2024年全国高中数学联赛初赛试题+答案[北京、广西、吉林、内蒙、四川、浙江、重庆].pdf

1、2024年重庆市高中数学联赛初赛试题22024年浙江省高中数学联赛初赛试题32024年四川省高中数学联赛初赛试题42024年吉林省高中数学联赛初赛试题52024年广西省高中数学联赛初赛试题72024年内蒙古高中数学联赛初赛试题92024年北京市高中数学联赛初赛一试102024年北京市高中数学联赛初赛二试112024年重庆市高中数学联赛初赛试题一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共8小题小题，每小题每小题8分分，满分满分64分分.1.已知复数z使得z-4z为纯虚数，则 z-1-i的最小值为.（其中i为虚数单位）2.设函数 f x=2x-2-x的反函数为 y=f-1x，则不等式 f-1x-1-2

2、.10.20分已知抛物线：y=x2，动线段 AB在直线 y=3x-3上(B在 A右侧)，且 AB=2 3.过 A作的切线，取左边的切点为M.过B作的切线，取右边的切点为N.当MN AB时，求点 A的横坐标.11.20分设x1=3，xn+1=xn+14-xn+2 nN*，求 x1+x2+xn的值.(其中x表示不超过实数x的最大整数.)2024年浙江省高中数学联赛初赛试题一、填空题一、填空题(每小题每小题8分分，共计共计96分分)1.设集合 A=x x-12x-10 ，集合B=xx2+2x+m0.若 AB，则实数m的取值范围为.2.设函数 f：1,2,32,3,4满足 ff x-1=f x，则这样

3、的函数有个.3.函数 y=sin2x+sinx+1sin2x+1的最大值与最小值之积为.4.已知数列 xn满足：x1=22，xn+1=xnn n+1x2n+n n+1，n1，则通项xn=.5.已知四面体 A-BCD的外接球半径为1，若BC=1，BDC=60，球心到平面BDC的距离为.6.已知复数z满足z24=z-1510=1，则复数z=.7.已知平面上单位向量a，b垂直，c为任意单位向量，且存在t 0,1，使得向量a+1-tb与向量 c-a垂直，则 a+b-c的最小值为.8.若对所有大于2024的正整数n，成立n2024=2024i=0aiCin，aiN，则a1+a2024=.9.设实数a，b

4、，c(0,2，且b3a或a+b43，则maxb-a,c-b,4-2c的最小值为.10.在平面直角坐标系 xOy 上，椭圆 E 的方程为x212+y24=1，F1为 E 的左焦点；圆 C 的方程为 x-a2+y-b2=r2，A 为 C 的圆心.直线 l 与椭圆 E 和圆 C 相切于同一点 P 3,1.当 OAF1最大时，实数 r=.11.设n为正整数，且nk=0-1kCknk3+9k2+26k+24=1312，则n=.12.设整数n4，从编号1，2，n的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号.若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为.二、解答题二、解答题(13题满分

5、题满分14分分，14、15题满分各题满分各20分分，合计合计54)13.正实数k1，k2，k3满足k1k2k3；实数c1，c2满足c1=k2-k1，c2-c1=2 k3-k2,定义函数f x=k1x,0 x1k2x-c1,12g x=k1x,0 x1k2x-c112,12试问，当k1，k2，k3满足什么条件时，存在 A0使得定义在0,A上的函数 g x+f A-x恰在两点处达到最小值？14.设集合S=1,2,3,997,998，集合S的k个499元子集 A1，A2，Ak满足：对S中任一二元子集B，均存在i1,2,k，使得B Ai.求k的最小值.15.设 f x，g x均为整系数多项式，且deg

6、f xdegg x.若对无穷多个素数 p，pf x+g x存在有理根，证明：f x必存在有理根.2024年四川省高中数学联赛初赛试题(考试时间：2024年5月19日9:0011:00)一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共8小题小题，每小题每小题8分分，满分满分64分分.1.设函数 f x=ln x+x-2的零点都在区间a,b a,bZ,ab1，若logab+logba=52，则ba+4的最大值为.3.设aR，若函数 f x=ax-ax-2lnx在其定义域内为单调递增函数，则实数a的最小值为.4.用 f X,表示点 X与曲线上任意一点距离的最小值.已知O:x2+y2=1及O1：x-42+y2

