江苏省南通市通州区2021届高三上学期第一次诊断测试数学试卷附答案.pdf

1、 高三数学参考答案高三数学参考答案第 1 页 共 5 页 2021 届高三第一次调研考试 数学参考答案数学参考答案与评分细则与评分细则 一、单选题（每题一、单选题（每题 5 分）分） 1. B；2. B；3. C；4. D；5. C；6. A；7. C；8. D； 二、多选题（每题二、多选题（每题 5 分，漏选得分，漏选得 3 分，错选得分，错选得 0 分）分） 9. AB；10. BC；11. ABD；12. BC 三、填空题（每题三、填空题（每题 5 分，注意分，注意 16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分） 13. 2 2 ；14.52 6；15.(,1e)(1e,

2、)；16.（1）1616 2（2）13. 四、解答题四、解答题 17. 解： 2 |log (1)1,R 1,1)Bxxx ，2 分 |0,R |()(1)0,R 1 xa Axxxxa xx x ， 当1a 时， ( 1, )Aa ；3 分 当1a 时，A ；4 分 当1a 时， ( , 1)Aa 5 分 若选择若选择ABA，则AB，6 分 当1a 时，要使( 1, ) 1,1)a ，则1a ，所以11a ；7 分 当1a 时，A ，满足题意；8 分 当1a 时， ( , 1)Aa 不满足题意9 分 所以选择，则实数a的取值范围是 1,1 10 分 若选择若选择AB I， 当1a 时， (

3、1, )Aa ， 1,1)B ，满足题意；6 分 当1a 时，A ，不满足题意；7 分 当1a 时， ( , 1)Aa ， 1,1)B ，不满足题意8 分 所以选择，则实数a的取值范围是( 1, ) 10 分 若选择若选择 R BA ， 当1a 时， ( 1, )Aa ，(, 1 ,) RA a ，而 1,1)B ，不满足题意；6 分 当1a 时，A ，R RA ，而 1,1)B ，满足题意；7 分 当1a 时， ( , 1)Aa ，(, 1,) RA a ，而 1,1)B ，满足题意8 分 所以选择，则实数a的取值范围是( , 1 10 分 （注意：若解答过程中不是先讨论集合（注意：若解答过

4、程中不是先讨论集合A，而是在求解过程中讨论，则每种情况，而是在求解过程中讨论，则每种情况 2 2 分）分） 18解： （1）因为不等式 ( )0f x 的解集为(2,3)，即 2 0 xaxb 的解集为(2,3)， 所以方程 2 0 xaxb 的解为2和3，2 分 所以 2 40, 5, 6, ab a b 4 分 解得5,6ab 所以, a b的值分别为5和66 分 （2）由（1）得 2 ( )56f xxx， 高三数学参考答案高三数学参考答案第 2 页 共 5 页 令( ( )20f f x，即 2 ( )5 ( )62f xf x， 解得( )1f x 或( )4f x ，8 分 即 2

5、 550 xx或 2 520 xx， 设方程 2 550 xx的解为 12 ,x x，方程 2 520 xx的解为 34 ,x x， 所以 12 5x x ， 34 2x x ，10 分 函数( ( )2yf f x的所有零点之积为1012 分 19解： （1）因为函数 ( )f x为奇函数， 所以 ()( )fxf x 对Rx 成立， 即 322322 11 (1)(23)(1)(23) 33 xkxkkxxkxkkx 对Rx 成立，1 分 即 2 2(1)0kx对Rx 成立， 所以1k 2 分 此时 3 1 ( )4 3 f xxx， 2 ( )4(2)(2)fxxxx， 3,3x ， 令

6、 ( )0fx ，则2x 或2x ， 5 分 函数 ( )f x的极大值为 16 ( 2) 3 f ，极小值为 16 (2) 3 f ，而( 3)3f ，(3)3f 所以函数 ( )f x在区间 3,3 上的最大值为 16 3 ，最小值为 16 3 7 分 （2）因为 322 1 ( )(1)(23) 3 f xxkxkkx， 所以 22 ( )2(1)(23)(3)(1)fxxkxkkxkxk， 令 ( )0fx ，得3xk或1xk ，9 分 因为函数 ( )f x在区间(0,2)内不单调， 所以032k或012k ，11 分 解得13k或31k 所以实数k的取值范围为( 3, 1) (1,

7、3) 12 分 （注意：若（注意：若（1 1）中直接利用中直接利用0)0(f，没有检验则得，没有检验则得 1 1 分；判断单调性求最值，同样得分分；判断单调性求最值，同样得分。 ） 20解： （1）若选择25(R,01,0) a ykxkax， 把 0,85xy 代入，得8525矛盾；1 分 若选择25(R,01,0) x ykakax， 把 0,85xy 代入，得60k 所以应该选择25(R,01,0) x ykakax，其中k的值为603 分 （2） 5 1 1 2511 5450464340 () 5255 6054504643 i i i y a y 5 分 0.926 分 （3）由（

8、1） （2）知， , x y之间的关系为 600.9225 x y ，7 分 x 3( 3, 2)2( 2,2)2(2,3)3 ( )fx 00 ( )f x 极大值极小值 高三数学参考答案高三数学参考答案第 3 页 共 5 页 因为85开水冷至35到40（温水）饮用对身体更有益， 所以35600.922540 x ，9 分 即 11 0.92 64 x ， 所以 1 46 0.92x ， 又因为 16.621.5 11 4,6 0.920.92 ， 所以16.621.5x11 分 所以在25室温下，85开水至少大约放置 17min 才能冷至到对身体有益温度. 12 分 21解： （1）因为

