高中数学讲义微专题34《向量的模长问题几何法》讲义.doc

1、 微专题 34 向量的模长问题几何法 一、基础知识： 1、向量和差的几何意义：已知向量, a b，则有： （1）若, a b共起点，则利用平行四边形法则求ab，可得ab是以, a b为邻边的平行四边 形的对角线 （2）若, a b首尾相接，则利用三角形法则求出ab，可得ab，, a b围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a （1）共线（平行）特点：a与a为共线向量，其中0时，a与a同向；0时，a 与a反向 （2）模长关系：aa 3、与向量模长问题相关的定理： （1）三角形中的相关定理：设ABC三个内角, ,A B C所对的边为, ,a b c 正弦定理： sinsinsin abc A

2、BC 余弦定理： 222 2cosabcbcA （2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线 特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。 （3）矩形：若四边形ABCD的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件 4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何 图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 二、典型例题： 例 1： （2015 届北京市重点中学高三 8 月开学测试数学试卷）已知向量, a b的夹角为45，且 1, 210aab，则b （ ） A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 3

3、2 思 路 ： 本 题 利 用 几 何 图 形 可 解 ， 运 用 向 量 加 减 运 算 作 出 如 下 图 形 ： 可 知 2,10 4 ABBAC ，只需利用余弦定理求出BC 即可。 解：如图可得：bBC，在ABC中，有： 222 2cosACABBCAB BCB 即： 2 1042 2cos 4 BCBC 2 2 260BCBC解 得3 2BC 或 2BC （舍） 所以3 2b ， 答案：选D 例 2：若平面向量, ,a b c两两所成的角相等，且1,3abc，则ab c等于（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 2或5 思路：首先由, ,a b c两两所成的角相等可判断出存在

4、两种情况：一是, ,a b c同向（如图 1，此 时夹角均为 0） ，则abc为5 ，另一种情况为两两夹角 2 3 （如图 2） ，以1ab为 突破口，由平行四边形法则作图得到ab与, a b夹角相等，1aba（底角为60的菱 形性质） ，且与c反向，进而由图得到2abc，选 C 答案：C 例 3：已知向量, a b，且1,2ab，则2ba的取值范围是（ ） A. 1,3 B. 2,4 C. 3,5 D. 4,6 思路：先作出a，即有向线段AB，考虑2ba，将2b的起点与A重合，终点C绕A旋转 且24ACb， 则2ba即为BC的长度， 通过观察可得C与,A B共线时2ba达到 最值。所以 ma

5、xmin 25, 23baba，且2ba连续变化，所以2ba的取值范围是 3,5 答案：C 例 4：设, a b是两个非零向量，且2abab，则ab_ 思路：可知, ,a b ab为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2abab可知满 足条件的只能是底角为60， 边长2a 的菱形， 从而可 求出另一条对角线的长度为32 3a 答案：2 3 例 5： 已知, a b为平面向量， 若ab与a的夹角为 3 ，ab与b的夹角为 4 ， 则 a b （ ） A. 3 3 B. 6 4 C. 5 3 D. 6 3 思路：可知, ,ab a b为平行四边形的一组邻边及对角线，通 过 作 图 和 平 行 四

6、边 形 性 质 得 ： 在ABD中 ， , 34 ABaADbABDADB ， 由正弦定理 可得： sin sin6 4 sin3 sin 3 ABADB ADABD ，即 6 3 a b 答案：D 例 6：已知, a b是单位向量，且, a b的夹角为 3 ，若向量c满足|2 | 2cab，则|c的最 大值为（ ） A.23 B.23 C.72 D.72 思路： 本题已知, a b模长且夹角特殊， 通过作图可得2ba为模长为3， 设 2m cb a ， 则可得2m 且 2cmba，而m可视为以2ba共起点，终点在以起点为圆心，2 为半径的圆上。通过数形结合可得c的最大值为23（此时m的终点位

7、于A点） 答案：A 例 7：在ABC中，,3 3,6 6 BABBC ，设D是AB的中点，O是ABC所在 平面内的一点，且320OAOBOC，则DO的值是 （ ） A. 1 2 B. 1 C. 3 D. 2 思路： 本题的关键在于确定O点的位置， 从而将DO与已知 线段找到联系，将320OAOBOC考虑变形为 323OAOBOCOAOBOBOCCB ，即 1 3 OAOBCB，设 OEOAOB，则,O D E三点共线，且OEBC，所以由平行四边形性质可得： 11 1 26 ODOECB 答案：B 例 8：已知向量,1ae e，对任意的tR，恒有ateae，则 eae的值为 _ 思路： 本题以a

8、teae作为突破口， 通过作图设,ABa ACe，D为直线l上一点， 则有ADte。 从而可得,aeBCateBD， 即B DB C， 所以C点为直线l上 到B距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为B到l的垂线段。所以BCl，即 eae，所以有 0eae 答案：0 小炼有话说：本题若用图形解决，找到,ate ae在图上的位置和两个向量的联系是关键 例 9：已知平面向量, ,a b c满足1,2ab，且1a b， C C D D B B A A 若向量,ac bc的夹角为60，则c的最大值是_ 思路：由, a b条件可得, a b夹角的余弦值 1 cos120 2 a b a b ，若用

9、代数方法处 理夹角60的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设,ABa ADb ACc，则 ,CDbc CBac，即60DCB，从而180DCB，可判定, ,A B C D四点 共圆，则AC的最大值为四边形ABCD外接圆的直径，即ABD的直径。在ABD中，由 余弦定理可得： 222 2cos7BDABADAD AB，所以7BD ，由正弦定理 可得： 2 21 2 sin3 BD dR BAD ，即 max 2 21 3 c 答案： 2 21 3 小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找 几何图形进行求解。 例 10： （2010 年，浙江，16）已知平

10、面向量 ,0, 满足=1 ，且与的 夹角为120，则的取值范围是_ 思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到 , 构成BCD，60C，从而可利用正余弦定理求出即CD的取值范围 解：在BCD中，由正弦定理可得： sinsinsinsin BDCD CDBCCDBC 12 sinsinsin sin33 2 DBCDBCDBC C 而 2 0, 3 DBC sin0, 1DBC 223 s i n0,3 3 D B C 答案：的取值范围是 2 3 0, 3 小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体 解法如下： 例 1：解

11、： 2 222 24444cos,10abaa bbba bb 2 2 260bb，解得3 2b 例 2：解： 2 222 222abcabca bb ca c , ,a b c夹角相同 当, ,a b c同向时，可得 2 25abc，所以5abc 当, ,a b c两两夹角 2 3 时，可得 133 , 222 a bb ca c 2 4abc，所以2abc 综上所述：2abc或5 例 3：解： 2 22 244174cos,178cos,baba baa ba ba b 因为cos,1,1a b 2 29, 25ba即23,5ba 例 4：解：2abab可得 2 22 24ababa b

12、代入2ab得2a b 2 22 212ababa b 2 3ab 例 8：解： 以B为原点，BC为x轴建立直角坐标系。 所以 9 3 3 6,0 , 22 CA ， 设,O x y， 则 93 3 ,6, 22 OAxyOBxyOCxy ，由320OAOBOC可 得： 3913 60 24 9 33 3 60 24 xx yy ，所以 13 3 3 , 44 O 因为D为AB中点 9 33 , 44 D 1OD 例 9：解： 22 ateaeateae 22 2 221aa ettaa e 2 2210ta eta e 对tR 恒成立 2 24 210a ea e 即 2 4840a ea e 2 410a e ，所以1a e 2 0eaee ae