高中数学讲义微专题54《数列求和(含通项公式与求和习题》讲义.doc
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1、 微专题 54 数列求和问题 数列求和问题是高考数列中的一个易考类型, 在已知通项公式的前提下, 要通过观察通 项公式(或者项)的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所 以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点,并在练习中熟悉解法 一、基础知识: 1、根据通项公式的特点求和: (1)等差数列求和公式: 1 1 22 pq n n aa aa Snn pqn 1 1 2 n n n Sa nd (2)等比数列求和公式: 1 1 1 ,1 1 ,1 n n aq q S q a n q (3)错位相减法: 通项公式特点:通项公式特点: n a 等差等比, 比如
2、2n n an, 其中n代表一个等差数列的通项公式 (关 于n的一次函数) ,2n代表一个等比数列的通项公式(关于n的指数型函数) ,那么便可以 使用错位相减法 方法详解:方法详解:以21 2n n an为例,设其前n项和为 n S 先将 n S写成n项和的形式 12 1 23 221 2n n Sn 两边同时乘以等比部分的公比,得到一个新的等式,与原等式上下排列 12 1 23 221 2n n Sn 231 21 23 223 221 2 nn n Snn ,发现乘完公比后,对比原 式项的次数,新等式的每项向后挪了一位。 然后两式相减: 1231 1 22 222212 nn n Sn 除
3、了首项与末项,中 间部分呈等比数列求和特点,代入公式求和,再解出 n S即可 1231 1 22 222212 nn n Sn 1 1 4 21 22212 21 n n n 1 3226 n n 所以 1 23 26 n n Sn 对“错位相减法”的深层理解:对“错位相减法”的深层理解:通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用? 通过解题过程我们可以发现: 等比的部分使得每项的次数逐次递增, 才保证在两边同乘公比 时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致(其系数即为等 差部分的公差) ,从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的 条件
4、,则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 (4)裂项相消: 通项公式特点:通项公式特点: n a的表达式能够拆成形如 n af nf nk的形式(=1,2,k) ,从 而在求和时可以进行相邻项(或相隔几项)的相消。从而结果只存在有限几项,达到求和目 的。其中通项公式为分式和根式的居多 方法详解:方法详解:以 1 2 n a n n 为例 裂项:考虑 11 11 222 n a n nnn (这里 1 f n n ) ,在裂项的过程中把握两 点:一是所裂两项要具备“依序同构”的特点,比如这里的 11 , 1n n 结构相同,且分母为相 邻的两个数;二是可以先裂再调:先大胆的将分式裂成两项的
5、差,在将结果通分求和与原式 进行比较并调整(调整系数) ,比如本题中 112 22nnn n ,在调整系数使之符合通 项公式即可 求和:设 n a前n项和为 n S 11111111 1 2324352 n S nn ,求和的关键在于确定剩下的项。通过 观察可发现正项中 1 1, 2 没有消去,负项中 11 , 12nn 没有消去。 所以 1111323 1 22124212 n n S nnnn 一般来说,裂开的2n项中有n个正项,n个负项,且由于消项的过程中是成对消掉。所以 保留项中正负的个数应该相同。 (5)分类求和:如果通项公式是前几种可求和形式的和与差,那么在求和时可将通项公式的 项
6、分成这几部分分别求和后,再将结果进行相加。 例:61118231 n Sn 可知通项公式为231 n n an, 那么在求和的过程中可拆成 3 部分:2 ,3 ,1 n n分别求和后 再相加 12 2 21 1 2223 123 212 n n n n n Snnn 12 35 22 22 n nn 2、根据项的特点求和: 如果数列无法求出通项公式, 或者无法从通项公式特点入手求和, 那么可以考虑观察数 列中的项,通过合理的分组合理的分组进行求和 (1)利用周期性求和:如果一个数列的项按某个周期循环往复,则在求和时可将一个周期 内的项归为一组求和,再统计前n项和中含多少个周期即可 (2)通项公
7、式为分段函数(或含有1 n ,多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和, 则可以考虑奇数项一组,偶数项一组分别求和,但要注意两点:一是序数的间隔(等差等比 求和时会影响公差公比) ,二是要对项数的奇偶进行分类讨论(可见典型例题) ;若每段的通 项公式无法直接求和,则可以考虑相邻项相加看是否存在规律,便于求和 (3)倒序相加:若数列 n a中的第k项与倒数第k项的和具备规律,在求和时可以考虑两 项为一组求和,如果想避免项数的奇偶讨论,可以采取倒序相加的特点,即: 12nn Saaa 11nnn Saaa 两式相加可得: 12111 2 nnnnn Saaaaaan aa 1 2 n n n aa