7、=4，设P为O上的动点，则 f P,O1的最大值为.5.设ABC中，AC=2，ABC=2BAC，则ABC面积的最大值为.6.将边长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1绕着其中心旋转45得到一个十面体 ABCD-EFGH(如图)，则该十面体的体积为.7.若T=100k=1299+k3101-k，则T的末尾数字0的个数为.8.记I=1,4,5,6，U=1,2,3,25，集合U的子集 A=a1,a2,a3,a4,a5，满足 ai-ajI 1ij5，则符合条件的集合 A的个数为.(用具体数字作答)二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共3小题小题，满分满分56分分.解答应

8、写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(16分)已知t为正实数，若曲线 y=tex与椭圆C：x22+y2=1交于 A、B两个不同的点，求证：直线 AB的斜率k0，且a1)，若 f x1对x1,2成立，则实数a的取值范围.9.已知甲、乙、丙、丁四位同学对某10道判断题的解答情况如下表：题号12345678910甲乙丙丁若甲、乙、丙三人均答对7题，则丁答对的题数为.10.已知函数 f x=lnx-1x2+2ax-ax.若m0，使得 f ma2，则实数a的最大值为11.设函数 f x=sinxsin3x，若关于 x的方程 f x=a在(0,上有奇数个不同的实数解

9、，则实数a的值为.12.在 ABC 中，AP 平分 BAC，AP 交 BC 于 P，BQ 平分 ABC，BQ 交 CA 于 Q，BAC=30，且 AB+BP=AQ+QB，则ABC的度数为.三、解答：本大题共三、解答：本大题共4小题小题，每小题每小题 x分分，满分满分 x分分.13.已知椭圆C1的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上.圆C2的圆心为坐标原点O，过点 A-2,0且倾斜角为30的直线与圆C2相切.(1)求圆C2的方程；(2)过圆C2上任意一点P x0,y0 x0y00作圆C2的切线，与椭圆C1交于 A，B两点，均有AOB=90成立.判断椭圆C1是否过定点？说明理由.14.已知数列 an满

10、足：a1=1，a2=2，an+1=1an+an-1n2.求证：2024k=11ak88.15.如图，O1、O2外切于点 A，过点 A 的直线交 O1于另一点 B，交 O2于另一点 C，CD 切 O1于点D，在BD的延长线上取一点F，使得BF2=BC2-CD2，连接CF交O2于E，求证：DE与O2相切.16.全体正有理数的集合Q+被分拆为三个集合 A，B，C(即 A BC=Q+，且 A B=BC=C A=，满足B*A=B，B*B=C，B*C=A，这里H*K=hkhH,kK.(1)给出一个满足要求的例子(即给出 A，B，C)；(2)给出一个满足要求的例子，且1，2，35中的任意两个相邻正整数均不同

11、时在 A中.2024年广西省高中数学联赛初赛试题一、填空题一、填空题(本大题共本大题共8小题小题，每小题每小题10分分，共共80分分).1.设函数 f x=log2x.若ab0的焦点为F1，F2，M为椭圆上一点，F1MF2=3，OM=153b.则椭圆的离心率为.3.若正实数x，y满足x-2y=2x-y，则x的最大值为.4.方程3x=x37的正整数解为.5.设x1，x2，x3，x4均是正整数，且 xixjxk1ijk4 =18,36,54.则x1+x2+x3+x4=.6.正三棱雉 P-ABC 中，AP=3，AB=4.设 D 是直线 BC 上一点，面 APD 与直线 BC 的夹角为 45，则线段P

12、D的长度是.7.已知四次多项式x4-25x3+ax2+61x-2024的四个根中有两个根的乘积是-253，则实数a=.8.设数列 xn满足x1=2001，xn+1=xn+yn，其中 yn等于xn的个位数，则x2024=.二、解答题二、解答题(本大题共本大题共4小题小题，共共70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9.(15分)如图所示，AD=CD，DP=EP，BE=CE，DP AD BE，ADC=DPE=BEC=90.证明：P为线段 AB的中点.10.(15分)设 A为数集1,2,3,2024的n元子集，且 A中的任意两个数既不互素又不存在整除

