高中数学讲义微专题30《y=Asin（wx+t）的解析式的求解》讲义.doc

1、 微专题 30 函数sinyAx解析式的求解 在有关三角函数的解答题中，凡涉及到 sinf xAx的性质时，往往表达式不 直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得, ,A 得到，本讲主要介绍求解 sinyAx解析式的一些技巧和方法 一、基础知识： （一）表达式的化简： 1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础） （1）降幂公式： 22 1cos21cos2 cos,sin 22 （2）2sincossin2 （3）两角和差的正余弦公式 sinsincossincos sinsincossincos coscoscossinsin coscoscossinsin （4） 合角公式： 22

2、 sincossinabab， 其中tan b a （这是本讲的主角， 也是化简的终结技） 2、关于合角公式： 22 sincossinabab的说明书： （1）使用范围：三个特点： 同角（均为） ，齐一次，正余全 （2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为 sinf xAx的形式了，通过以下三步： 一提：提取系数： 22 ab，表达式变为： 22 2222 sincossincos ab abab abab 二找： 由 22 2222 1 ab abab ， 故可看作同一个角的正余弦 （称为辅助角） ， 如 2222 cos,sin ab abab ，

3、可得： 22 sincoscos sinsincosabab 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角： 22 sincossinabab （3）举例说明： sin3cosyxx 13 2sincos 22 yxx 13 cos,sin2 cossinsincos 232333 yxx 2sin 3 yx （4）注意事项： 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余 弦公式，所以构造的正余弦要同角 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的 角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子： 13 2sincos

4、 22 yxx ，可视为 13 sin,cos 2626 ，那么此时表达式就变为： 2 sinsincoscos 66 yxx ，使用两角差的余弦公式：2cos 6 yx 所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。 当然， 角寻找的不同， 自然结果形式上也不一样， 但2cos 6 yx 与2sin 3 yx 本 质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用） 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现 括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的来代替，再在旁边标注的一个三角函数值。 3

5、、表达式的化简攻略： 可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来 进行操作，所以说几条适用性广的建议： （1）观察式子：主要看三点 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦） ，确定后进行项的 统一（有句老话：切割化弦） 确定研究对象：是以x作为角来变换，还是以x的表达式（例如2x）看做一个角来进行变 换。 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次） ， 若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要 使用合角公式，其结果成为 sinf xAx的形式。例如： 齐二次式：

6、2 sin2cos sin2yxxx，齐一次式：sincos 6 yxx （2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式 22 1cos21cos2 cos,sin 22 ，2sincossin2（还有句老话：平方降幂） 例如：sincos 6 yxx ，确定研究对象了：x，也齐一次，但就是角不一样（一个是 x ，一个是 6 x ）那么该拆则拆，将cos 6 x 打开 3113 sincossinsincos 2222 yxxxxx 于是就可合角了 （二）求解, ,A 的值以确定解析式 1、, ,A 的作用 （1）:A称为振幅，与sinyAx一个周期中所达到的波峰波谷

7、有关 （2）：称为频率，与sinyAx的周期T相关，即 2 T （3）：称为初相，一定程度上影响sinyAx的对称轴，零点 2、, ,A 的常规求法： （1）A： 对于sinyAx可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到 对于sinyAxb可通过一个周期中最大，最小值进行求解： maxmin 2 yy A （2）：由 2 T 可得：只要确定了sinyAx的周期，即可立刻求出，而T的 值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解 如果sinyAx相邻的两条对称轴为,xa xb ab，则2Tba 如果sinyAx相邻的两个对称中心为 ,0 ,0abab，则2Tba 如果si

8、nyAx相邻的对称轴与对称中心分别为,0 xa b，则4Tba 注：在sinyAx中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。 （3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要 注意题目中对的限制范围 3、确定解析式要注意的几个问题： （1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于,A 与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定A的值，再根据对称轴对称中心 的距离确定T，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定。 （2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会 出现多解的情况。如