8、S 二、典型例题 例 1:已知函数 2 1 1 f x x ,求: 111 122015 201520142 ffffff 思路:观察可发现头尾的自变量互为倒数,所以考虑其函数值的和是否具备特点。即 1 1f xf x ,所以考虑第n个与倒数第n个放在一起求和,可用倒序相加法 解: 2 222 2 1111 1 1 111 1 x f xf xxxx x 111 122015 201520142 Sffffff 11 2015201421 22015 Sffffff 111 2201520142015 201520142015 Sffffff 1 4029 4029 2 S 小炼有话说:此类问
9、题要抓自变量之间的联系,并尝试发现其函数值的和是否有特点(常数 或者与n相关) ,本题求和的项就呈现出倒数关系。另外在求和过程中倒序相加的方法可以 有效地避免项数的奇偶讨论。 例 2:设数列 n a满足 11 2,3 4n nn aaanN (1)求数列 n a的通项公式 (2 2)令)令 nn bna,求数列求数列 n b的前的前n项和项和 n S 解: (1) 1 3 4n nn aa 1 1 3 4n nn aa 2 12 3 4n nn aa 21 3 4aa 1 21 1 12 41 3 43 43 444 41 n nn n aa 42 n n a (2)思路:由(1)可得:42
10、n n bn,尽管整个通项公式不符合任何一种求和特征, 但可以拆成 42 n n ,在求和的过程中分成三组分别求和,再汇总到一起。 解:42 n nn bnan 12 124442 n n Snn 2 4 41 134 241 24123 n n n nnn n 例 3:已知数列 n a满足 121111 1,2,2, nnnnnn aaaa aaaannN ,且对 于 1 ,1 nn nNa a ,设 n a的前n项和为 n S,则 2015 S_ 思路:原递推公式 1111nnnnnn aa aaaa 很难再有变化,考虑向后再写一个式子进行 变形。 +12+12nnnnnn a aaaaa
11、 ,两式相减可得: 211 10 nnnn aaa a ,由 1 1 nn a a 可得: 21nn aa , n a为周期是 3 的数列,所以求和时可先求出一个周期中项 的和,再看 2015 S中含多少周期即可。 解: 1111nnnnnn aa aaaa +12+12nnnnnn a aaaaa 得: 12121nnnnnn a aaaaa 211 10 nnnn aaa a 1 1 nn a a 21nn aa n a为周期是 3 的数列 在中令2n 123123 a a aaaa解得: 3 3a 20151234562015 Saaaaaaa 而20153 671 2 20151232
12、014201512 671671 64029Saaaaaaa 答案:4029 例4 : 已 知 n a是 等 差 数 列 , 其 前n项 和 为 n S, n b是 等 比 数 列 , 且 114444 2,27,10ababSb (1)求数列 n a与 n b的通项公式 (2)记)记 * 11 21 , nnnn Ta baba b nN ,求证求证:12210 nnn Tab 解: (1)设 n a的公差为d, n b的公比为q 则 3 4411 27327abadbq 3 4411 104610Sbadbq 即 3 3 23227 86210 dq dq ,解得: 3 2 d q 31,
13、2n nn anb (2)思路:虽然 n T所涉及数列通项公式不是“ nn ab”形式,但观察到 n T中的项具备“等 差等比”的特点,所以考虑利用错位相减法求出 n T ,再证明等式即可 解: 2 31 23422 2n n Tnn 23+ 1 23123422 2 n n Tnn 231 3123 2222 2 nn n Tn 1 2 4 21 23123 21 n n n 1 0 22 311 2 n n 所证恒等式左边=10 22 31 n n 右边2102 3110 2n nn abn 即左边右边 所以不等式得证 例 5:已知数列 n a为等差数列,其前n项和为 n S,且 39 5
14、,9aS,数列 nn ba (1)求 n a的通项公式 (2)求数列)求数列 n b的前的前n项和项和 n T 解: (1) 19 95 999 2 aa Sa 5 1a 53 2 53 aa d 3 32211 n aann (2)思路:由(1)可得: 112 ,5 112 211,5 n n n bn nn ,所以在求和时首先要考虑项数 是否大于 5,要进行分类讨论,其次当5n ,求和可分成2组分别求和再汇总 解: 112 ,5 112 211,5 n n n bn nn 当5,nnN时, 21 9112 10 22 n n bbn Tnnnn 当5,nnN时, 156nn Tbbbb 6
