高中数学讲义微专题98《含新信息问题的求解》讲义.doc

1、 微专题 98 含新信息问题的求解 一、基础知识： 所谓“新信息背景问题” ，是指题目中会介绍一个“课本外的知识” ，并说明它的规则， 然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问 题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本 文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤 （1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围 （2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系 （3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律 （4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分

2、析。 2、理解“新信息”的技巧与方法 （1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息 的理解 （2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息 理解的较为透彻。 （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律 （4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处， 以及在什么情况下可以使用原概念。 二、典型例题 例 1：设,P Q是两个集合，定义集合|PQx xPxQ且，如果 2 |log1Pxx， |21Qx x，则PQ等于（ ） A. |01xx B. |01xx C.

3、|12xx D. |23xx 思路：依|PQx xPxQ且可知该集合为在P中且不属于Q中的元素组成，或 者可以理解为P集合去掉PQ的元素后剩下的集合。先解出,P Q中的不等式。:P 2 log102xx ，:2113Qxx ，所以1, 2PQ ，从而可得： 0,1PQ 答案：B 例 2： yf x在, 内有定义。对于给定的正数K，定义函数 , , k f xf xK fx K f xK 取函数 2 x f xxe。若对任意的,x ，恒有 k fxf x，则（ ） AK的最大值为 2 B. K的最小值为 2 CK的最大值为 1 D. K的最小值为 1 思路：由所给分式函数 k fx可知，若 f

4、xK，则取 f x，如果 f xK，就取K， 由这个规则可知，若 k fxf x恒成立，意味着,x ，均有 f xK恒成立， 从而将问题转化为恒成立问题，即 maxKf x，下面求 f x的最大值： 1 x fxe ， 可知 f x在,0单调递增， 在0,单调递减， 所以 max 01f xf， 从而1K ， 即K的最小值为 1 答案：D 例 3：设集合 0123 ,SA A A A，在S上定义运算为： ijk AAA，其中k为ij被 4 除的余数，,0,1,2,3i j ，则满足关系式 20 xxAA的x xS的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 思路：本题的关键在于读懂规

5、则， “”运算的结果其实与角标和除以 4 的余数相关，如果理 解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如： 13 AA，按照要求，13除以 4 的余数为 0， 所以 130 AAA。掌握规律后再看所求关系式：要求得x，则需要先解出xx，将其视 为一个整体 m A，可知 20m AAA，即2m除以 4 的余数为 0，可推断2m，即 2 xxA，不妨设 n xA，即nn除以 4 的余数为 2，则n的值为1,3，所以 1 xA或 者 3 xA，共有两个解 答案：C 例 4：定义两个平面向量, a b的一种运算sinaba b，其中为, a b的夹角，对于这种 运 算 ， 给 出 以 下 结 论 ： ab

6、ba； abab； abcacbc； 若 1122 ,ax ybxy，则 1221 abx yx y 你认为恒成立的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 思路：本题的新运算sinaba b，即, a b的模长乘以夹角。所以对于结论， sinsinbab aa bab； 对 于 ， sinaba b， 而 sinsinaba ba b， 显 然 当0时 等 式 不 成 立 ； 对 于 ， s i n,abcabcab c（ 其 中s i n,ab c表 示,ab c的 夹 角 ） ， 而 sin,sin,acbca ca cb cb c，显然等式不会恒成立（也可举特殊

7、情况 如ab ，左边为 0，而右边大于等于 0） ；对于，可代入坐标进行运算，为了计算简便考 虑 将 左 边 平 方 ， 从 而 22 sin1cos ， 可 与a b 找 到 联 系 ： 22222222 222222 1122 sin1cosababababa bxyxy 22 12121221 x xy yx yx y，即 1221 abx yx y。综上所述，正确 答案：B 例5 ： 如 果 函 数 f x对 任 意 两 个 不 等 实 数 12 ,x xa b， 均 有 11221221 xfxxfxxfxxfx，在称函数 f x为区间, a b上的“G”函数，给 出下列命题： 函数