9、( )(2)ln1f xxxx ， 所以 2 ( )ln1 x fxx x ，1 分 所以 (1)0 f ， 而 (1)0f ， 所以曲线 ( )yf x 在点 (1,(1)Pf 处的切线方程为 0y 3 分 （2）由（1）得 22 ( )ln1ln2 x fxxx xx ， 令 2 ( )ln2g xx x ，0 x ， 则 12 ( )0g x xx 在(0, )上恒成立， 所以 2 ( )ln2g xx x 在(0,)上单调递增，4 分 而 (1)0g ， 所以当01x时， ( )0fx ；当1x 时， ( )0fx ， 所以当函数 ( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递

10、增， 所以函数 ( )f x在 1x 处取得极大值6 分 因为 12 ()()f xf x， 1212 ,Rxxx x， 所以不妨设 12 01,1xx， 令( ) ( )(2)h xf xfx ，01x， 则 22 ( )( )(2)ln2ln(2)2 2 h xfxfxxx xx 4 ln (2)4 (2) xx xx ， 因为01x，所以0 (2)1xx，所以 4 ln (2)0,40 (2) xx xx ， 所以 ( )0h x ，即函数( ) ( )(2)h xf xfx 在(0,1)上单调递减，8 分 而(1) (1)(1)0hff ， 所以( ) (1)0h xh 在(0,1)上

11、恒成立，即 ( )(2)f xfx 在(0,1)上恒成立， 所以 11 ()(2)f xfx在(0,1)上恒成立，10 分 因为 12 ()()f xf x，所以 21 ()(2)f xfx， 因为 12 01,1xx，所以 1 21x，而函数( )f x在(1,)上单调递增， 所以 21 2xx，即 12 2xx 所以得证12 分 22解： （1）因为 1 ( )exf xax ，则 1 ( )exfxa ，0 x ，1 分 高三数学参考答案高三数学参考答案第 4 页 共 5 页 1当 1 e a时， 1 ( )e0fxa ，所以( )f x在(0) ，上单调递增；2 分 2当 1 e a

12、时， 令 1 ( )e0 x fxa ，得ln()1xa，所以( )f x在(ln()1)a ，上单调递增， 令 1 ( )e0 x fxa ，得ln()1xa，所以( )f x在(0 ln()1)a，上单调递减4 分 综上，当 1 e a时，函数( )f x在(0) ，上单调递增； 当 1 e a 时，函数( )f x在(ln()1)a ，上单调递增，在(0 ln()1)a，上单调递减. 5 分 （2）当0a 时，( )( )f xxg x对0 x 恒成立 12 eln x bxbxx 对0 x 恒成立， 【方法 1】条件 1 e ln0 x bxbx x 对0 x 恒成立， 令 1 e (

13、 )ln x h xbxbx x ，6 分 则 1 1 2 e ()(1) e(1)(1) ( ) x xb x xbx x h x xxx ，0 x ， 设 1 e ( ) x xb x ，令 1 2 e(1) ( )0 x x x x ，得1x ， 当1x 时，( )0 x，所以( ) x在(1,)上单调递增； 当01x时，( )0 x，所以( ) x在(0,1)上单调递减， 所以( )(1)1xb 8 分 若10b，即1b， 当1x 时，( )0h x，所以函数( )h x在(1,)上单调递增； 当01x时，( )0h x，所以函数( )h x在(0,1)上单调递减， 所以( )(1)1

14、0h xhb 成立 所以1b10 分 当10b，即1b 时，(1)10hb 与( ) 0h x矛盾；11 分 综上，实数b的取值范围为(,112 分 【方法 2】条件 1 ln e(ln ) 0 xx b xx 对0 x 恒成立，6 分 令( )lnh xxx，由 11 ( )10 x h x xx 得1x ， 所以当1x 时，( )0h x，所以函数( )h x在(1,)上单调递增， 当01x时，( )0h x，所以函数( )h x在(0,1)上单调递减 所以( )(1)1h xh8 分 令lntxx，则1t，则原问题等价于 1 e0 t bt ，对1t恒成立， 等价于 1 et b t ，

15、对1t恒成立，10 分 令 1 e ( ) t p t t ，1t，则 1 2 e(1) ( )0 t t p t t ， 所以( )p t在1,)上单调递增，所以 min ( )1p t， 所以，实数b的取值范围为(,112 分 高三数学参考答案高三数学参考答案第 5 页 共 5 页 【方法 3】令( )lnxxx，由 1 ( )10 x x 得1x ， 所以函数( ) x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 所以( )(1)1x， 所以ln1xx当且仅当1x 时取等号7 分 令( )e1 x p xx，则由( )e10 x p x 得0 x ， 所以函数( )p x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增， 所以( )(0)0p xp，所以e1 x x 当且仅当0 x 时取等号.9 分 因为ln1xx， 所以原条件等价于 11 ln ee (ln )ln xxx b x xxxx 对0 x 恒成立，10 分 令 1 ln e ( ) ln xx g x xx ， 因为 1 ln e1ln1ln xx xxxx ， 当且仅当ln10 xx 时取等号，即1x 时取等号， 所以 1 ln e ( )(1)1 ln xx g xg xx ，所以 min ( )1g x， 所以1b 综上，实数b的取值范围为(,112 分