13、关系.求n的最大值.11.(20分)用x表示不超过x的最大整数.设数列 xn满足：x1=1，xn+1=4xn+11xn.求x2024的个位数.12.(20 分)图 G 是指一个有序二元组 V,E，其中 V 称为顶点集，E 称为边集.一个图 G 中的两点 x，y 的距离是指从 x到 y的最短路径的边数，记作d x,y.一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值，记作diam G，即diam G=max d x,yx,yG.记Zn=0，1，2，n-1是模n的剩余类，定义Zn上的加法和乘法，均是模n的加法和乘法，例如在Z12=0，1，2，11中：3+4=7，6+9=3；34=0，69=6.在Zn中

14、，设x0.若存在y0使得xy=0，则称x是Zn的一个零因子.记Zn的所有零因子的集合为 D Zn.例如 D Z12=2，3，4，6，8，9，10.Zn的零因子图，记为 Zn，它是以D Zn为顶点集，两个不同的顶点x，y之间有一条边相连当且仅当xy=0.下图是 Z12的例子.证明：对一切的整数n2，都有diam Zn3.2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题(2024年5月19日，8:30-9:50)一、填空题一、填空题(本题满分本题满分64分分，每小题每小题8分分)1.集合M=1,2,3,5,6的全部非空子集的元素和等于.2.设a，b，c是实数，满足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，a0，b

15、ca3的取值范围为.3.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，过点 A的一个平面截此棱柱，与侧棱 BB1，CC1分别交于点M，N，若MNA为直角三角形，则MNA面积的最大值为.4.已知在ABC中BC=3，A=3，BD=14BC，则线段 AD的最大值为.5.从1，2，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为.6.O是原点，椭圆x24+y25=1，直线l过 1,0且与椭圆交于 A，B两点，则ABO面积的最大值为.7.数列 an中，a1=110，且对任意nN*，an+1=a2n+an，求2024n=11an+1的整数部分是.8.已知关于 x 的方程 x3-3

16、x+4=0 的三个复数根分别为 z1，z2，z3，则 z1-z22z2-z32z3-z12的值为.二、解答题二、解答题(本题满分本题满分56分分)9.(16分)已知双曲线C：x24-y23=1，直线l：y=kx+1与双曲线C的左右支分别相交于 A，B两点，双曲线C在 A，B两点处的切线相交于点P，求ABP面积的最小值.10.(20分)已知函数 f x=ex-1-xax2-2x+1.(1)当a=0时，讨论 f x在-4,12上的极值.(2)若x=0是 f x的极小值点，求a的取值范围.11.(20 分)设 n 是一个给定的正整数，集合 Sn=i,j1i,j2n,i,jN*，求最大的正数 c=c

17、n，使得对任意正整数 d1，d2，都存在集合 Sn的子集 P，满足集合 P至少有cn2个元素，且集合 P的任两个元素 i,j，k,l均有 i-k2+j-l2d1，i-k2+j-l2d2.2024年北京市高中数学联赛初赛一试考试时间：8:00-9:20一、一、填空题填空题(1-8题每题题每题8分分，第第9题题16分分，第第10，11题每题题每题20分分，共共120分分)1.设整数集合 A=a1,a2,a3,a4,a5，若 A 中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为 B=-30,-15,-10,-6,-5,-3,2,6,10,15，则集合 A=-30,-15,-10,-6,-5,-3,20,10

18、,15，则集合 A=.2.已知函数 f x=x+2,x0；ln12x+1,x0.若关于 x 的方程 ff x=m 恰有三个不相等的实数根 x1，x2，x3且满足x1x2q.则函数 f x在区间89,910上的最大值为.6.对于 c 0，若非零实数 a，b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0，且使 2a+b最大，则3a-4b+2c的最小值为.7.已知函数 f x=cos4x+sin4x+asin4x-b，且 f x+6为奇函数.若方程 f x+m=0在0,上有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则 fx1+x2+x3+x44的平方值为.8.已知 A 1,2,2625，且 A 中任意两个数的

19、差的绝对值不等于 4，也不等于 9，则 A的最大值为.9.设多项式 f x=x2024+2023i=0cixi，其中ci-1,0,1.记 N为 f x的正整数根的个数(含重根).若 f x无负整数根，N的最大值是.10.在棱长为4的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E为棱 AA1上的一点，且 A1E=1，F为截面 A1BD上的动点，则 AF+FE的最小值等于.11.数列 an定义如下：设2n!n!n+2024!写成既约分数后的分母为 A n，an等于2A n的最大质因数，则an的最大值等于.2024年北京市高中数学联赛初赛二试考试时间：9:40-12:301.(40分)设a，b，c是三个正