9、果代入其它点（比如零点） ，有时要面临结果取舍的问题。 二、典型例题： 例 1：化简： 2 2sin cos 42 f xxx 解：原式 222 2sincossin 222 xxx 2 2 2sin cos2sin 2 xxx 2 1 cos222 sin2 222 x x 22 sin2cos2sin 2 224 xxx 例 2：化简： 2 2cos2 3sin cos1f xxxx 解： cos21 23sin21 2 x f xx cos23sin22sin 2 6 xxx 例 3： sin 2cos 2 63 fxxx 解：方法一：拆开化简 3113 sin2cos2cos2sin2

10、3sin2cos22sin 2 22226 f xxxxxxxx 方法二：将2 6 x 视为一个整体，则22 362 xx sin 2cos 2sin 2cos 2 63662 fxxxxx s i n2s i n22 s i n2 666 xxx 例 4：如图，函数sin0,02yAxA的图像经过点 7 ,0 ,0 66 ， 且该函数的最大值为2，最小值为2，则该函数的解析 式为（ ） A. 3 2sin 24 x y B. 2sin 24 x y C. 3 2sin 26 yx D. 2sin 26 x y 思路：由题目所给最值可得2A ，图中所给两个零点的 距离刚好是函数一个周期的长度。

11、所以 7423 6632 T T ，此时解析式 为 3 2sin 2 yx ，优先代入最值点，尽管其横坐标未在图上标明，但可知最大值点横坐 标与 6 x 的距离为 646 T ，所以代入,2 6 可得： 3 2 s i n22 2642 kkZ ，由02可解得： 4 ，所以解 析式为 3 2sin 24 yx 答案：A 小炼有话说： （1）本题在求时，最值点的横坐标未知。但为了避免结果的取舍，依然优先选择最值点， 那么在sinyAx的图像中可根据零点的位置结合图象和周期确定最值点的横坐标。 只要最值点可求，就用最值点求得 （2） 为什么不能用其它点？不妨以此题为例， 代入零点求解再进行对比。

12、代入,0 6 可得： 3 2sin0 264 kkZ ， 从 而 在0,2中的 值 有 两 个 ： 5 , 44 ， 那么到底哪个是符合图像的呢？不 妨 再 代 入 最 值 点 验 证 ， 会 发 现 5 4 时 ， 6 |2 x y ，与图像不符，所以舍去。为什么代入最值点就算出一个解，而代入其它点会出 两个解呢？从表达式上看源自正弦值与角的特点。一个周期里当正弦值取到1, 1时，对应的 角只有一个，而正弦值取到1,1时，会出现一个正弦值对应两个角的情况。所以自然就会 出现多解问题。那么 5 4 时对应的图像是什么样的呢？如右图所示：可发现其周期与零点 和已知图像完全一致， 只是在最值点处刚

13、好关于x轴对称。 如果是曲线上的其它点也是会出现 两个图像，而其中只有一个是正确的。当然有些题目对的取值范围刻画更加严格，那么代 入非最值点也可得到唯一解。 （3）本题除了可用纯代数方法计算，还可以利用图像变换得到的取值，由前面计算出 3 2, 2 A， 可得函数图象从sinyx进行了横纵坐标的放缩， 此时解析式为 3 2sin 2 yx， 这个函数图象的特点是过原点。而与已知图像比较，可得已知图像相当于 3 2sin 2 yx图像向 左平移了 6 个单位。所以 33 2sin2sin 2624 yxx 。利用图像变换求解析式 关键要分析出所求图像与sinyAx的联系（即如何平移得到） 。 例

14、 5： 如图所示为函数 sin0,0 2 f xAx 的部分图像， 其中,A B两点 之间的距离为5，那么1f _ 思路：如图可得4AC ，从而计算出3BC ，所以26TBC，进而 3 而2 y A ， 所 以2A ， 此 时 2 sin 3 fxx ， 而 02 sin1f， 解 得 1 sin 26 ，所以12sin1 36 f 答案：11f 例 6：已知函数 sin0,0,0f xAxA，其导函数 fx的部分图 像如图所示，则函数 f x的解析式是（ ） A. 1 2sin 24 f xx B. 1 4sin 24 f xx C. 2sin 4 f xx D. 13 4sin 24 f

