高中数学讲义微专题35《形如向量AD=xAC+yAB条件的应用》讲义.doc

1、 微专题 35 形如ADxAByAC条件的应用 一、基础知识： 1、平面向量基本定理：若平面上两个向量 12 ,e e不共线，则对平面上的任一向量a，均存在唯 一确定的 12 , ，（其中 12 ,R ），使得 1 122 aee。其中 12 ,e e称为平面向量的一 组基底。 （1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量 （2）唯一性：若 1 122 aee且 1 122 aee，则 11 22 2、“爪”字型图及性质： （1） 已知,AB AC为不共线的两个向量， 则对于向量AD， 必存在, x y， 使得ADxAByAC。则,B C D三点共线1xy 当01xy，则D与A位于BC同侧

2、，且D位于A与BC之间 当1xy，则D与A位于BC两侧 1xy时，当0,0 xy，则D在线段BC上；当0 xy ，则D在线段BC延长线上 （2）已知D在线段BC上，且:BDCDm n，则 nm ADABAC mnmn 3、ADxAByAC中, x y确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定, x y （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程ADxAByAC，可考虑两边对 同一向量作数量积运算，从而得到关于, x y的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关 于, x y的方程，

3、再进行求解 二、典型例题： 例 1：在ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交 ,AB AC于点,M N，若,AMxAB ANyAC，则4xy的最小值是（ ） A. 9 4 B. 2 C. 3 D. 1 A A B B C CD D 思路：若要求出4xy的最值，则需从条件中得到, x y的关系。 由,M H N共线可想到“爪”字型图，所以AHmAMnAN， 其中1mn，下面考虑将,m n的关系转为, x y的关系。利用条 件中的向量关系： 1 2 AHAD且 1 2 ADABAC，所以 1 4 AHABAC，因为,AMxAB ANyAC，所以AHmxABnyAC，由

4、平面 向量基本定理可得： 1 1 4 4 1 1 4 4 m mx x n ny y ，所以 11 11 44 mn xy ，所以 1114 4414 444 yx xyxy xyxy ，而 44 24 yxy x xyxy ，所以 9 4 4 xy 答案：A 例 2：如图，在ABC中， 1 3 ANNC，P是BN上的一点，若 2 11 APmABAC，则 实数m的值为（ ） A. 9 11 B. 5 11 C. 3 11 D. 2 11 思 路 ： 观 察 到, ,B P N三 点 共 线 ， 利 用 “ 爪 ” 字 型 图 ， 可 得 APmABnAN， 且1mn， 由 1 3 A NN

5、C可得 1 4 ANAC， 所以 1 4 APmABnAC，由已知 2 11 APmABAC可得： 128 41111 nn，所以 3 11 m 答案：C 例3 ： 在 平 面 内 ， 已 知1,3,0,30OAOBOA OBAOC， 设 ,OCmOAnOB m nR，则 m n 等于（ ） A. 3 B. 3 C. 1 3 D. 3 3 思路：所求为 m n ，可以考虑对,OCmOAnOB m nR两边同时对同一向量作数量积， 从 而 得 到,m n的 方 程 ， 解 出,m n， 例 如 两 边 同 对OA作 数 量 积 ， 可 得 ： 2 OC OAmOAnOB OA，因为1OA ，0O

6、A OB，所以有 2 cos 3 2 OCOAAOC mOC OA ， 同 理 ， 两 边 对OB作 数 量 积 ， 可 得 ： 2 OC OBmOA OBnOB， 即 2 c o s 3 O C O BO CB O C n OB ， 所以 31 2 cos m nBOC ， 通过作图可得60BOC或120BOC，从而 1 cos 2 BOC ，代入可得：3 m n 答案：B 小炼有话说：（1）当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算 便可得到关于系数的方程。若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量 （2）本题也可通过0OA OB判定OAOB，从而想到建立坐标

7、系通过坐标解出,m n，进 而求出3 m n 例 4：如图，在正六边形ABCDEF中，点P是CDE内（包括边 界）的一个动点，设,APABAFR ，则的取 值范围是（ ） A. 1,2 B. 2,3 C. 2,4 D. 3,4 思路：因为P为动点，所以不容易利用数量积来得到, 的关系， 因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定， 可得： 3313 1,0 ,1, 3 ,0, 3 2222 BCDFE ，则 13 1,0 , 22 ABAF ，所以设,P x y，则由 APABAF可得： 13 , 22 P ，因为P在CDE内， E ED D F F A AB B C C 且:3