20、数，求证：2a2a2+b2+c2+2ba2+2b2+c2+2ca2+b2+2c23 2 a+b+c5a2+5b2+5c2+ab+bc+ca.2.(40 分)如图所示，锐角 ABC 的三条高线 AD，BE，CF 交于点 H，过点 F 作 FG AC 交直线 BC 于点 G，设 CFG 的外接圆为 O，O 与直线 AC 的另一个交点为 P，过 P 作 PQ DE 交直线 AD 于点 Q，连接OD，OQ.求证：OD=OQ.3.(50 分)有 n 个球队参加比赛，球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些

21、次数加在一起恰好是比赛的总场次，并且组委会还发现任意挑出若干支球队，他们能够接受的客场次数之和都要大于等于他们之间的比赛总场次.请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，请证明你的结论.4.(50分)设a1，a2，an为n个两两不同的正整数且a1a2an恰有4048个质因数.如果a1，a2，an中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求n的最大值.2024年重庆市高中数学联赛初赛试题22024年浙江省高中数学联赛初赛试题32024年四川省高中数学联赛初赛试题42024年吉林省高中数学联赛初赛试题52024年广西省高中数学联赛初赛试题72024年内蒙古高中数学联赛初赛试题92024年北

22、京市高中数学联赛初赛一试102024年北京市高中数学联赛初赛二试112024年重庆市高中数学联赛初赛试题一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共8小题小题，每小题每小题8分分，满分满分64分分.1.已知复数z使得z-4z为纯虚数，则 z-1-i的最小值为 2-2.（其中i为虚数单位）【答案】2-2【解析】z-4z为纯虚数z-4z=-z-4zz+z=4 z+zzz.当z+z=0时，z-1-imin=1；当z+z0时，则 z=2，此时 z-1-imin=2-2 1，当z=2 1+i可取等号.2.设函数 f x=2x-2-x的反函数为 y=f-1x，则不等式 f-1x-11的解集为-12,52.【答

23、案】-12,52【解析】因为 f x为R上单调递增的奇函数，且值域为 R，所以 f-1x也为R上单调递增的奇函数.注意 f 1=32，故 f-1x-11-32x-132-12x-2.【解析】先证一个引理：对 x0，有sinx0时，xx2，则x1-x22 0,2，于是由 fx1=fx2并结合引理可得x1-x2x1x2=cosx2-cosx1=2sinx1+x22sinx1-x228分2sinx1-x221.12分所以 f x1+f x2=lnx1x2-sinx1-sinx2-sinx1-sinx2-2.16分10.20分已知抛物线：y=x2，动线段 AB在直线 y=3x-3上(B在 A右侧)，且

24、 AB=2 3.过 A作的切线，取左边的切点为M.过B作的切线，取右边的切点为N.当MN AB时，求点 A的横坐标.【解析】设M x1,x21，N x2,x22，注意kMN=x22-x21x2-x1=x1+x2，从而当MN AB时，kMN=kAB=3 x1+x2=3.5分因为 y=2x，所以kAM=2x1，可得切线 AM的方程为 y-x21=2x1x-x1，即 y=2x1x-x21.同理可得切线BN的方程为 y=2x2x-x22.由题设中 A，B的要求，可设 A t,3t-3，B t+3,3t，10分将 A t,3t-3代入切线 AM的方程，得3t-3=2tx1-x21，即x21-2tx1+3

25、t-3=0，可求得x1=t-t2-3t+3，这里取较小的根是因为M为左边的切点.同理可求得 x2=t+3+t2+3t+3.15分于是x1+x2=3 t-t2-3t+3+t+3+t2+3t+3=3，整理得t 1+3t2-3t+3+t2+3t+3=0t=0.故点 A的横坐标为0.20分11.20分设x1=3，xn+1=xn+14-xn+2 nN*，求 x1+x2+xn的值.(其中x表示不超过实数x的最大整数.)【解析】设 f x=x+14-x+2=12x+14+x+2.对于x0，f x连续且单调递减.由于x12，则0 x2=f x12，0 x42，即0 x2k2.5分令g x=x+f x.由于gx