15、xx 思路： cosfxAx，可先从周期入手确定的值， 3 24 22 T ， 所 以 1 2 ， 再 由 最 值 可 得 ：24AA， 代 入,2 2 即 可 解 出： 1 2cos2cos1 2224 f ，所以2 4 kkZ ，即 4 。从而 f x的解析式为 1 4sin 24 f xx 答案：B 例 7：已知函数 cosf xAx的图像如图所示， 2 23 f ，则 0f（ ） A. 2 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 1 2 思路一：可以考虑确定 f x的解析式进而求出 0f， 如图可计算出 1172 2 12123 T ，所以3 ， 取零点的中点可得对称轴 711 3 12

16、12 24 x 而 33 cos 3 44 fAA ，从而 9 2 4 k ，解出一个值 4 。所以 cos 3 4 f xAx ， 且 22 cos 32 22433 fAA ， 所 以 2 2 c o s3 34 f xx ，进而 2 0 3 f 思路二：同思路一先解出 2 3 T，则 2 0 3 ff ，从图中可得 2 3 x 与 2 x 关于 7 12 x 中心对称，从而 22 0 323 fff 答案：C 小炼有话说： （1）本题中尽管没有给出最值，但是并不妨碍的求解。从计算过程中也可以 看出 3 cos 3 4 AA ，A是可以消掉的。所以求关键在于找到最值点的横坐标 （2）思路二

17、跳过了求解析式，而是利用周期性与对称性直接得到 0f的值。对于函数 cosf xAx中，处处暗藏着对称与周期的关系，巧妙运用这些关系可以在求函数 值时事半功倍。 例 8：已知函数 sin,(0,0,0) 2 f xAxxR A 的图像与x轴的交点 中，相邻两个交点之间的距离为 2 ，且图像上一个最低点为 2 , 2 3 M ，则 f x的解析 式为_ 思路：可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离 2 可得 2 2 T ，从而2，由最小值点 2 , 2 3 M 可得到两个信息：一个是2A ，另 一个是M点即为求所要代入的特殊点。此时 2sin 2f xx，则 2 2 3 f

18、 ，即 243 2sin 222 332 k ， 解得： 6 ， 所以 2sin 2 6 f xx 答案： 2sin 2 6 f xx 例 9：已知函数sin0,0 2 yAxm A 的最大值为 4，最小值为 0，两条 对称轴之间最短距离为 2 ，直线 6 x 是其图像的一条对称轴，则函数解析式为_ 思路：先求出A的值，由题目所给最值可得： 40 2 2 A ，再由对称轴距离为 2 可求得 2 2 T ，从而 2 2 T 。此时函数解析式为2sin 2yxm，因为一条对 称轴为 6 x ，所以2 626 kkZk ，由0 2 得： 6 2sin 2 6 yxm ， 当y取到最大值时， 即sin

19、 21 6 x ， 所以 max 24ym， 进而2m，解析式为2sin 22 6 yx 答案：2sin 22 6 yx 例 10： 已知, , ,A B C D E是函数sin0,0 2 yx 一个周期内图像上的五 个点，如图所示，,0 6 A ，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图象的 一个对称中心，,B D关于点E中心对称，CD在x轴上的投影为 12 ，则函数的解析式为 _ 思路： 设图像的最高点为M， 可知,M C关于E中心对称，,B D关于点E中心对称， 所以BM 与CD关于E中心对称， 所以BM在x轴上的投影也为 12 ， 而,0 6 A ， 所以可得AM在 x轴上的投影为 1264 ， 从而42 4 T ， 此时 sin 2f xx ， 将,1 12 M 代入 f x可得：sin 21 12 ，所以2 62 kkZ ，即 3 ，从而 sin 2 3 f xx 答案： sin 2 3 f xx