8、3,:32 3CE xyCDxy，所以P所满足的可行域为 33 3 32 3 xy y xy ，代 入可得： 3 2 2 ，通过线性规划可得：3,4 答案：3,4 例 5：已知 211 1,2, 323 OAOBAOBOCOAOB ，则OA与OC的夹角的余弦 值为_ 思路： 若要求OA与OC的夹角， 可联想到cos, OA OC OA OC OA OC ， 所以只需确定OA OC 与OC，由 11 23 OCOAOB一方面可以两边同时对OA作数量积得到OA OC，另一方 面等式两边可以同时取模长的平方计算出OC，进而求出cos,OA OC 解： 11111 23236 OCOAOBOC OAO

9、A OAOB OA 且 2 2221111111 2323439 OCOAOBOCOAOBOAOA OBOB 13 36 13 6 OC 1 13 6 cos, 1313 1 6 OA OC OA OC OA OC 答案： 13 13 例 6：如图，平面内有三个向量,OA OB OC，其中OA与OB的夹角为 2 3 ，OA与OC的夹 角为 6 ，且2,4 3OAOBOC，若,OCOAOBR ，则的值 为_ 思路一：由图像可得： 2 BOC ，由此条件中可提供,OA OB OC的模长及相互的夹角， 若要求得，可考虑求出, 的值。则需要两个方程。对OCOAOB两边同时对 OA作数量积，即 2 OC

10、 OAOAOB OA，由2,12OA OBOA OC ，可得： 1242，再将O CO AO B两边对OB作数量积，则 2 OC OBOA OBOB， 即240， 所 以 12424 2402 ， 即 6 思路二：从图形中可想到建系，得到,OA OB OC的坐标，从而利用坐标可求得, 的值：如 图建系可得： 2,0 ,0,2 3 ,1, 3BCA ，所以 0,4 3 , 3,2 ,0OCOAOB ，从而可得 02 4 2 4 33 ，所 以6 答案：6 例 7：已知在ABC中，O为ABC的外心，=1610 2ABACAOxAByAC， 且322525xy，则AO _ 思路：通过观察条件发现很难

11、从几何方向直接求AO，从而考 虑利用计算数量积 2 AO，如何利用322525xy这个条件 呢？对于已知AOxAByAC可以考虑等式两边对同一向 量作数量积，从而得到关于, x y的实数方程。由于O是外心，进而O在,AB AC上的投影为 各 边 的 中 点 ， 所 以 可 用 数 量 积 的 投 影 定 义 计 算 出 ,AB AO AC AO，结合所求，可确定两边同时与AO作数 量积即可。 解：由AOxAByAC，可得： AO AOxAB AOyAC AO（*） AO在AB上的投影向量为AM（M为AB中点） 2 1 128 2 AB AOAM ABAB，同理： 2 1 100 2 AC AO

12、AN ABAC A B C O N M A B C O 所以（*）变形为： 2 1281004 3225100AOxyxy 10AO 小炼有话说：对于形如AOxAByAC，若想得到关于, x y的方程，可以考虑对同一向量 作数量积即可，而向量的选择要尽量能和等式中的向量计算出数量积。 例 8：给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB上变动.若,OCxOAyOB其中, x yR,则 xy的最大值是_. 思路：所求xy的最值，可考虑对OCxOAyOB等号两边对 同一向量作数量积，从而转化为, x y的等式： 2 OCxOAyOBO

13、C OAxOAyOB OA即 1 2 OC OAxy 2 OCxOAyOBOC OBxOA OByOB即 1 2 OC OBxy ，从而可发现 11 222 22 xyxyxyOCOAOB ，所以只需求得 OCOAOB的 最大值，其中根据扇形AOB的特点可知OAOB的终点为AB的中点M，即OM，所以 cos,OCOAOBOCOMOC OM， 只需cos,OC OM最大即可。 可知,C M重 合时，cos,1OC OM ，所以xy的最大值为2 答案：2 例9 ： 已 知O是ABC外 接 圆 的 圆 心 ，, ,A B C为ABC的 内 角 ， 若 coscos 2 sinsin BC ABACm

