叠后，AP1 = P1D，P1D1 = D1D AP1 = AD 2 = 5 4 第二次折叠后，AP2 = P2D1，P2D2 = D2D1 AP2 = AD1 2 = AD - DD1 2

33、 = AD - AP1 2 2 = 15 16 第三次折叠后，AP3 = P3D2 AP3 = AD2 2 = AD 1- D1D2 2 = AD1 - AP2 2 2 = 15 8 - 15 32 2 = 45 64 即当 n = 1 时，AP1 = 5 4 = 305 22 当 n = 2 时，AP2 = 15 16 = 315 24 当 n = 3 时，AP3 = 45 64 = 325 26 则第 n 次折叠后，APn = 3n - 15 22n 故 AP6 = 355 212 此题考查了翻折变换的知识， 解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式， 从而得 出一般规律，注意培养自

34、己的归纳总结能力 26阅读理解 如图 1，ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C 的平 分线 A1B2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿BnAnC 的平分线 AnBn+1折叠，点 Bn与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC 是ABC 的好角 16 小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶 角BAC 的平分线 AB1折叠，点 B 与点 C 重合； 情形二：如图 3， 沿BAC 的平分线 AB1折叠， 剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点 B1与点 C 重

35、合 探究发现 （1）ABC 中，B=2C，经过两次，BAC 是不是ABC 的好角？ （填“是”或“不是”） （2）小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角，请探究B 与C（不妨设BC） 之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠BAC 是ABC 的好角，则B 与C （不妨设BC）之间的等量关系为 B = nC 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15、60、105，发现 60和 105的两个 角都是此三角形的好角 请你完成，如果一个三角形的最小角是 4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形 的三个角均是此三角形的好角 设另外两个角是 4x，4y，则 4x + 4

36、y + 4 = 180 4x = 4ya(a 是正整数) 所以 y = 44 a + 1 因为 x，y，a，都是正整数，则 a 的值应为：1、3、10、21、43 当 a = 1 时，x = y = 22，4x = 4y = 88 当 a = 3 时，y = 11，x =33，4x =132 4y = 44 当 a = 10 时，y = 4，x =40，4x =160 4y = 16 当 a = 21 时，y = 2，x =42，4x =168 4y = 8 当 a = 43 时，y = 1，x =43，4x =172 4y = 4 图1 B3Bn+1 Bn A2 B2 A1 B1 A B C

37、 An 图2 BCD A 图3 B2 A1 B1 A BC 17 注意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用， 理解 三角形中如果有一个角是好角之后， 另两个角之间的关系， 通过这样的问题培养归纳总结能 力 27我们知道：任意的三角形纸片可通过如图所示的方法折叠得到一个矩形 （1）实践：将图中的正方形纸片通过适当的方法折叠成一个矩形（在图中画图说明） （2）探究：任意的四边形纸片是否都能通过适当的方法折叠成一个矩形？若能，直接在图 中画图说明；若不能，则四边形至少应具备什么条件才行？并画图说明 （要求：画图应 体现折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形

38、中既无缝隙又无重叠部分） 解： （1）折叠方法如图所示 （2）不能 四边形至少应具备的条件是： “对角线互相垂直 ” 折叠方法如图所示 折叠即对称 28如图，双曲线 y = 6 x （x0）经过四边形 OABC 的顶点 A、C，ABC=90，OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角，ABx 轴，将ABC 沿 AC 翻折后得到ABC，B点落在 OA 上，则四 边形 OABC 的面积是多少？ 设 C(m，6 m ) 根据对称的性质有：CD = CB = CB 所以 B(m，12 m )，A( m 2 ， 12 m )，D(m，0) AB = m 2 ，BD = 12 m ，CD = 6 m ，OD