26、=1+12 x+14-12 x+20恒成立，故当x0时，g x单调递增.又由于g 2=4，故当x2时，g x4；当0 x2时，g x4k，且x1+x2k=x1+x2+x3+x4+x5+x2k-2+x2k-1+x2k=x1+g x2+g x4+g x2k-2+x2k4k+2x1+x2k+1=x1+x2+x3+x4+x5+x2k+x2k+1=x1+g x2+g x4+g x2k4k+3，故 x1+x2+x2k+1=4k+2=2n.当n=1时，x1=3.综上，当n=1时，x1=3；当n2时，x1+x2+xn=2n.20分2024年浙江省高中数学联赛初赛试题一、填空题一、填空题(每小题每小题8分分，共

27、计共计96分分)1.设集合 A=x x-12x-10 ，集合B=xx2+2x+m0.若 AB，则实数m的取值范围为 m-3.【答案】m-3【解析】集合 A=x 12k，a2，ak-1为正整数，那么 nk+1=k!nCkn+ak-1nCk-1n+a2nC2n+nC1n，以及 nCin=i+1Ci+1n+iCin得到 nk+1=k+1！Ck+1n+bkCkn+b2C2n+C1n，b2，bk为正整数.。所以a1=1，a2024=2024!.9.设实数a，b，c(0,2，且b3a或a+b43，则maxb-a,c-b,4-2c的最小值为23.【答案】23【解析】令t=maxb-a,c-b,4-2c，则t

28、b-a，tc-b，t4-2c.当b3a时，3t+2t+t3 b-a+2 c-b+4-2c=b-3a+44，即t23.当a+b43时，t+2t+t b-a+2 c-b+4-2c=4-a+b83，即t23.当a=13，b=1，c=53时b-a=c-b=4-2c=23.所以maxb-a,c-b,4-2c的最小值为23.10.在平面直角坐标系 xOy 上，椭圆 E 的方程为x212+y24=1，F1为 E 的左焦点；圆 C 的方程为 x-a2+y-b2=r2，A 为 C 的圆心.直线 l 与椭圆 E 和圆 C 相切于同一点 P 3,1.当 OAF1最大时，实数 r=4+2 2+2.【答案】4+2 2+

29、2【解析】因为P 3,1在椭圆上，所以直线l的方程为3x12+1y4=1，即 y=-x+4.由圆的性质可知，直线 AP与直线l垂直，所以圆心坐标 a,b满足b-1a-3=1，即圆心坐标轨迹方程为 x-y=2，记此直线为l.要使OAF1最大，则过定点O 0,0和定点F1-2 2,0所作的圆与直线l相切于 A.设直线l与x轴相交于点B 2,0.由切割线定理可知，BA2=BOBF1，即有a-22+b2=2 2+2 2将a-b=2代入上式解得a=2+2+2 2b=2+2 2(舍)或a=2-2+2 2b=-2+2 2 于是解得r=4+2 2+211.设n为正整数，且nk=0-1kCknk3+9k2+26

30、k+24=1312，则n=9.【答案】9【解析】nk=0-1kCknk3+9k2+26k+24=nk=0-1kCk+1n+1-Ck+1nk+2k+3k+4=nk=0-1kn+1!k+4!n-k!-n!k+4!n-k-1!=nk=0-1kn+2n+3n+4Ck+4n+4-1kn+1n+2n+3Ck+4n+3=1n+2n+3n+4n+4k=0-1kCkn+4-1+C1n+4-C2n+4+C3n+4-1n+1n+2n+3n+3k=0-1kCkn+3-1+C1n+3-C2n+3+C3n+3=1n+1n+2n+3n+4n+1-1+n+4-n+4n+32+n+4n+3n+26-n+4-1+n+3-n+3n

31、+22+n+3n+2n+16=12 n+3n+4=1312，解得：n=9.(以上用到了n+4k=0-1kCkn+4=1-1n+4=0，n+3k=0-1kCkn+3=1-1n+3=0.)12.设整数n4，从编号1，2，n的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号.若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为11n12.【答案】11n12【解析】记0为初始状态，A=含1、2、3、4之一：B=含1,3、1,4、2,3、2,4之一：X=含1,2、3,4之一；Y=含1,2,3、1,2,4、2,3,4、1,3,4之一.。记i为从i开始到达 X或Y所需要得次数，其中i为、A、Y之一.