8、 2sinf xxx是R上的“G”函数 函数 2 4 ,0 1,0 xx x f x xx 是R上的“G”函数 函数 2 ,1 21,1 x x f x xx 是3,6上的“G”函数 若函数 2 x f xeax是R上的“G”函数，则0a 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 思 路 ： 本 题 看 似 所 给 不 等 式 复 杂 ， 但 稍 作 变 形 可 得 ： 112221 0 xf xf xxf xf x ， 所 以 1212 0 xxfxfx 即 12 xx与 12 f xf x 同号，反映出 f x是, a b上的增函数，从而从单调性的角度 判断四个命

9、题： 2cos0fxx恒成立，所以 f x是R上的增函数 ：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知 正确，不正确 ：若 f x是“G 函数” ，则 f x是R上的增函数，所以 0 x fxea即 x ae恒成 立，因为0, x e ，所以可得：0a ，正确 综上所述：正确，共有三个命题 答案：C 例 6：对于各数互不相等的正数数组 12 , , n i ii，其中2,nnN，如果在pq时，有 pq ii，则称“ p i与 q i”是该数组的一个“顺序” ，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数 组的“顺序数” ，例如：数组2,4,3,1中有顺序“2,4” ， “

10、2,3” ，其“顺序数”等于 2，若各 数互不相等的正数数组 12345 ,a a a a a的“顺序数”是 4，则 54321 ,a a a a a的“顺序数” 是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 思路：本题中对于“顺序”的定义为 pq pqii，即序数小的项也小。要得到“顺序数” 则需要对数组中的数两两进行比较，再进行统计。在所求数组中可发现 54321 ,a a a a a刚好 是 12345 ,a a a a a进行倒序的排列，所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立，而原先数 组不成“顺序”的（即 pq pqaa）反而成为所求数组的“顺序” 。在五元数组中任意 两个数比较

11、大小，共有 2 5 10C 组，在 12345 ,a a a a a中“顺序”有 4 个，则非“顺序”有 6 个，所以到了 54321 ,a a a a a中，顺序数即为 6 答案：B 小炼有话说：本题也可以通过特殊的例子得到答案：例如由 12345 ,a a a a a的“顺序数”是 4，假设 12131415 ,aa aa aa aa，其余各项 2345 aaaa，则在 54321 ,a a a a a 中即可数出顺序数为 6 例7 ： 对 任 意 实 数, a b定 义 运 算如 下 ： () () a ab a b b ab ， 则 函 数 21 2 ( )log32logf xxx的

12、值域为（ ） A. 0, B. ,0 C. 2 2 log,0 3 D. 2 2 log, 3 思路：本题可将 () () a ab a b b ab 描述成取, a b中较小的数，即min, a b，所以对于 21 2 ( )log32logf xxx，即 0 f x为 2010 2 log32 ,logxx中较小的数。解不等式 21 2 320 log32log01 1 32 x xxxx x x ，则 21 2 2 log32log1 3 xxx，所 以 2 1 2 log32 ,1 ( ) 2 log,1 3 xx f x xx ，从而可解得值域为,0 答案：B 小炼有话说：本题也可以

13、利用数形结合的方式， 21 2 ( )log32logf xxx的图像为将 21 2 log32 ,logyxyx的图像画在同一坐标系下，取位于下方的部分，从而作出 f x 的图像，其中 21 2 log32 ,logyxyx的交点通过计算可得1x ，所以结合图像即可得 到 f x的值域为 ,1f ，即 ,0 例 8：已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为P到l的距 离，记作,d P l （1）求点1,1P到线段:30 35l xyx 的距离,d P l （2）设l是长为 2 的线段，求点的集合|,1DP d P l所表示的图形面积 思路：首先要明确新定义的“距离”

14、 ，即线段上的点到该点的最小值。此时可做几个具体的图 形来理解定义。可发现过P作线段l的垂线，若垂足在线段上，则垂线段最短，与传统的定义 相同；若垂足在线段的延长线上，则需找线段上距离P点最近的，即线段的某个端点。在第 （1）问中，作出图像可得P在线段l上的垂足位于线段延长线上，所以只需比较P到两个端 点的距离即可；在第（2）问中，先作出,1d P l 的图形，表示的图形是长为 2，宽为 2 的 正方形和两个半径是 1 的半圆的组合图形，则D为该图形的内部，再求出面积即可 解： （1）设线段l的端点 12 3,5,AyBy，代入直线方程可得： 12 0,2yy 3, 0 ,5, 2AB 222