39、 = m 则四边形 OABC 的面积为： x y B A B D O C 18 1 2 (AB + OD)BD - 1 2 ODCD = 1 2 ( m 2 + m) 12 m - 1 2 m 6 m = 6 明白折叠中的对应边就行 29已知一个直角三角形纸片 OAB，其中AOB=90，OA=2，OB=4如图，将该纸片放 置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D （1）若折叠后使点 B 与点 A 重合，求点 C 的坐标； （2）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B，设 OB=x，OC=y，试写出 y 关于 x 的函数 解析式，并确定 y 的取值

40、范围； （3）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B，且使 BDOB，求此时点 C 的坐标 (1)AB = 4 + 16 = 2 5 BCDBAD，BCBO = BDBA BC4 = 5 2 5 ，BC = 5 2 OC = OB BC = 4 - 5 2 = 3 2 ，则 C(0， 3 2 ) (2)如右图，BC= BC BC = BC = OB OC = 4 y 在 RtOBC 中 根据勾股定理有：y 2 + x2 = (4 - y)2 所以 y = - 1 8 x 2 + 2 当 0 x 2 时，抛物线的值随 x 的增大而减小 当 x = 0 时，y = 2 当 x = 2 时，y

41、= 3 2 3 2 y 2 (3)如右图 由 DBOB 得，2 = 3 由对称性质得，1 = 2 2 = 3，则 C BBA O BCOAB OC = 2OB 设 O B = m，则 OC = 2m x y C D A B O x y C D A B OB x y 1 2 3 D C A B OB 19 所以 2m = - 1 8 m 2 + 2 解得 m = -8 4 5 ，m 0， m = -8 + 4 5 则点 C 的坐标为（0，8 5 - 16） 折痕是对应点连线的垂直平分线 四、圆中的折叠四、圆中的折叠 30如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 的直径为 AD，将正方形的 BC

42、边沿 EC 折叠，点 B 落在圆上的 F 点，求 BE 的长 连接 OC、OF，则OCFOCD(SSS)，OFC = ODC = 90， 所以OFE = 180，即点 O、F、E 在一条直线上 设 BE = x，则 EF = x，AE = 2 x，OE = 1 + x 在 RtAEO 中，AE 2 + AO2 = OE2 所以 (2 - x) 2 + 1 = (1 + x)2 解得：x = 2 3 用对称关系构造勾股定理， 再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法 31如图，将半径为 8 的O 沿 AB 折叠，弧 AB 恰好经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D， 则折痕

43、AB 长为（ ） 解：延长 CO 交 AB 于 E 点，连接 OB， CEAB， E 为 AB 的中点， D C B O A E D C B O A 20 由题意可得 CD=4，OD=4，OB=8， DE = 1 2 (82 - 4) = 6 OE=6-4=2， 在 RtOEB 中，根据勾股定理可得：AB = 4 15 注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解 32如图，将弧 BC 沿弦 BC 折叠交直径 AB 于点 D，若 AD=5，DB=7，则 BC 的长是多少？ 连接 CA、CD； 根据对称的性质，得：弧 CB = 弧 BDC CAB=CBD+BCD； CDA=CBD+BCD， CA

44、D=CDA，即CAD 是等腰三角形； 过 C 作 CEAB 于 E，则 AE=DE=2.5； BE=BD+DE=9.5； 在 RtACB 中，CEAB，ABCCBE，得： BC2=BEAB=9.512=114； 故 BC= 114 此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定 理来判断出CAD 是等腰三角形，是解答此题的关键 33已知如图：O 的半径为 8cm，把弧 AmB 沿 AB 折叠使弧 AmB 经过圆心 O，再把弧 AOB 沿 CD 折叠，使弧 COD 经过 AB 的中点 E，则折线 CD 的长为（ 4 7 ） 作 CD 关于 CD的对称线段 CD，连接 OE 并延长交 CD 于点 F，交 CD于点 F，交 弧 AmB 于点 G，根据对称的性质得出 OF=6，再由勾股定理得出 CF = 2 7