32、。由定义X=Y=0，并得到以下递推关系E B=1-2nE B+1，E A=1-3nE A+2nE B+1，E=1-4nE+4nE A+1，解得：E B=n2，E A=2n3，E=11n12.二、解答题二、解答题(13题满分题满分14分分，14、15题满分各题满分各20分分，合计合计54)13.正实数k1，k2，k3满足k1k2k3；实数c1，c2满足c1=k2-k1，c2-c1=2 k3-k2,定义函数f x=k1x,0 x1k2x-c1,12g x=k1x,0 x1k2x-c112,12试问，当k1，k2，k3满足什么条件时，存在 A0使得定义在0,A上的函数 g x+f A-x恰在两点处达

33、到最小值？【解析】对 A的取值分类讨论.。(1)当 A1时，g x+f A-x=k1A,0 xAk1x,Ax1k2x-k2-k112,12此时，g x+f A-x最小值点有无穷多个，不合，舍去.。(2)当 1 A 2 时，g x+f A-x=k1-k2x+k2A-1+k1,0 xA-1k1A,A-1x1k2-k1x+k1A-k2-k112,1xAk2x-k2-k112,A2此时，g x+f A-x最小值点有无穷多个，不合，舍去.。(3)当2 A3时，g x+f A-x=k1-k3x+k3A-2+2k1,0 xA-2k1-k2x+k2A-1+k1,A-2x1k2A-13 k2-k112,1xA-

34、1k2-k1x+k1A-k2-k112,A-1x2k3-k1x+k1A-k3-k26,2A此时，g x+f A-x最小值点唯一或无穷多个，不合，舍去.。(4)当3 A4时，g x+f A-x=k1-k3x+k3A-2+2k1,0 x1k2-k3x+k3A-k2-k112-2 k3-k2,1xA-2k2A-13 k2-k112,A-2x2k3-k2x+k2A-k3-k26-k2+k1,2xA-1k3-k1x+k1A-k3-k26,A-1xAk3x-k3-k26,xA此时，g x+f A-x最小值点唯一或无穷多个，不合，舍去.。(以上四类7分)g x+f A-x=k1-k3x+k3A-2+2k2,

35、0 x1k2-k3x+k3A-k2-k112-2 k3-k2,1degg x.若对无穷多个素数 p，pf x+g x存在有理根，证明：f x必存在有理根.【解析】证明：记 pf x+g x的有理根为p=rpsp，rp,sp=1.由 pf p+g p=0，得到-p=g pf p，所以p有界.。(5分)若子列pi，则必有 f=0.下证可为有理数.。设 f x=anxn+a1x+a0，ana00；g x=bmxn+b1x+b0，bm0，mn，由 pf p+g p=0得到sppan,rppa0+b0.记 pa0+b0=rplp，lp为整数.。(1)若有无穷多个素数 p满足 psp，此时span，所以存

36、在无穷多个素数 pi，spi=s.(10分)(2)若有无穷多个素数 pi满足 psp，此时sppan.因此存在整数dan，所以存在无穷多个素数 p满足sp=p，为整数.。从而rpsp=pa0+b0p1lp.(1)若lp，则p0；(2)若lp有界，则p=rpspa01l.(20分)所以为有理数.。证毕.。2024年四川省高中数学联赛初赛试题(考试时间：2024年5月19日9:0011:00)一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共8小题小题，每小题每小题8分分，满分满分64分分.1.设函数 f x=ln x+x-2的零点都在区间a,b a,bZ,ab1，若logab+logba=52，则ba+4

37、的最大值为14.3.设aR，若函数 f x=ax-ax-2lnx在其定义域内为单调递增函数，则实数a的最小值为1.4.用 f X,表示点 X与曲线上任意一点距离的最小值.已知O:x2+y2=1及O1：x-42+y2=4，设P为O上的动点，则 f P,O1的最大值为3.5.设ABC中，AC=2，ABC=2BAC，则ABC面积的最大值为6 3-9.6.将边长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1绕着其中心旋转45得到一个十面体 ABCD-EFGH(如图)，则该十面体的体积为2+23.7.若T=100k=1299+k3101-k，则T的末尾数字0的个数为3.8.记I=1,

38、4,5,6，U=1,2,3,25，集合U的子集 A=a1,a2,a3,a4,a5，满足 ai-ajI 1ij5，则符合条件的集合 A的个数为717.(用具体数字作答)二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共3小题小题，满分满分56分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(16分)已知t为正实数，若曲线 y=tex与椭圆C：x22+y2=1交于 A、B两个不同的点，求证：直线 AB的斜率k22.【解析】证明：设 A x1,y1，B x2,y2，其中x10，ab，则a-blna-lnba+b2.取a=ex1，b=ex2，得ex1-ex2x1-x2ex

