2021广东省数学学业水平合格考试总复习讲义学案：第2章　基本初等函数（Ⅰ） （含答案）.doc

1、 考纲展示 考情汇总 备考指导 (1)指数函数 了解指数函数模型的实际背景. 理解有理指数幂的含义， 了解实数指数幂 的意义，掌握幂的运算. 理解指数函数的概念， 理解指数函数的单 调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. (2)对数函数 理解对数的概念及其运算性质， 知道用换 底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数；了解对数在简化运算中的作用. 理解对数函数的概念； 理解对数函数的单 调性，掌握对数函数图象通过的特殊点. 了解指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，a1). (3)幂函数 了解幂函数的概念. 结合函数 yx，yx2，yx3，y1 x，y x1 2的图象，

2、了解它们的变化情况. 2017 年 1 月 T9 2018 年 1 月 T2 2019 年 1 月 T7 2020 年 1 月 T11 本章的重点是指 数、 对数的运算与 性质，指数函数， 对数函数、 幂函数 的图象、 性质及其 应用，难点是幂、 指、对函数的图 象、性质的应用， 学习本章时要注 意控制难度， 掌握 基本知识即可. 指数与指数函数的图象和性质 基础知识填充 指数函数 (1)有理指数幂的含义及其运算性质 a0，b0 且 r，s，tQ. as atas t；(as)tast；(ab)rarbr. (2)函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数 (3)指数函数的图象和性质 yax

3、0a1 a1 图象 yax 0a1 a1 性质 定义域 R 值域 (0，) 定点 过定点(0,1)，即 x0 时，y1. a1，当 x0 时，y1； 当 x0 时，0y1. 0a1，当 x0 时，0y1； 当 x0 时，y1. 单调性 在 R 上是减函 数. 在 R 上是增函数. 对称性 yax和 ya x 关于 y 轴对称. 学考真题对练 1(2017 1 月广东学考)下列等式恒成立的是( ) A 1 3 x x 2 3 (x0) B(3x)23x2 Clog3(x21)log32log3(x23) Dlog3 1 3xx D A 1 3 x x 1 3 (x0)； B (3x)232x；

4、C log 3(x21)log32log32(x21) 2(2019 1 月广东学考)已知 a0，则 a 3 a2 ( ) Aa 1 2 Ba 3 2 Ca 2 3 Da 1 3 D 指数函数的性质及应用问题解题策略： (1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法 (2)简单的指数方程或不等式的求解问题，解决此类问题应利用指数函数的单 调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论 (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性 质(如奇偶性、 周期性)相结合， 同时要特别注意底数不确定时， 对底数的分类讨论 最新模拟快练 1(2018

5、 汕头市高一期中)函数 f(x)ax 12(a0 且 a1)的图象一定经过点 ( ) A(1,3) B(0,3) C(1,2) D(0,1) A 对于任意 a0 且 a1，由 x10 可得 x1，当 x1 时，f(1)3，所以 函数 f(x)ax 12 的图象一定经过点(1,3)，本题选择 A 选项 2计算：( 6 a9)4 ( 3 a6)4等于( ) Aa16 Ba14 Ca8 Da2 B 将根式化为分数指数幂的运算可得结果为 a14. 3(2019 东莞学考模拟题)函数 f(x) 1 2 x 在区间2,2上的最小值是( ) A1 4 B 1 4 C4 D4 B 函数 f(x) 1 2 x

6、在定义域 R 上单调递减， f(x)在区间2,2上的最小值为 f(2) 1 2 2 1 4. 4(2018 汕头市高一期中)函数 yaxa(a0，a1)的图象可能是( ) C 由于当 x1 时，y0，即函数 yaxa 的图象过点(1,0)，故排除 A、B、 D故选 C 5(2019 中山学考模拟题)已知 alog30.2，b30.2，c0.30.2，则 a，b，c 三 者的大小关系是( ) Aabc Bbac Cbca Dcba C alog30.20，b30.21，c0.30.2(0,1)， acb. 6(2019 广州高一期中)已知函数 f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值和最 小

7、值的和为 6，则 a . 2 当 x1 时，f(x)取得最大值，那么 x2 取得最小值，或者 x1 时，f(x) 取得最小值，那么 x2 取得最大值aa26，a0，a1，a2. 7(2019 深圳高一期末)已知定义域为 R 的函数 f(x)b2 x 2xa是奇函数 (1)求 a，b 的值； (2)用定义证明 f(x)在(，)上为减函数 解 (1)因为 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 f(0)0，b1. 又 f(1)f(1)，得 a1. 经检验 a1，b1 符合题意 (2)任取 x1，x2R，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)12x 1 2x11 12x2 2x21 12x 12x211

