2021广东省数学学业水平合格考试总复习讲义学案：第14章　数　列 （含答案）.doc

1、 考纲展示 考情汇总 备考指导 (1)数列的概念和简单表示法 了解数列的概念和几种简 单的表示方法(列表、图象、 通项公式). 了解数列是自变量为正整 数的一类函数. 本章的重点是等 差数列、 等比数列 的通项公式、前 n 项和公式的应用， 难点是应用转化 与化归的方法求 数列的和， 学习本 章要熟练掌握数 列的相关公式， 并 且注意数列与函 数的异同点. (2)等差数列、等比数列 理解等差数列、等比数列的 概念. 掌握等差数列、等比数列的 通项公式与前 n 项和公式. 能在具体的问题情境中识 别数列的等差关系或等比关 系，并能用有关知识解决相应 的问题. 了解等差数列与一次函数、 等比数列与

2、指数函数的关系. 2018 年 1 月 T15 2018 年 1 月 T20 2019 年 1 月 T14 2019 年 1 月 T17 2020 年 1 月 T8 2020 年 1 月 T17 等差数列 基础知识填充 1数列的概念及简单表示法 (1)数列是按一定顺序排列的一列数 (2)如果数列an的第 n 项与项数 n 之间的关系可用一个式子(即 anf(n)来表 示，则这个式 anf(n)叫数列的通项公式 (3)数列是一种特殊函数，是定义在正整数集(或它的有限子集)上的特殊函数 (4)数列的表示方法有：解析法(通项公式法)；列表法；图象法；递推 法 (5)an与 Sn的关系式：an 2等差

3、数列 (1)定义：an1and(常数)，这是证明一个数列是等差数列的依据，也可用 2an1anan2(nZ)来判断 (2)公差为 d 的等差数列的通项公式为 ana1(n1)d，另外，等差数列任意 两项之间的关系为：anam(nm)d. (3)等差中项：若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫 a 与 b 的等差中项，可以表示 为 Aab 2 . (4)前 n 项和公式 Snna 1an 2 或 na11 2n(n1)d(nN) (5)等差数列的性质： 若公差 d0，则an是递增等差数列 若公差 d0，则an是递减等差数列 若 mnpq(m，n，p，qN)，则 amanapaq. 特别地，当 m

4、n2p，则 aman2ap. 若an是等差数列，则 Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等差数列，且公差 为 n2d. 学考真题对练 1(2019 1 月广东学考)若数列an的通项 an2n6，设 bn|an|，则数列bn 的前 7 项和为( ) A14 B24 C26 D28 C 前 7 项和为|a1|a2|a3|a4|a5|a6|a7|4|2|0|2|4| |6|8|420246826. 2(2020 1 月广东学考)在等差数列an中，若 a515，a1010，则 a20 ( ) A20 B5 C0 D5 C 等差数列an中，若 a515，a1010， a10a55d，da 10a5 5

5、1015 5 1， 所以 a20a515d151510，故选 C 3(2018 1 月广东学考)若等差数列an满足 a1a38，且 a6a1236. (1)求an的通项公式； (2)设数列bn满足 b12，bn1an12an，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解 (1)设等差数列an的公差为 d. a1a38 a6a1236 a1a12d8 a15da111d36 a12 d2 an2(n1)22n，数列an的通项公式为 an2n. (2)由(1)知，an2n，bn1an12an2(n1)22n2n2，bn 2(n1)22n4， 又b12 适合上式，bn2n4(nN*) bn1bn2n2(2n

6、4)2， 数列bn是首项为 2，公差为2 的等差数列 Sn2nnn1 2 (2)2nn2nn23n. 等差数列中求值问题的方法 1求项与求和：关键是确定等差数列的首项 a1，公差 d，进而利用相关公式 求解，同时注意利用等差数列的性质求解 2 方程与函数的思想：等差数列的通项公式 ana1(n1)d 和前 n 项和公式 Snna11 2n(n1)d 中共含有五个量：an，a1，d，Sn，n，知道其中三个量可利用 公式构建方程(组)求出其余两个量，即“知三求二”； 若涉及求等差数列前 n 项和的最值问题，则可把前 n 项和看作关于 n 的二次 函数，利用函数的性质求解，此时注意 nN. 最新模拟