14、 AO CB ，则m的值为 （ ） A 1 B sinA C cosA D. tanA 思路：本题所求与等式中的系数m相关，O是外心所以O在,AB AC上的投影为两边中点， 考虑两边同时对AO 做数量积，再结合正弦定理变形等式即可 解： coscos 2 sinsin BC ABACm AO CB 可得： 2coscos 2 sinsin BC AB AOAC AOm AO CB （*） ，因为O是外心 2211 , 22 AB AOABAO ACAC （*）变形为 22 21cos1cos 2 2sin2sin BC ABACm AO CB 在ABC中，设外接圆半径为R，即RAO ，且2si

15、n ,2sinABRC ACRB （*）变形为： 22 2 1cos1cos 2 sin2 sin2 2sin2sin BC RCRBm R CB sincossincosCBBCm sin()sinsinmBCAA 例 10：已知ABC的外接圆圆心为O，且满足, 432COmCAnCBmn，且 4 3CA ，6CB ，则CA CB（ ） A. 36 B. 24 C. 24 3 D. 12 3 思 路 ： 由 外 接 圆 的 性 质 可 知O在,CA CB上 的 投 影 为,C A C B中 点 ， 所 以 考 虑 对 COmCAnCB两 边 同 时 对,C A C B作 数 量 积 ， 从

16、而 得 到 系 数,m n的 关 系 ： 2 2 CO CAmCAnCB CA CO CBmCA CBnCB ，因为 22 11 24,18 22 CO CACACO CBCB，所 以 有 2448 1836 mnCB CA mCA CBn ， 再结 合432mn， 解三元 一次 方程 组即 可得到 ： 36CA CB 答案：A 三、历年好题精选 1、如图，在正方形、如图，在正方形ABCD中，中，E为为AB的中点，的中点，P是以是以A为圆心，为圆心，AB为半径的圆弧上的为半径的圆弧上的 任意一点，设任意一点，设ACDEAP，则，则的最小值为的最小值为_ 答案：答案： 1 2 2、 （、 （20

17、16，郑州一测）已知点，郑州一测）已知点(0, 1)A，(3,0)B，(1,2)C，平面区，平面区 域域P是由所有满足是由所有满足AMABAC(2,m2)n的点的点 M组成的区域，若区域组成的区域，若区域P的面积为的面积为16，则，则mn的最小值为的最小值为_ 3 、（、（ 2015 ， 北 京 ） 在， 北 京 ） 在ABC中 ， 点中 ， 点M，N满 足满 足 2,AMMC BNNC若若MNxAByAC，则，则x ；y 4、（、（2015， 新课标， 新课标 I） 设） 设D为为ABC所在平面内一点， 且所在平面内一点， 且3BCCD， 则（则（ ） A. 14 33 ADABAC B.

18、14 33 ADABAC C. 41 33 ADABAC D. 41 33 ADABAC 5、 （安徽六校联考）如图，在扇形、 （安徽六校联考）如图，在扇形OAB中，中，60AOB，C为弧为弧AB上且与上且与,A B不重合不重合 的一个动点，且的一个动点，且OCxOAyOB，若，若0uxy存在最大值，则存在最大值，则的取值范围为的取值范围为 （ ） A1,3 B 1 ,3 3 C 1 ,1 2 D 1 ,2 2 6、 （、 （2016，河南中原第一次联考）在直角梯形，河南中原第一次联考）在直角梯形ABCD中，中， 22,ABADDC E为为BC边上一点，边上一点，3,BCEC F为为AE中点，

19、则中点，则BF （ ） A. 21 33 ABAD B. 12 33 ABAD C. 21 33 ABAD D. 12 33 ABAD 7、如图，在直角梯形如图，在直角梯形ABCD中，中，,1,2ADAB ABDC ADDCAB，动点，动点P在以在以 点点C为圆心，且与直线为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设相切的圆上或圆内移动，设 ,APADABR ， 则， 则的 取 值 范 围 是的 取 值 范 围 是 （ ） A. 1,2 B. 0,3 C. 1,2 D. 1,2 8、 如图， 四边形如图， 四边形OABC是边长为是边长为 1 的正方形，的正方形，3OD ， 点， 点P 为为BC