15、2 31015,512117APBP ,5d P lPA （2）若,1d P l ，则P点的轨迹为长2a ，宽2b的正方形和两个半径1r 的半圆 的组合图形 2 1 24 2 Sra b 例 9：设 x表示不超过x的最大整数（如 3 22,1 2 ） ，对于给定的nN ，定义 11 ,1, 11 x n n nnx Cx x xxx ，则当 5 ,3 4 x 时，函数 8 x fxC的值域为 （ ） A. 32 4, 5 B. 3228 4,28 53 C. 3228 4,28 53 D. 28 ,28 3 思路：由定义的式子 11 11 x n n nnx C x xxx 可知分子分母含多少

16、项，与 x的取值有 关， 即分子分母分别为 x个项的乘积， 所以根据 x的定义将 5 ,3 4 x 分为 5 ,2 4 和2,3 两段进行考虑。当 5 ,2 4 x 时， 1x ，所以 8 8 x C x ，所以 f x在 5 ,2 4 的值域为 32 4, 5 ； 当2,3x时， 2x ， 所以 82 2 8 75656 1 11 24 x C x xxx x ， 从而 f x 在2,3 单调递减， 28 ,28 3 f x ，综上所述可得： 3228 4,28 53 f x 答案：B 例 10：在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序” ，类似的，我们 这平面向量集合 |

17、,Da ax yxR yR上也可以定义一个称为“序”的关系，记为 “” 。 定义如下： 对于任意两个向量 111222 ,ax yaxy， 12 aa当且仅当 “ 12 xx ” 或“ 12 xx且 12 yy” ，按上述定义的关系“” ，给出下列四个命题： 若 12 1,0 ,0,1 ,00,0ee，则 12 0ee 若 12 aa， 23 aa，则 13 aa 若 12 aa，则对于任意的aD， 12 aaaa 对于任意的向量0a ，其中00,0，若 12 aa，则 12 a aa a 其中命题正确的序号为_ 思路：从题意中可发现比较向量的“序”主要比较的是坐标，其中优先比较横坐标，若横坐

18、 标相等则再比较纵坐标，结合这个规律便可分析各个命题： （为方便说明，任一向量a的横坐 标记为 x a，纵坐标记为 y a ：显然 12 x ex e，所以 12 ee， 22 0 ,0 x exy ey，所以 2 0e ，综上可 得： 12 0ee ： 由 12 aa可知： 12 x ax a或 “ 12 x ax a且 12 y ay a” ， 同理： 由 23 aa 可得： 23 x ax a或“ 23 x ax a且 23 y ay a” ，所以由不等式和等式的传递性 可得“ 13 x ax a或“ 13 x ax a且 13 y ay a”成立，所以 13 aa ： 设,am n，

19、由由 12 aa可知： 12 x ax a或 “ 12 x ax a且 12 y ay a” ， 所以 12 x amx am或“ 12 x amx am且 12 y any an”成立， 所以 12 aaaa ： 设,am n， 由0a 可 知 ：0m或 “0m且0n ”， 考 虑 111222 ,a ax a my a n a ax amy an 若 “0m且0n ”， 则 1122 ,a ay a n a ay an 由 12 aa可 知 存 在 一 种 情 况 ： 12 x ax a且 12 y ay a，则 12 y any an即 12 a aa a，故不正确 答案： 小炼有话说：本题处理的关键在于定义中 12 aa的一种情况： 12 xx且对 12 ,y y无大小限 制， 且数量积的结果不仅与x取值相关， 还与y的值相关。 所以在考虑反例时就可以利用0m 消除横坐标大小的关系。进而 12 ,a a a a的大小关系由 12 ,a a的纵坐标决定，就能轻松找到反 例了