7、快练 1(2019 珠海市学考模拟)已知等差数列an中，a3a822，a67，则 a5等 于( ) A15 B22 C7 D29 A 设 an 的 首 项 为a1， 公 差 为d ， 根 据 题 意 得 a3a8a12da17d22， a6a15d7， 解得 a147，d8.所以 a547(51)(8)15. 2(2020 广东学考模拟)等差数列an中，已知 a22，a58，则 a9( ) A8 B12 C16 D24 C 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， 则由 a22，a58，得 a1d2 a14d8 ， 解得 a10，d2， a9a18d16.故选 C 3(2018 茂名市学考模

8、拟)已知等差数列an中，a27，a415，则其前 10 项的和为( ) A100 B210 C380 D400 B 由 a27，a415 得 2da4a28，即 d4，则 a10a28d732 39，S101 210(7439)210. 4(2019 深圳市学考模拟)在等差数列an中，a3a611，a5a839，则公 差 d 为( ) A14 B7 C7 D14 C a3a611，a5a839，则 4d28，解得 d7. 5(2018 广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S39，S525，则 S7( ) A41 B48 C49 D56 C 设 Sn

9、An2Bn，由题知， S39A3B9 S525A5B25 ，解得 A1，B0，S7 49，故选 C 6(2019 揭阳市学考模拟)在数列an中，a12,2an12an1，则 a101的值为 ( ) A49 B50 C51 D52 D an1an1 2，数列an是首项为 2，公差为 1 2的等差数列， ana1(n1) 1 22 n1 2 ，a10121011 2 52. 7 (2019 珠海市学考模拟)在一个等差数列中， 已知 a1010， 则 S19 . 190 S1919a 1a19 2 19a 10a10 2 19a101910190. 8(2019 蛇口高一月考)已知等差数列an的前

10、n 项和为 Sn，且 6S55S35， 则 a4 . 1 3 设等差数列an的首项为 a1， 公差为 d， 由 6S55S35， 得 3(a13d)1， 所以 a41 3. 9(2019 东莞市学考模拟)在等差数列an中，a22，a44. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn2an，求数列bn的前 5 项和 解 (1)a4a22d，422d，d1， ana2(n2)d2(n2)n. (2)bn2n，b12，b24，b38，b416，b532，S52481632 62. 即数列bn的前 5 项和为 62. 等比数列 基础知识填充 等比数列 (1)定义：a n1 an q(q 为常数，且

11、q0)，这是证明一个数列是等比数列的依据， 还可用 a2n1an an2(nN，an0)来判断 (2)公比为 q(q0)的等比数列an的通项公式为 ana1qn 1. 另外：等比数列任意两项之间的关系为 anam qn m(q0) (3)等比中项：若 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项，则可表 示为 G ab. (4)等比数列前 n 项和公式： (5)等比数列的性质： 若 mnpq(m，n，p，qZ)，则 an amap aq. 特别地：当 mn2p，则 am ana2p. 若数列an是等比数列， 则 Sn， S2nSn， S3nS2n， ， 仍成等比数列(当 Sn0

12、 时)，且公比为 qn. 学考真题对练 1(2018 1 月广东学考)已知数列an的前 n 项和 Sn2n 12，则 a2 1a22 a2n( ) A4(2n1)2 B4(2n 11)2 C44 n1 3 D44 n12 3 C 当 n2 时，anSnSn12n 12(2n2)22n2n2n； 当 n1 时，a1S12222 适合上式 an2n(nN*)a2n(2n)24n， a2n是首项为 4，公比为 4 的等比数列， a21a22a2n414 n 14 44 n1 3 ，故选 C 2(2019 1 月广东学考)在等比数列an中，a11，a22，则 a4 . 8 qa2 a12，a4a2 q

