2021广东省数学学业水平合格考试总复习讲义学案：第11章　平面向量 （含答案）.doc

1、 考纲展示 考情汇总 备考指导 (1)平面向量的实际背景及基 本概念 了解向量的实际背景 理解平面向量的概念，理解 两个向量相等的含义 理解向量的几何表示. 本章的重点是平 面向量的数量积 及其应用， 难点是 平面向量的线性 运算， 平面向量基 本定理及其应用， 解决与向量有关 的问题， 要始终把 握向量的两个根 本特征： 方向和大 小， 透彻地理解向 量数量积的意义 和相关公式的应 用. (2)向量的线性运算 掌握向量加法、减法的运 算，并理解其几何意义 掌握向量数乘的运算及其 意义，理解两个向量共线的含 义 了解向量线性运算的性质 及其几何意义. 2018 年 1 月 T10 2019 年

2、 1 月 T13 (3)平面向量的基本定理及坐 标表示 了解平面向量的基本定理 及其意义 掌握平面向量的正交分解 及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的 加法、减法与数乘运算 2017 年 1 月 T7 2019 年 1 月 T4 2020 年 1 月 T16 理解用坐标表示的平面向 量共线的条件. (4)平面向量的数量积 理解平面向量数量积的含 义及其物理意义 了解平面向量的数量积与 向量投影的关系 掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运 算 能运用数量积表示两个向 量的夹角，会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系. 2018 年 1 月 T6 (5)向量的应用 会用向量方法解决某

3、些简 单的平面几何问题 会用向量方法解决简单的 力学问题与其他一些实际问 题. 平面向量的线性运算 基础知识填充 1向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量 的大小叫做向量的长度(或称 模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量；其方向是任记作 0 意的 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为a |a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0 与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能 比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0 2

4、.向量的线性运算 3.共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ba. 学考真题对练 1.(2018 1 月广东学考)如图，O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，则 下列等式正确的是( ) ADA DC AC BDA DC DO COA OB AD DB DAO OB BC AC D 对于 A 项，DA DC CA ，错误；对于 B 项，DA DC 2DO ，错误； 对于 C 项，OA OB AD BA AD BD ，错误； 对于 D 项，AO OB BC ABBCAC，正确故选 D 2(2019 1 月广东学考)如图，ABC 中，AB a，ACb，B

5、C4BD ，用 a， b 表示AD ，正确的是( ) AAD 1 4a 3 4b BAD 5 4a 1 4b CAD 3 4a 1 4b DAD 5 4a 1 4b C AD AB BD AB 1 4BC AB1 4(AC AB)1 4AC 3 4AB 3 4a 1 4b. 3 (2020 1 月广东月考)设向量 a(1,3)， b(2， m)， 若 ba， 则 m . 6 根据题意，向量 a(1,3)，b(2，m)， 若 ba，则有 1m3(2)，即 m6. 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略： (1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则 (2)求已知向量的和一般共起

6、点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角 形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则 (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系， 通过向量的运算将向量表示出来， 进行比较求参数的值 最新模拟快练 1(2019 珠海高一期中)化简AB BD AC CD ( ) AAD BDA CBC D0 D AB BD AC CD (AB BD )(AC CD )AD AD 0. 2.(2019 佛山市学考模拟)如图所示， D 是ABC 的边 AB 的中点， 则向量CD ( ) ABC 1 2BA BBC 1 2BA CBC 1 2BA DBC 1 2BA A CD CB BD BC 1 2BA . 3.(201

7、8 珠海市高一期中)如图所示，在三角形 ABC 中，BD2CD若AB a， AC b，则AD ( ) A1 3a 2 3b B2 3a 1 3b C2 3a 1 3b D2 3a 2 3b A BC ACABba， BD 2 3BC 2 3b 2 3a， AD AB BD a2 3b 2 3a 1 3a 2 3b. 4.(2019 汕头高一月考)如图，在四边形 ABCD 中，设AB a，AD b，BC c， 则DC 等于( ) Aabc Bb(ac) Cabc Dbac A DC AC AD AB BCAD acbabc. 5(2019 东莞市学考模拟)平面内有四边形 ABCD 和点 O，若O

8、A OC OB OD ，则四边形 ABCD 的形状是( ) A梯形 B平行四边形 C矩形 D菱形 B 因为OA OC OB OD ，所以OA OB OD OC ，即BA CD ，所以 AB 綊 CD，故四边形 ABCD 是平行四边形 6(2020 广东学考模拟)若 a(2,3)与 b(4，y)共线，则 y . 6 若 a(2,3)与 b(4，y)共线，则 2y3(4)0. 解得 y6. 平面向量的坐标运算 基础知识填充 1平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)， a(x1，y1

9、) (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1) 2平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.a，b 共线x1y2x2y10. 学考真题对练 1(2019 1 月广东学考)已知向量 a(2，2)，b(2，1)，则|ab|( ) A1 B 5 C5 D25 C ab(4，3)，|ab|42325. 2 (2017 1 月广东学考)已知三点 A(3,3)， B(0,1)， C(1,0)， 则|AB BC|( ) A5 B4 C 13 2 D 13 2 A AB (3

10、，2)，BC(1，1)， AB BC(4，3)， |AB BC| 42325. 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利 用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便 (2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线 的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求 出 的值后代入 a 即可得到所求的向量 (3)三点共线问题，A，B，C 三点共线等价于AB 与AC共线 最新模拟快练 1(2018 佛山市高一月考)设平面