20、D内（含边界）的动点，设内（含边界）的动点，设,OPOCODR ，则，则的最大值等于的最大值等于 _ 9、在、在ABC中，中，22,1ABACAB AC ，若，若 A BC N M O A C B D P 12 AOx ABx AC（O是是ABC的外心） ，则的外心） ，则 12 xx的值为的值为_ 10 、 在在ABC中 ， 边中 ， 边 2 1,2, 3 ACABA ， 过， 过A作作APBC于于P， 且， 且 APABAC，则，则_ 11、如图，、如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，,C D是圆是圆O上的点，且上的点，且60 ,45,CBAABD 若若 CDxOAyBC，则，则xy（ ）

21、 A. 3 3 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 12、 如图， 将、 如图， 将45的直角三角板的直角三角板ADC和和30的直角三角板的直角三角板ABC拼拼 在一起组成平面四边形在一起组成平面四边形ABCD，其中，其中45的直角三角板的斜边的直角三角板的斜边 AC与与30的 直 角 三 角 板 的的 直 角 三 角 板 的30所 对 的 直 角 边 重 合 ， 若所 对 的 直 角 边 重 合 ， 若 DBxDAyDC，则，则, x y分别等于（分别等于（ ） A. 3,1 B. 31, 3 C. 2, 3 D. 3, 31 13、 如图， 在、 如图， 在ABC中，中，2CMMB， 过

22、点， 过点M的直线分别交射线的直线分别交射线,AB AC于不同的两点于不同的两点,P Q， 若若,APmAB AQnAC，则，则mnm的最小值为（的最小值为（ ） A. 6 3 B. 2 3 C. 6 D. 2 14、 在在ABC中， 点中， 点D在线段在线段BC的延长线上， 且的延长线上， 且3BCCD， 点点O在线段在线段CD上（与上（与,C D不重合） ，若不重合） ，若1AOxABx AC，则，则x的取值范围是的取值范围是 _ 15 、 已 知 在、 已 知 在ABC中 ，中 ，1,6,2ABBCAC， 点， 点O为为ABC的 外 心 ， 若的 外 心 ， 若 AOsABtAC，则有序

23、实数对，则有序实数对, s t为为（ ） A. 4 3 , 5 5 B. 3 4 , 5 5 C. 4 3 , 5 5 D. 3 4 , 5 5 C A P B M Q 习题答案： 1、解析：本题所处图形为正方形与圆的一部分，所以考虑建系处理，以,AB AD为轴建立坐 标系。设正方形边长为单位长度，则1,1C 1 0,1 ,0 2 DE ，P点所在圆方程为 22 10,0 xyxy， 设,P x y 则1,1AC ， 1 , 2 DE ，,APxy ， 由 ACDEAP得： 1 1 2 1 x y ，解得： 22 2 3 2 yx xy xy 2232231 13 2222 yxyxy xyx

24、yxyxy 设 1sin1 cos ,sin ,0, 222cossin y xyk xy 2 22 222 22 2tan 2 1 tan1 1tantan2tan1 sin1112 222 2cossin22 1tan2tan1tantan1tantan 222222 2 1tan1tan 22 令tan,0,1 2 kk ，所以： 2 22 2 1sin111111 13 2cossin2122 135 1 1 1 124 k kk k k k 由0,1k可得： 11 ,1 12k ，结合分式的单调性可得当 1 10 1 k k 时， sin1 2 cossin 达到最小值，即 min

25、sin11 2cossin2 min 1 2 2、答案：42 2 解析：设( , )M x y，(3,1),(1,3)ABAC， AMABAC， ( ,1)(3,1)(1,3)(3,3 )x y 3 13 x y ， 31 8 33 8 xy xy ， 2,2mn 31 2 8 33 2 8 xy m xy n ，即 17381 13383 xym xyn 17381 13383 xym xyn 表示的可行域为平行四边形，如图： 由 317 313 xy xy ，得(8,7)A，由 381 313 xym xy ，得(32,2)Bmm， 22 (36)(2)(2)10ABmmm, (8,7)A

26、到直线383xyn 的距离 816 10 n d ， 816 (2)1016 10 n AB dm ， (2) (2)2mn， 2 22 2(2) (2)() 2 mn mn ， 2 (4)8mn，42 2mn. 3、答案： 11 , 26 xy 解析： 111111 323226 MNMCCNACCBACABACABAC，所以 O y x D C B A x+3y=8n3 x+3y=13 3x y=8m+13x y=17 11 , 26 xy 4、答案：A 解析：由图可想到“爪字形图得： 13 44 ACABAD， 解得： 14 33 ADABAC 5、答案：D 解析：以OB为x轴建立坐标系