13、 28. 3(2020 1 月广东学考)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，S23， 则 S3 . 7 根据题意，等比数列an中 a11，S23，则 a2S2S1S2a131 2， 则其公比 qa2 a12， 故 a3a2q4， 则 S3a1a2a31247，故答案为 7. 等比数列中的基本计算 在等比数列an的五个量 a1，q，an，n，Sn中，a1与 q 是最基本的元素，在条 件与结论间的联系不明显时，均可以用 a1与 q 列方程组求解 最新模拟快练 1(2019 揭阳市学考模拟)在等比数列an中，an0，且 a1a21，a3a4 9，则 a4a5的值为( ) A16 B2

14、7 C36 D81 B 由已知 a1a21，a3a49，q29.q3(q3 舍去)，a4a5 (a3a4)q27. 2 (2020 广东学考模拟)设 Sn为等比数列an的前 n 项和， 8a2a50，则S5 S2等 于( ) A11 B5 C8 D11 D 由 8a2a50 得 8a1qa1q40，q2，则S5 S2 a1125 a112211. 3(2018 佛山市学考模拟)数列an满足 a11，an2an1(n2，nN*)，则 数列an的前 n 项和等于( ) A2n1 B2n1 C2n1 D2n1 B 由题意知 Sn112 n 12 2n1. 4(2018 广东省普通高中学业水平考试模拟

15、题)在各项为正数的等比数列an 中，若 a1 a41 3，则 log3a2log3a3( ) A1 B1 C3 D3 A 原式log3a2a3log3a1a4log31 31. 5(2018 揭阳学考模拟题)设数列an的前 n 项和为 Sn，如果 a11，an1 2an(nN*)那么 S1，S2，S3，S4中最小的是( ) AS1 BS2 CS3 DS4 D S1a11，S2121，S3S2a3143. S4S3a4385，所以，S4最小 6(2019 深圳市学考模拟)若等比数列an的前 n 项和为 Sn，a33 2，S3 9 2， 则公比 q . 1 或1 2 a3 3 2，S3 9 2，a

16、1a2a3 9 2，则 a1a23， 3 2q2 3 2q3 化 简得 2q2q10，解得 q1 或1 2. 7(2019 佛山高一期中检测)等比数列an中，a42，a54，则数列lg an 的通项公式为 lg an(n3)lg 2 a5a4q， q2， a1a4 q3 1 4， an 1 4 2 n12n3， lg an(n3)lg 2. 8(2019 潮州市学考模拟)已知an为等差数列，且 a36，a60. (1)求an的通项公式； (2)若等比数列bn满足 b18，b2a1a2a3，求bn的前 n 项和 解 (1)an为等差数列，且 a36，a60， a12d6， a15d0， 解得 a

17、110，d2.an10(n1)22n12. (2)等比数列bn满足 b18， b2a1a2a3108624， qb2 b1 24 8 3，bn的前 n 项和 Sn813 n 13 22(3)n. 数列的综合应用 最新模拟快练 1(2019 东莞市学考模拟)已知等比数列an的公比 q2，且 a2，a31，a4 成等差数列 (1)求 a1及 an； (2)设 bnann，求数列bn的前 5 项和 S5. 解 (1)由已知得 a22a1，a314a11，a48a1，又 a2，a31，a4成等 差数列，可得： 2(a31)a2a4，所以 2(4a11)2a18a1，解得 a11，故 ana1qn 12

18、n 1. (2)因为 bn2n 1n，所以 S 5b1b2b3b4b5 (1216)(125)1 12 5 12 515 2 311546. 2(2019 茂名市高一期中检测) 等差数列an中，a74，a192a9. (1)求an的通项公式； (2)设 bn 1 nan，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解 (1)设等差数列an的公差为 d，则 ana1(n1)d. 因为 a74， a192a9 ，所以 a16d4， a118d2a18d . 解得 a11，d1 2.所以an的通项公式为 an n1 2 . (2)bn 1 nan 2 nn1 2 n 2 n1， 所以 Sn 2 1 2 2 2

19、 2 2 3 2 n 2 n1 2n n1. 3(2018 韶关市高一期末)已知等差数列an的公差为 2，且 a1，a1a2,2(a1 a4)成等比数列 (1)求数列an的通项公式； (2)设数列 an 2n 1的前 n 项和为 Sn，求证：Sn0， Sn62n3 2n 16. 数列求和的方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 (3)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写，再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推 广 (4)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等 比数列求和公式的推导过程的推广.