11、向量 a(3,5)，b(2,1)，则 a2b( ) A(6,3) B(7,3) C(2,1) D(7,2) B a2b(3,5)2(2,1)(7,3) 2(2019 佛山高一期末)已知 AB (1，1)，C(0,1)，若CD 2AB ，则点 D 的 坐标为( ) A(2,3) B(2，3) C(2,1) D(2，1) D 设 D(x，y)，则CD (x，y1)，2AB (2，2)，根据CD 2AB 得(x，y 1)(2，2)，即 x2， y12， 解得 D(2，1) 3(2019 东莞市学考模拟)已知向量 a(1,2)，b(x,4)，若 ab，则实数 x 的 值为( ) A8 B2 C2 D8

12、 B ab，42x0，得 x2. 4(2019 深圳市高一月考)已知向量 a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且 c1a 2b，则 1，2的值分别为( ) A2,1 B1，2 C2，1 D1,2 D 由 1223， 21324， 解得 11， 22. 5(2018 广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知向量 a(1， 3)，b (cos ，sin )，若 ab，则 tan ( ) A 3 3 B 3 C 3 3 D 3 B ab，sin 3cos 0，即 sin 3cos .故 tan 3. 6(2019 惠州市学考模拟)已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB 同方向的单

13、位向量为 3 5， 4 5 AB (4，1)(1,3)(3，4)， 与AB 同方向的单位向量为AB |AB | 3 5， 4 5 . 平面向量的数量积 基础知识填充 1向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB 就是向量 a 与 b 的夹 角，向量夹角的范围是0， 2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a， b 的夹角为 ， 则数量|a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量积，记作 a b 投影 |a|cos 叫作向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫作向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的

14、方向上的投影|b|cos 的 乘积 3.平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量， 是 a 与 e 的夹角，则 (1)e aa e|a|cos . (2)aba b0. (3)当 a 与 b 同向时，a b|a|b|；当 a 与 b 反向时，a b|a|b|. 特别地，a a|a|2或|a| a a. (4)cos a b |a|b|. (5)|a b|a|b|. 4平面向量数量积满足的运算律 (1)a bb a； (2)(a) b(a b)a (b)( 为实数)； (3)(ab) ca cb c. 5平面向量数量积的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(

15、x2，y2)，a，b 的夹角为 ，则 (1)a bx1x2y1y2. (2)|a| x21y21.若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB | x2x12y2y12. (3)cos x1x2y1y2 x21y21 x22y22. (4)aba b0 x1x2y1y20. 学考真题对练 (2018 1 月广东学考)已知向量 a(1,1)， b(0,2)， 则下列结论正确的是( ) Aab B(2ab)b C|a|b| Da b3 B 对于 A 项，12010，错误；对于 B 项，2ab(2,0)，b(0,2)， 则 20020(2ab)b，正确；对于 C 项，|a| 2，|b|2，错误；

16、 对于 D 项，a b10122，错误故选 B 求两个向量的数量积的三种方法 (1)利用定义，a b|a|b|cos . (2)利用向量的坐标运算，a bx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义 最新模拟快练 1(2019 广州高一期中)已知向量 a(1,2)，b(x，1)，若 ab，则实数 x 的值为( ) A2 B2 C1 D1 A ab，a b0，即 x20，解得 x2. 2(2019 汕头市学考模拟)已知向量 a(1,0)，b(0,1)，若(kab)(3ab)， 则实数 k( ) A3 B3 C1 3 D1 3 D 因为 a(1,0)，b(0,1)，(kab)(3ab)，所以(k

17、ab)(3ab)0，即 3k10，k1 3. 3 (2019 肇庆高一期末)已知 a(3， 1)， b(1， 2)， 则 a 与 b 的夹角为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 B |a| 10， |b| 5， a b5.cos a， b a b |a|b| 5 10 5 2 2 .又a， b 的夹角范围为0，a 与 b 的夹角为 4. 4(2019 惠州市学考模拟)已知|a|3 2，|b|6，且 ab 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是( ) A30 B90 C45 D135 D 设 a 与 b 的夹角为 ，则由题意可得 a b3 26cos 18 2cos ，又 因为(ab) aa

18、2a b1818 2cos 0，可得 cos 2 2 ，135 . 5(2019 东莞高一月考)已知|a| 3，|b| 3 2 ，a b3 4，则向量 a 与 b 的夹角 为( ) A60 B30 C120 D150 A 由|a b|a|b|cos 3 3 2 cos 3 4，得 cos 1 2，又 0 ，180 ， 向量 a 与 b 的夹角 60 . 6(2018 韶关市高一期末)在ABC 中，已知 ABAC5，BC6，则AB BC ( ) A18 B36 C18 D36 C 易得 cos B3 5，则AB BC|AB|BC|cos(B)56 3 5 18. 7(2018 茂名市学考模拟)已

19、知向量 a( 3，1)，b(m,1)若向量 a，b 的夹 角为2 3 ，则实数 m( ) A 3 B 3 C 3或 0 D2 A cos 2 3 3m1 2 m21 1 2，解得 m 3. 8(2018 广州市高中二年级学生学业水平模拟测试模拟)已知 a 与 b 均为单位 向量，它们的夹角为 60 ，那么|a3b|等于( ) A 7 B 10 C 13 D4 A |a3b|2|a|29|b|26|a|b|cos 60 196111 27，故|a3b| 7. 9.(2018 揭阳学考模拟题)如图，在ABC 中，BAC90 ，AB3，D 在斜边 BC 上，且 CD2DB，那么AB AD 的值为( ) A3 B5 C6 D9 C AB AD AB (AB BD )AB AB 1 3BC AB AB 1 3AC AB AB 2 3AB 1 3AC 2 3|AB |26. 10(2019 蛇口市学考模拟)已知向量 a(1，x)，b(1，2)，若 ab，则 |a| . 5 2 由于 ab，故 a b12x0，x1 2，故|a| 1 2 212 5 2 .