8、2x22x11 2x112x21 22x22x1 2x112x21. 因为 x10，又因为(2x11)(2x21)0， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x)为 R 上的减函数 对数运算与对数函数的图象和性质 基础知识填充 对数及对数函数 (1)对数的概念：一般地，如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数记作：xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数 (2)对数的运算性质：如果 a0，a1，M0，N0，那么：logaa1； loga10； alogaNN； logaMlogaNloga(MN)； logaMlogaNlogaM N； logaMnn

9、logaM(nR)； 换底公式：logablogcb logca(a0 且 a1，c0 且 c1)， logab logba1. (3)对数函数的图象和性质 ylogax 0a1 a1 图象 性质 定义域 (0，) 值域 R 定点 过定点(1,0)，即 x1 时，y0. 同正异负， 即 0a1,0 x1 或 a1， x1 时， logax 0； 0a1，x1 或 a1,0 x1 时，logax0. 单调性 在(0，)上是减函数. 在(0，)上是增函数. 学考真题对练 1(2018 1 月广东学考)对任意的正实数 x，y，下列等式不成立的是( ) Alg ylg xlg y x Blg(xy)l

10、g xlg y Clg x33lg x Dlg x ln x ln 10 B 对于 B 项，令 xy1，则 lg(xy)lg 2，而 lg xlg y0，显然不成立， 故选 B 2(2020 1 月广东学考)设 alog23，blog0.32，clog32，则( ) Acba Bbac Cabc Dbca D 1alog232，blog0.320,0clog321， 故 bca，故选 D 应用对数型函数的图象可求解的问题： (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性 (单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应

11、的函数图象问题，利用数形结 合法求解 最新模拟快练 1(2019 佛山学考模拟题)函数 f(x)ln(x21)的图象大致是( ) A 由于函数为偶函数又过(0,0)，所以直接选 A 2 (2020 广东学考模拟)三个数 a30.7， b0.73， clog30.7 的大小顺序为( ) Abca Bbac Ccab Dcb301,0b0.730.701，clog30.7log310，cb0 3x0 ， 解不等式可得3x3， 定义域为(3,3) (2)定义域为(3,3)关于原点对称，f(x)log3(3x)log3(3x)f(x)， 所以函数 f(x)为偶函数. 幂函数的有关性质 基础知识填充 幂

12、函数 (1)函数 yx叫做幂函数(只考虑 1,2,3，1 2，1 的图象) (2)画出幂函数 yx，yx2，yx3，yx 1 2，yx1 的图象(如图)，观察它们的 性质： 幂函数 yx yx2 yx3 yx 1 2 yx 1 定义域 R R R 0，) x|xR 且 x0 值域 R 0，) R 0，) y|yR， 且 y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x(0，) 时，增； x(，0) 时，减 增 增 x(0， )时， 减； x(， 0)时，减 定点 (1,1) 最新模拟快练 1(2019 揭阳学考模拟题)已知幂函数 f(x)xn的图象经过点(3， 3)，则 f(9) 的值为

13、( ) A3 B 3 C1 2 D3 3 A 幂函数 f(x)xn的图象经过点(3， 3)，f(3)3n 3，解得 n 1 2， f(x)x 1 2，f(9)9 1 23. 2(2019 云浮学考模拟题)函数 yx 2 在区间 1 2，2 上的最大值是( ) A17 4 B1 4 C4 D4 C 易知 yx 2 在 1 2，2 上单调递减，所以当 x 1 2时，函数 yx 2 的最大值 是 1 2 2 4. 3(2019 佛山学考模拟题)如图，函数 yx 2 3的图象是( ) D 幂函数 yx 2 3是偶函数，图象关于 y 轴对称，所以可排除选项 A，B，C， 选 D 4(2018 韶关市高一月考)已知幂函数 yx3m 9(mN*)的图象关于 y 轴对称， 且在(0，)上单调递减，求满足(a3)m 5(52a) m 5的 a 的取值范围 解 因为函数在(0， )上单调递减， 所以 3m90， 解得 m3， 又 mN*， 所以 m1,2. 因为函数的图象关于 y 轴对称，所以 3m9 为偶数，故 m1，则原不等式可 化为 (a3) 1 5 52a0 或 52aa30 或 a3052a，解得2 3a 5 2或 a3.