高中数学讲义微专题41《指对数比较大小》讲义.doc

1、 微专题 41 指对数比较大小 在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进 行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方 法与技巧 一、一些技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负” ，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为0,1和1, （1）如果底数和真数均在0,1中，或者均在1,中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在0,1中，一个在1,中，那么对数的值为负数 例如： 30.52 log 0.50,log0.30,log 30等 2、要善于利用指对数图像观察指对数

2、与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念： （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的 单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某 一部分相同的情况 例如： 111 342 3 ,4 ,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 111111 436 342121212 33,44,55，从而只需比较底数的大小即可 （2）利用特殊值作“中间量” ：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分， 然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分

3、割包围，各个击破” ，也有 一 些 题 目 需 要 选 择 特 殊 的 常 数 对 所 比 较 的 数 的 值 进 行 估 计 ， 例 如 2 log 3， 可 知 222 1log 2log 3log 42，进而可估计 2 log 3是一个 1 点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式： （1） n m m n aa （2）logloglog aaa MNMN logloglog aaa M MN N （3）loglog0,1,0 n aa NnN aaN （4）换底公式： log log log c a c b b a 进而有两个推论： 1 log log a b b a （令cb

4、） loglog m n a a n NN m 二、典型例题： 例 1：设 323 log,log3,log2abc，则, ,a b c的大小关系是_ 思路： 可先进行0,1分堆， 可判断出1,0b1,0c1a ， 从而a肯定最大， 只需比较, b c 即可，观察到, b c有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换： 2233 11 log3log 3,log2log 2 22 bc， 从而可比较出 32 log 21log 3 ， 所以cb 答案：cba 例 2：设 1 2 3 log 2,ln2,5abc ，则, ,a b c的大小关系是_ 思路：观察发现, ,a

5、b c均在0,1内，, a b的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系： ab，在比较和c的大小，由于c是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计, ,a b c值得 大小： 1 2 111 5 254 c ，可考虑以 1 2 为中间量，则 33 1 log 2log3 2 a ，进而 1 2 ac，所以大小顺序为bac 答案：bac 例 3：设 ln2ln3ln5 , 235 abc 则, ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. acb C. bac D. bca 思路：观察到, ,a b c都是以e为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比 较。 111 352

6、ln2ln3ln5 ln2 ,ln3 ,ln5 , 235 abc发现真数的底与指数也不相同，所以依 然考虑“求同存异” ，让三个真数的指数一致： 111111 15106 352303030 22,33,55 ，通过 比较底数的大小可得：bac 答案：C 小炼有话说： （1）本题的核心处理方式就是“求同存异” ，将三个数变形为具备某相同的部分， 从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较” （2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个 数两两进行比较， 从而减少底数的指数便于计算。 例如可以先比较, :a b 1111 32 3266 2 = 2

7、,3 = 3， 从而ab，同理再比较, a c或, b c即可 例 4：设6log3a，10log5b，14log7c，则（ ） A. abc B. bca C. acb D. abc 思路：观察可发现： 335577 log3 21 log 2,log5 21 log 2,log7 21 log 2abc 357 log 2log 2log 2，所以可得：abc 答案：D 例 5：设 232 555 322 , 555 abc 则, ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. acb C. bac D. bca 思路： 观察可发现, b c的底数相同，, a c的指数相同， 进而考虑

8、先进行这两轮的比较。 对于, b c， 两者底数在0,1，则指数越大，指数幂越小，所以可得bc，再比较, a c，两者指数相同， 所以底数越大，则指数幂越大，所以ac，综上：acb 答案：B 例 6：已知三个数 0.5 3 3 3 ,log 2,cos 2 abc，则它们之间的大小关系是（ ） A. cba B. cab C. abc D. bca 思路：可先进行0,1分组， 0.5 31a ，0,1b c，所以只需比较, b c大小，两者都介于0,1 之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。 以 3 cos 2 作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大

9、小。 331 coscos 23232 ，而 33 1 log 2log3 2 ，从而 1 2 cb，大小顺序为cba 答案：A 小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特 殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择c作为研究对象。 例 7： （2015 甘肃河西三校第一次联考）设 1.13.1 3 log 7,2 ,0.8abc，则（ ） A. bac B. acb C. cba D. cab 思路：首先进行0,1分组，可得1,ca b ，下面比较, a b的大小，可以考虑以2作为中间量， 1.1 33 22,log 7log 92ba，所以2ab，从

10、而cab 答案：D 例 8：设0,1aba b 且 111 1 ,log,log b bab xyab za a ，则, ,x y z的大小关系是 （ ） A. yxz B. zyx C. yzx D. xyz 思路： 由0,1abab可得： 1 01 2 ba， 先用0,1将, ,x y z分堆，0 x，,0y z ， 则x为最大，只需要比较, y z即可，由于, y z的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中 间量。 111 logloglog1 a b ababab yababab ， 而 1 l o gl o g b b zaa， 因为01b， 所以loglog1,log1 bbb

11、abzay ，所以顺序为yzx 答案：C 例 9：下列四个数： 2 ln2,ln ln2 ,ln2,ln2abcd的大小顺序为_ 思路：观察发现ln ln20b，其余均为正。所以只需比较, ,a c d，考虑ln20,1，所 以ad，而 1 ln2ln2 2 cd，所以下一步比较, a c： 211 ln2ln2ln2 ln2ln2 ln2ln0 22 ace ，所以ac，综上所述，大 小顺序为bcad 答案：bcad 例 10：已知, ,a b c均为正数，且 112 22 11 2log,log,log 22 bc a abc ，则（ ） A. abc B. cba C. cab D. b

12、ac 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断, ,a b c的范围。首先观 察等式左侧，左侧的数值均大于 0，所以可得： 112 22 log,log,logabc均大于 0，由对数的符号 特点可得：,0,1 ,1a bc，只需比较, a b大小即可。观察到 1 21 2 b a ，从而 11 22 loglogabab，所以顺序为abc 答案：A 小炼有话说： 本题也可用数形结合的方式比较大小， 观察发现前两个等式右侧为 1 2 logyx的 形式，而第三个等式也可变形为 21 2 1 loglog 2 c cc ，从而可以考虑视, ,a b c分别为两 个函数的交点。先作出 1 2 logyx图像，再在这个坐标系中作出 11 2 , 22 xx x yyy ，比较交点的位置即可。