高中数学讲义微专题25《定积分》讲义.doc

1、 微专题 25 定积分 一、基础知识 1、相关术语：对于定积分 b a f x dx （1）, :a b称为积分上下限，其中ab （2） f x：称为被积函数 （3）dx：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例 如 ： 2 b a xtx dx 中 的 被 积 函 数 为 2 f xxtx， 而 2 b a xtx dt 的 被 积 函 数 为 2 f txtx 2、定积分 b a f x dx 的几何意义：表示函数 f x与x轴，,xa xb围成的面积（x轴上 方部分为正，x轴下方部分为负）和，所以只有当 f x图像在, a b完全位于x轴上方时， b a

2、f x dx 才表示面积。 b a f x dx 可表示数 f x与x轴，,xa xb围成的面积的总和， 但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解 3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有 2 种： （1）微积分基本定理：如果 f x是区间, a b上的连续函数，并且 F xf x，那么 | b b a a f x dxF xF bF a 使用微积分基本定理，关键是能够找到以 f x为导函数的原函数 F x。所以常见的初等函 数的导函数公式要熟记于心： f xC 0fx f xx 1 fxx sinf xx cosfxx cosf xx sinfxx x f xa ln x fxaa x

3、 f xe x fxe logaf xx 1 ln fx xa lnf xx 1 fx x 寻找原函数通常可以“先猜再调” ，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数， 例如： 3 f xx，则判断属于幂函数类型，原函数应含 4 x，但 43 4xx，而 3 f xx， 所以原函数为 4 1 4 F xxC（C为常数） 如果只是求原函数， 则要在表达式后面加上常数C， 例如 2f xx， 则 2 F xxC， 但在使用微积分基本定理时， 会发现 F bF a计算时会消去C， 所以求定积分时， F x 不需加上常数。 （2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边

4、梯形面积易 于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于x轴的下方，则面积 与所求定积分互为相反数。 4、定积分的运算性质：假设 , bb aa f x dxg x dx 存在 （1） bb aa kf x dxkf x dx 作用：求定积分时可将 f x的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化 f x 的复杂程度 （2） bbb aaa f xg xdxf x dxg x dx 作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如 2222 22 1111 11xxdxx dxxdxdx （3） bcb aac f x dxf x dx

5、f x dx ，其中acb 作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆 分，分别求解。 5、若 f x具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算 （1）若 f x为奇函数，则 00 a a f x dxa （2）若 f x为偶函数，则 0 0 aa a f x dxf x dx a 6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤： （1）通过作图确定所求面积的区域 （2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数 ,f xg x （3）若,xa b时，始终有 f xg x，则该处面积为 b a f xg x dx 7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进

6、行表示。需分段通常有两种情况 （1）构成曲面梯形的函数发生变化 （2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写 成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位 置发生过变化，则也需将两部分分开来写。 二、典型例题： 例 1：已知函数 2 2 1, 10 1,01 xx f x xx ，则 1 1 f x dx （ ） A. 38 12 B. 34 12 C. 4 4 D. 34 12 思路： f x在1,0 , 0,1的解析式不同，所以求定积分时要“依不同而分段” ： 101 2 2 110 11f x dxxdxx dx

7、， 而 0 22 0 1 1 11 11 33 xdxx ， 对 于 1 2 0 1x d x 无法找到原函数，从而考虑其几何意义： 222 110yxxyy， 1 2 0 1x dx 为单位圆面积的 1 4 ，即 1 2 0 1 4 x dx ，所以 1 1 143 3412 f x dx 答案：B 小炼有话说： （1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行 拆分 （2）若被积函数具备“”特征，在无法直接找到原函数时，可考虑其图像的几何意义， 运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同 例 2： 4 0 cos2 cossin x dx xx （

8、） A. 221 B. 21 C. 21 D. 22 思 路 ： 被 积 函 数 无 法 直 接 找 到 原 函 数 ， 但 是 可 以 进 行 化 简 。 22 cos2cossin =cossin cossincossin xxx f xxx xxxx ，所以： 44 0 0 cossinsincos|21xx dxxx 答案：C 例 3：设 2 x f x ，则 4 4 f x dx _ 思路：本题可以通过对x的符号进行分类讨论，将 f x写成分段函数，再将定积分拆分为两 段分别求解，但若观察到 f x为偶函数，则可利用对称性得： 44 4 0 40 230 222 ln2ln2 x x

9、 f x dxdx 答案： 30 ln2 例 4：已知 2 2 0 316xk dx ，则k （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 思路：先按部就班求解定积分，再解出关于k的方程即可： 解： 2 232 0 0 382xk dxxkxk 8216k 解得4k 答案：D 例 5：由曲线 2 xt yt （t为参数）和2yx围成的封闭图形的面积等于_ 思路：所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为 2 yx，作出 两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为1,2xx ，结合图 象可得： 2 2232 1 -1 119 22| 232 Sxx dxxxx 答案： 9 2 例 6： 设 2, 0 ,

