高中数学讲义微专题28《三角函数性质》讲义.doc
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1、 微专题 28 三角函数及函数sinyAx性质 一、基础知识: 1、正弦函数sinyx的性质 (1)定义域:xR (2)值域:1,1y (3)周期:2T (4)对称轴(最值点) : 2 xkkZ (5)对称中心(零点) :,0kkZ,其中0,0是对称中心,故sinyx也是奇函数 (6)单调增区间:2,2, 22 kkkZ 单调减区间: 3 2,2, 22 kkkZ 2、余弦函数cosyx的性质 (1)定义域:xR (2)值域:1,1y (3)周期:2T (4)对称轴(最值点) :xkkZ其中0 x 是对称轴,故cosyx也是偶函数 (5)对称中心(零点) :,0 2 kkZ (6)单调增区间:
2、2,2,kkkZ 单调减区间:2,2,kkkZ 3、正切函数tanyx的性质 (1)定义域:|, 2 xx xkkZ (2)值域:yR (3)周期:T (4)对称中心:,0 2 k kZ (5)零点:,0kkZ (6)单调增区间:, 22 kkkZ 注:正切函数的对称中心由两部分构成,一部分是零点,一部分是定义域取不到的x的值 4、sinyx的性质:与正弦函数sinyx相比,其图像可以看做是由sinyx图像变换得 到(x轴上方图像不变,下方图像沿x轴向上翻折) ,其性质可根据图像得到: (1)定义域:xR (2)值域:0,1y (3)周期:T (4)对称轴: 2 k xkZ (5)零点:xkk
3、Z (6)单调增区间:, 2 kkkZ 单调减区间:, 2 kkkZ 5、sin0yAxA的性质: 此类函数可视为正弦函数sinyx通过坐标变换所得, 通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下: (1)定义域:xR (2)值域:,yA A (3)周期: 2 T (4) 对称轴 (最值点) , 对称中心 (零点) , 单调区间需通过换元计算换元计算所求。 通常设tx, 其中0,则函数变为sinyAt,在求以上性质时,先利用正弦函数性质与图像写出t所 满足的条件,然后将t还原为x再解出x的值(或范围)即可 注:1、余弦函数也可看做sinyAx的形式,即cossin 2 yxx
4、,所以其性 质可通过计算得到。 2、对于某些解析式的性质(如对称轴,单调区间等)可根据解析式的特点先变形成为 sinyAx,再求其性质 二、典型例题: 例 1:函数 3sin2cos2f xxx ( ) A. 在, 36 上单调递减 B. 在, 6 3 上单调递增 C. 在,0 6 上单调递减 D. 在0, 6 上单调递增 思路: 31 3sin2cos22sin2cos22sin 2 226 f xxxxxx 单调递增区间:222 26236 kxkkxkkZ 单调递减区间: 32 222 26263 kxkkxkkZ 符合条件的只有 D 答案:D 例 2:函数 2 2cos1 4 yx 的
5、一个单调递减区间为( ) A. 3 , 22 B. 3 , 44 C. , 2 2 D. , 4 4 思路: 先变形解析式, 2 2cos1cos 2sin2 44 yxxx , 再求出单调区间: 222 2244 kxkkxkkZ ,0k 时,D 选项符合要求 答案:D 例 3:sin2 3 yx 的递减区间为( ) A. 5 2,2, 1212 kkkZ B. 511 4,4, 33 kkkZ C. 511 , 1212 kkkZ D. 5 , 1212 kkkZ 思路:在解函数性质之前首先把x的系数变正:sin2sin 2 33 yxx ,再求其 单 调 区 间 : 5 222 2321
6、 21 2 kxkkxkkZ , 由 于 kZ,所以区间 5 , 1212 kk 等同于 5 , 1212 kk 答案:D 例 4:已知函数sincos 1212 yxx ,则下列关于函数性质判断正确的是( ) A. 最小正周期为,一个对称中心是,0 12 B. 最小正周期为,一个对称中心是,0 6 C. 最小正周期为2,一个对称中心是,0 12 D. 最小正周期为2,一个对称中心是,0 6 思路: 1 sincossin 2 121226 yxxx 2 2 T 对称中心:2 6122 k xkxkZ 0k 时,一个对称中心是,0 12 答案:A 例 5:函数 ln sin 2 6 f xx
7、的单调递增区间为( ) A. , 123 kkkZ B. , 63 kkkZ C. 7 , 312 kkkZ D. 5 , 36 kkkZ 思路:求单调区间可设2 6 tx ,即ln sinyt,只需找到t所满足的条件然后解出x的 范围即可。t的取值需要满足两个条件,一是保证sin0t ,二是取sinyt单调增的部分, 所以可得:022 2 ktkkZ ,即0222 62 kxkkZ ,解得: 123 kxkkZ 答案:A 例 6:设函数 sin 2 3 f xx ,则下列关于函数 f x的说法中正确的是( ) A. f x是偶函数 B. f x的最小正周期是 C. f x图像关于点,0 6
8、对称 D. f x在区间 7 , 3 12 上是增函数 思路:先判断 f x的周期,可结合图像进行判断,可得: 2 T ;对于对称轴,对称中心, 单调区间,可考虑设2 3 tx ,即sinyt,借助图像先写出t所符合的条件,再求出x的 值(或范围)即可。 对称轴:2 232122 k tkxkxkZ ,不是偶函数 对称中心:2 362 k tkxkxkZ ,关于点,0 6 对称 单调增区间: 22222 232612 ktkkxkkxkkZ 答案:C 例 7:函数2sin 4 6 yx 的图像的两条相邻对称轴间的距离为( ) A. 8 B. 4 C. 2 D. 思路:根据sinyAx图像的特点
9、可得:相邻对称轴之间的距离是周期的一半 2 2 T ,所以间距为: 1 24 T 答案:B 例 8:已知函数 sin2cos2f xxax的图像关于直线 8 x 对称,则a的值为_ 思路一: f x可以利用辅角公式变形为sinyAx的形式,但是由于系数含参,所 以辅角只能用一个抽象的代替: 22 22 1 1sin2cos21sin 2,tan 11 a f xaxxaxa aa 因为 f x关于直线 8 x 对称, 3 2 824 kk tan1a 思路二: 本题还可以利用特殊值法求出a的值, 再进行验证即可: 因为 f x关于直线 8 x 对称,所以代入一组特殊值: 0sin1 42 ff
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