15、 1211 255255 22 n bbn nn 2 2 2551050nnn 2 2 10,5 1050,5 n nn n T nnn 例 6: (2014,桐乡市校级期中) :设数列 n a,其前n项和 2 3 n Sn , n b为单调递增的 等比数列, 1 2 3 512bb b , 1133 abab (1)求数列 , n a n b的通项公式 (2 2)若)若 21 n n nn b c bb ,求,求数列数列 n c的前的前n项和项和 n T 解: (1)2n 时, 2 2 1 33163 nnn aSSnnn 1n 时, 11 3aS 符合上式 63 n an n b为等比数列
16、 3 1 2 32 512bb bb 2 8b 设 n b的公比为q,则 2 132 8 ,8 b bbb qq qq 而 3 15a 1133 8 3158ababq q 解得:2q 或 1 2 q n b单调递增 2q 21 2 22 nn n bb (2)思路:由(1)可得: 1 111 22 222121 21 nn n nnnn c ,观察到分母 1 2121 nn 为两项乘积,且具备“依序同构”的特点,所以联想到进行裂项相消,考 虑 1 111 2121 112 212121 2121 21 nn n nnnnnn ,刚好为 n c,所以直接裂 项然后相消求和即可 解: 1 111
17、1 2211 222121 212121 nn n nnnnnn c 1 12231 111111 212121212121 nn nn Tcc 111 111 1 212121 nn 例 7:已知等差数列的首项 1 1a ,公差0d ,前n项和为 n S (1)若)若 124 ,S S S成等比数列成等比数列,求数列求数列 2 n n a 的前的前n项和项和 n T (2)若)若 1223341 11112015 2016 nn a aa aa aa a 对一切对一切nN 恒成立恒成立,求求d的取值范围的取值范围 (1)思路:先利用已知条件求出 n a的通项公式,然后用错位相减法求和 解:
18、124 ,S S S成等比数列 2 2 214111 246SSSadaad,代入 1 1a 可得: 2 2 24620dddd 由0d 可得:2d 21 n an 2 111 1321 222 n n Tn 231 11111 132321 22222 nn n Tnn 231 111111 2+21 222222 nn n Tn 1 1 11 1 42 11 221 1 22 1 2 n n n 111 31131 2123 22222 nnn nn 1 323 2 n n Tn (2)思路:虽然不知道 n a的通项公式,但根据其等差数列特征可得: 1nn aad 所以 11 1111 n
19、nnn a aaad ,从而可将不等式的左边通过裂项相消求和,然后根据不等 式恒成立解d的范围即可 解: 11 1111 nnnn a aaad 122334112231 11111111111 nnnn a aa aa aa adaaaaaa 11 111111 111 1 n dadanddnd 112015 1 12016dnd 对一切nN 均成立 m i n 112 0 1 5 1 12 0 1 6dn d 设 11 1 1 f n dnd ,由0d 可得: f n为增函数 min 111 11 11 f nf ddd 120151 120162015 d d 1 0, 2015 d
20、例 8: 已知数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,, 其中相邻的两个1被2隔开, 第n对1之间有n个2, 则该数列的前1234项的和为_ 思路: 本题求和的关键是要统计一共有多少个 1, 多少个 2 相加。 那么首先应该确定第1234 的位置, (即位于第几对 1 中的第几个 2) ,可将 1 个1与之后n个2划为一组,则第n组数 中含有1n个数。 即 12 12 2121 1234 22 nn nn , 可估算出 12 48,49nn, 所以 12 12 2121 122412341274 22 nn nn 即该数列的第1234项位于 第49组第 10 个数。可分析前 48 组中含有
21、 48 个 1,含有12481176个2,在第 49 组中有 1 个 1,9 个 2,所以前1234项和为48 1176 2 1 9 22419 答案:2419 小炼有话说:对于这种“规律性” (不含通项公式)的数列,首先要抓住此数列中数排列的 规律, 并根据规律确定出所求和的最后一项的位置。 再将求和中的项进行合理分组使之可以 进行求和,再汇总即可。 例 9:已知 n S是数列 n a的前n项和,且 2 232,1,2,3 nn Sannn (1)求证:数列2 n an为等比数列 (2)设)设cos nn ban,求数列,求数列 n b的前的前n项和项和 n T 解: (1) 2 232 n
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