10、 1 1 ,1 , xx f x xe x （其中e为自然对数的底数） ， 则 yf x的图像与0,xxe 以及x轴所围成的图形的面积为_ 思路：作出图像可得 f x恒在x轴的上方，则面积可用定积分表示，但由于两个区间的函数 不同，所以要拆成两个定积分： 1 23 1 01 01 1114 ln1 333 e e Sx dxdxxx x 答案： 4 3 例 7：曲线 2 y x 与直线1,4yxx所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 2ln2 B. 2ln2 C. 4ln2 D. 42ln2 思路：作出图像观察可得：所围成的区域上方曲线为1yx， 下 方 为 2 y x ， 自 变 量 的 取

11、 值 范 围 为,E F， 其 中 2 :2 1 y Exx yx ，4,0F， 所 以 所 求 面 积 为 4 24 2 2 21 12ln42ln2 2 Sxdxxxx x 答案：D 例 8：如图所示，正弦曲线sinyx，余弦曲线cosyx与两直线0,xx所围成的阴 影部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 思路：观察到两部分阴影区域，函数的上下位置不同，所以考虑面积用两段定积分表示，在 0,中，sinyx与cosyx的交点横坐标为 4 x ， 所以0, 4 时， 余弦函数位于上方， 4 1 0 cossinSxx dx ，在, 4 处，正弦函数位于上方， 2 4

12、sincosSxx dx 所以 4 12 0 4 cossinsincos2 2SSSxx dxxx dx 答案：D 小炼有话说： （1）在求曲线围成的面积时，可遵循被积函数始终“上下”的原则，如果函 数发生变化或上下位置改变时，则可以将面积分割为若干段，分别求定积分即可 （2）本题还可以采用“填补法” ，观察到左边较小阴影部分与x右侧部分中心对称，所以 面积相同，从而可将较小阴影部分填补至x右侧。新的阴影部分始终sinyx位于上方， 可求得阴影部分位于 5 , 44 ，所以 5 4 4 sincos2 2Sxx dx 例 9：已知ab，若函数 ,f xg x满足 bb aa f x dxg

13、x dx ，则称 ,f xg x为区 间, a b上的一组“等积分”函数，给出四组函数： 2,1f xx g xx sin ,cosf xx g xx 22 3 1, 4 f xxg xx 函数 ,f xg x分别是定义在1,1上的奇函数且积分值存在 其中为区间1,1上的“等积分”函数的组数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 思路： 按照“等积分” 的定义，只需计算出两个函数在1,1处的积分，再判断是否相等即可。 解： 111 2 1 0 110 1 2442 2 f x dxx dxxdxx 11 21 1 11 1 12 2 g x dxxdxxx 11 11 f x dxg

14、 x dx 所以为“等积分” f x为奇函数， g x为偶函数 1 1 0f x dx 111 1 0 110 cos2cos2 sin2 sin 1g x dxxdxxdxx 由几何含义可得： 11 2 11 1 1 2 f x dxx dx 11 23 1 1 11 311 442 g x dxx dxx 11 11 f x dxg x dx 所以为一组“等积分”函数 因为 ,f xg x为奇函数，所以 11 11 0f x dxg x dx 为一组“等积分”函数 综上所述，为“等积分”函数 答案：C 例 10：已知函数 1 x f xe，直线 12 :1,:1 t lxlye（t为常数，

15、且01t ） ，直线 12 ,l l与函数 f x的图像围成的封闭图形如图中阴影所示，当t变化时阴影部分的面积的最小 值为_ 思路：可解得 f x与直线 2 l的交点为,1 t t e ，从而用t可表示出阴影部分面积： 1 12 0 1111 t txxt t SSSeedxeedx ， 化 简 后 可 得 ： 231 tt S tteee ，再通过导数分析 S t单调性即可求出 S t的最小值 解： f x与 2 l的交点为： 111 txt f xeee ，解得：xt 所以阴影面积 1 12 0 1111 t txxt t SSSeedxeedx 1 0 t txxt t eedxee d

16、x 1 0 231 txtxttt t e xeee xteee 设 231 tt S tteee ，则 221 ttt S tteeet S t在 1 0, 2 单调递减，在 1 ,1 2 单调递增 2 min 1 211 2 S tSeee 答案： 2 1e 小炼有话说： （1）本题是定积分与导数综合的一道题目，在处理时要理解定积分和导数所起 到的作用：定积分用于处理面积，而需要求最值时，非常规函数可用导数解出单调性，从而 求最小值。了解每个工具的作用才可在需要时选择正确的方法 （2）对于含参数的定积分，首先要确定被积函数的自变量（可观察“d”后面的字母） ，然 后将参数视为一个常量参与运算（包括求原函数和代入上下限）即可，所得的结果通常是含 参数的表达式。