27、，设0, 3 COB ，则cos ,sin,1,0CB， 13 , 22 A ，由OCxOAyOB可得： 21 sincos 23 sin 3 cos sin 32 xxy y y 2 sincos ,0, 33 uxy ，若u存在最大值，则 u存在极值点 2 cossin 3 u 在0, 3 有零点 令 22 cossin0tan 33 ，因为0, 3 tan0, 3 2 03 3 ，解得： 1 ,2 2 6 、 解 析 ： 取AB的 中 点G， 连 结DG，CG， 则D GB C， 所 以 1 2 B CG DA DA GA DA B， 221 () 332 AEABBEABBCABADA

28、B 22 33 ABAD，于是 BFAFAB 1 2 AEAB 1 2221 () 2 3333 ABADABABAD 7、答案：C A BCD 解 析 ： 由 直 角 梯 形 可 知 依 直 角 建 立 坐 标 系 ， 则0,1 ,1,1 ,2,0DCB， 直 线 :1220 2 x BDyxy 圆C的半径 1225 55 CBD rd 221 :11 5 Cxy 设,P x y，由APADAB可得： 2x y P在圆C内 221 211 5 设 21cos5 ,0,2,0, 1sin5 r r r ，则 cos1 2 sin1 r r 1353 cossinsin 2222 rrr，其中

29、1 tan 2 由 5 0,2,0, 5 r 可知 53553 2 22252 r，且 53553 1 22252 r 所以1,2 8、答案： 4 3 解析：可依直角建立坐标系，则0,1 ,1,0 ,3,0 ,1,1CADB :330,:230,:1CD xyBD xyBC y 设,P x y，则有 3x y ，由图可得P所在的区域为不等式组： 330 230 1 xy xy y 所求 1 3 xy，利用线性规划可得：的最大值为 4 3 ，最优解在D处取得 9、答案： 13 6 解析：由 12 AOx ABx AC可得： 2 12 2 12 AO ABx ABx AB AC AO ACx AB

30、 ACx AC 由O是ABC的外心可得： 2211 2,1 22 AO ABABAO ACAC 121 12 2 5 24 6 1 4 2 3 xxx xx x ，所以 12 13 6 xx 10、答案： 10 49 解析： 2 2 AP ABABAC AB APABAC AP ACAB ACAC ，由 2 1,2, 3 ACABA 可得： 2 2 1 cos1 3 AB AC ，所以 4AP AB AP AC APBC 00AP BCAPACAB 即 4025 另一方面，由, ,P B C三点共线可得：1，所以解得： 2 7 5 7 ，所以 10 49 11、答案：A 解析：以圆O为单位圆建

31、系，可得1,0 ,1,0AB 由图可知90 ,60BODBOC，所以 13 cos90 ,sin900,1 ,cos60 ,sin60, 22 DC 1313 ,1, 2222 CDBC ，由CDxOAyBC可得： 11 22 33 1 22 xy y 从而 3 3 xy 12、答案：D 解析：可如图以,DA DC所在直线为轴建立坐标系，以DA为单位长度，则只需求出B点坐 标即可，由已知可得：0,1 ,1,0 ,145 ,3275 BCBCABAB CAkk :1,:321BC yxAB yx，联立方程可解得 :3, 31B，所以可得： 3 31 x y 13、答案：D 解析：连结AM，由“爪

32、字型”图的模型可知 21 33 AMABAC，因为 APmAB AQnAC ，代入 可得： 21 33 AMAPAQ mn ，在APQ中，由,P Q M三点共线以及可得： 21 1 3332 m n mnm ，所以 2 32 m mnmm m ，设 2 32 m f mm m ，则 2 311 4 32 mm fm m ， 因为 0 2 30 32 m m m n m ， 所以可得 f m的最小值在 1m 处取得，即 12f 14、答案： 1 ,0 3 解析：设,0,1COCD 33 COCDBCACAB 1 333 AOACCOACACABABAC 1 ,0 33 x 15、答案：A 解析： 222 1 cos 22 ABACBC AB ACABACA O为ABC的外心 22 111 ,2 222 AO ABABAO ACAC 由AOsABtAC可得： 2 2 11 22 1 24 2 st AO ABsABtAC AB AO ACsAB ACtAC st 解得： 4 5 3 5 s t ，所以, s t为 4 3 , 5 5