39、1+ex22.k=y1-y2x1-x2=t ex1-ex2x1-x22k.(1)4分将x212+y21=1和x222+y22=1相减，得x1+x2x1-x22+y1+y2y1-y2=0，x1+x2=-2k y1+y2.(2)8分再将x212+y21=1和x222+y22=1相加，得x21+x222+y21+y22=2.(3)注意到：x1x2时，由x21+x222x1x2知x21+x222x1+x224，结合(1)、(2)、(3)，知2=x21+x222+y21+y22x1+x224+y1+y222=4k2y1+y224+y1+y2224k4+2k2，12分2k4+k2-10，即 2k2-1k2

40、+10，解得k22.16分10.(20分)设复数x，y，z满足：x+2y+3z=1.求 x 2+y 2+z 2+x2+y2+z2的最小值.【解析】解：一方面，x=114，y=17，z=314时，x 2+y 2+z 2+x2+y2+z2=17；5分另一方面，下证：x2+y2+z2+x2+y2+z217.由于x，y，z旋转同一个角度，已知和结论不变.因此，不妨设 x2+y2+z2为实数.设x=x1+iy1，y=x2+iy2，z=x3+iy3，其中x1，x2，x3，y1，y2，y3R，则条件变为：x1+2x2+3x32+y1+2y2+3y32=1，且x1y1+x2y2+x3y3=0.(1)待证式变为

41、：3k=1x2k+3k=1y2k+3k=1x2k-3k=1y2k17，即2max3k=1x2k,3k=1y2k 17.因此，只需证明：max3k=1x2k,3k=1y2k 114.(2)10分(反证法)假设结论不成立，即max3k=1x2k,3k=1y2k 114，从而3k=1x2k114，3k=1y2k114，在空间直角坐标系中，设O 0,0,0，A x1,x2,x3，B y1,y2,y3，P 1,2,3，则 OA2=3k=1x2k114，OB2=3k=1y2k114，由x1y1+x2y2+x3y3=0知OAOB，记P在面OAB上的投影为P，则 OP OP=14，x1+2x2+3x32=OP

42、OA2=OP OA2=OP 2 OA2cos2142114cos2=cos2，15分这里为向量OA与OP 的夹角.类似可知，y1+2y2+3y32cos290-=sin2，x1+2x2+3x32+y1+2y2+3y320时，则akk，且ak和k同奇偶；若ak0.由归纳假设知，akk，且ak和k同奇偶，于是ak和k+1不同奇偶.由ak+1=ak+1或者ak+1=-ak，知 0ak+1-k=-k+1+1，且 ak+1和k+1不同奇偶.情形2：若ak0.由归纳假设知，ak-k+1，且ak和k不同奇偶，于是ak和k+1同奇偶.由ak+1=ak+1或者 ak+1=-ak，知 0 ak+1 2-k 1-k

43、+1，且和 k+1 不同奇偶；或者 0 ak+1 k-1 n2，此时n=2k-1，xn+1,n+1-2k=x2k,0=0=Ckn-Ck-1n成立.所以结论(1)对任意k=0，1，2，n+12成立.10分对于(2)，分情况讨论：对任意k=0，1，2，n-12，(1-1)若k=0.易知xn+1,-n=1=C0n+1-n-C-1n+1-n，此时结论(1)成立.(1-2)对任意k=1，2，n-12，注意此时k-1 0,1,2,n-22 ，xn+1,1-n+1+2k=xn,1-n+2 k-1+xn,n-2k=Ck-1n-1-Ck-2n-1+Ckn-1-Ck-1n-1=Ck-1n-1+Ckn-1-Ck-2

44、n-1+Ck-1n-1=Ckn-Ck-1n.所以结论(2)对任意k=0，1，2，n-12成立.由归纳原理知，对任意的正整数n2，结论(1)、(2)都成立.引理2得证.15分回到原题：注意到：所求的组数为Sn=n2k=0 xn,n-2k+n2-1k=0 xn,1-n+2k，S2n+1=nk=0 x2n+1,2n+1-2k+n-1k=0 x2n+1,-2n+2k=nk=0Ck2n-Ck-12n+n-1k=0Ck2n-Ck-12n=Cn2n-C-12n+Cn-12n-C-12n=Cn2n+Cn-12n=Cn2n+1，及S2n=nk=0 x2n,2n-2k+n-1k=0 x2n,1-2n+2k=nk=

45、0Ck2n-1-Ck-12n-1+n-1k=0Ck2n-1-Ck-12n-1.=Cn2n-1-C-12n-1+Cn-12n-1-C-12n-1=Cn2n-1+Cn-12n-1=Cn2n.综上可知，所求的组数为Sn=Cn2nnN*,n2.20分注：猜出答案所求的组数为Sn=Cn2nnN*,n2，可以得5分.2024年吉林省高中数学联赛初赛试题一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共6小题小题，每小题每小题 x分分，满分满分 x分分.1.记S=32+432-4+42+442-4+52+452-4+132+4132-4，则与S最接近的整数为(B)A.14B.15C.16D.17【答案】B【解析】当m

46、3时，m2+4m2-4=1+8m2-4=1+21m-2-1m+2所以S=13m=3m2+4m2-4=11+213m=31m-2-1m+2=11+211+12+13+14-112-113-114-115=15-2113+114+11515-231314.5故正确选项为B.2.在四边形 ABCD中，ABCD，AC=AB+AD,R.若+=32，则CDAB=(B)A.13B.12C.1D.2【答案】B【解析】设 AB=tCDtR又 AC=AB+AD，所以 AC=tCD+AD=tCD+AC+CD即 1-AC=t+CD又 AC、CD不共线所以1-=0t+=0，又+=32解得=1=12t=-2，从而 AB=

47、-2CD，所以CDAB=12.故正确选项为B.3.函数 f x=ax3-6x aR，若 f x2对x-1,12成立，则(C)A.f x1对x-12,12成立B.f x32对x-12,12成立C.f x18对x-32,32成立D.f x352对x-32,32成立【答案】C【解析】由f-1=-a+6-2,f-12=-a8+32.得8a8.即a只可能为8.又8x3-6x-2=8 x+122x-10对x-1,12成立，8x3-6x-2=8 x-122x+10对x-1,12成立，即 8x3-6x2对x-1,12成立所以a=8.经检验，正确选项为C.4.在正四面体 ABCD中，棱 AD的中点和面BCD的中

48、心的连线为MN，棱CD的中点和面 ABC的中心的连线为PQ，则MN与PQ所成角的余弦值为(A)A.118B.117C.116D.115【答案】A【解析】设棱长为a，如图，取ME=a3，取 BC的中点为 F，连 AF，DF，NQ，QE，可得 FN=13FD，FQ=13FA，故NQ AD，且NQ=13AD=a3，所以四边形MNQE是平行四边形，所以EQMN，在DPE中，DP=a2，DE=56a，PDE=60，由余弦定理得，EP2=1936a2，又在PQE中，PQ=EQ=MN=a2，由余弦定理得，cosPQE=-118，所以MN与PQ所成角的余弦值为118，故正确选项为 A.5.已知函数 f x=2

49、x4-18x2+12x+68+x2-x+1，则(B)A.f x的最小值为8B.f x的最小值为9C.f x=8有1个实根D.f x=9有1个实根【答案】B【解析】P x,x2是抛物线 y=x2上一点，P到直线 y=x-1的距离为 PQ=x2-x+1-12+12=22x2-x+1=22x2-x+1，P到点M-3,5的距离为 PM=x+32+x2-52，当M，P，Q共线时，PQ+PM取最小值，最小值为M-3,5到 y=x-1的距离-3-5-12=9 22.因为 y=222x2-x+1+x+32+x2-52 =2PQ+PM且 PQ+PM的最小值为9 22，所以 y的最小值为9，且在交点P-2,4或P

50、 1,1处取到(如图).故正确选项为B.6.已知 A，B，C是平面上三个不同点，且BC=a，CA=b，AB=c，则ca+b+bc的最小值为(A)A.2-12B.22-12C.2-22D.1-22【答案】A【解析】由题意b+ca，则ca+b+bc=ca+b+b+cc-1ca+b+a+b+c2c-1=ca+b+a+b2c-122ca+ba+b2c-12=2-12，当b+c=a且ca+b=a+b2c，即a=2+12c，b=2-12c时取等号；所以ca+b+bc的最小值为2-12.故正确选项为 A.二、填空：本大题共二、填空：本大题共6小题小题，每小题每小题 x分分，满分满分 x分分.7.设集合S=1