高中数学讲义微专题22《恒成立问题-参变分离法》讲义.doc
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1、 微专题 22 恒成立问题参变分离法 一、基础知识: 1、 参变分离: 顾名思义, 就是在不等式中含有两个字母时 (一个视为变量, 另一个视为参数) , 可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个 字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数:一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它 的函数,另一个字母(一般为所求)视为参数。 3、参变分离法的适用范围:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法,可遵循以下两点原则: (1) 已知不等式中两个字母是否便于进行分离, 如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,
2、 则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密” ,会出现无法分离的情 形,此时要考虑其他方法。例如: 2 1logaxx, 1 1 1 ax x e x 等 (2)要看参变分离后,已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值) ,若解析式过 于复杂而无法求出最值(或临界值) ,则也无法用参变分离法解决问题。 (可参见”恒成立问 题最值分析法“中的相关题目) 4、参变分离后会出现的情况及处理方法: (假设x为自变量,其范围设为D, f x为函数; a为参数, g a为其表达式) (1)若 f x的值域为,m M ,xD g af x ,则只需要 ming af xm ,xD
3、g xf x ,则只需要 ming af xm ,xD g af x ,则只需要 max=g af xM ,xD g af x ,则只需要 max=g af xM ,xD g af x ,则只需要 maxg af xM ,xD g af x ,则只需要 maxg af xM ,xD g af x ,则只需要 ming af xm ,xD g af x ,则只需要 ming af xm (2)若 f x的值域为,m M ,xD g af x ,则只需要 g am ,xD g af x ,则只需要 g am(注意与(1)中对应情况进行对比) ,xD g af x ,则只需要 g aM ,xD g
4、af x ,则只需要 g aM(注意与(1)中对应情况进行对比) ,xD g af x ,则只需要 g aM(注意与(1)中对应情况进行对比) ,xD g af x ,则只需要 g aM ,xD g af x ,则只需要 g am(注意与(1)中对应情况进行对比) ,xD g af x ,则只需要 g am 5、多变量恒成立问题:对于含两个以上字母(通常为 3 个)的恒成立不等式,先观察好哪些 字母的范围已知(作为变量) ,那个是所求的参数,然后通常有两种方式处理 (1)选择一个已知变量,与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以 解出最值(同时消去一元) ,进而多变量恒成立问
5、题就转化为传统的恒成立问题了。 (2)将参数与变量进行分离,即不等号一侧只含有参数,另一侧是双变量的表达式,然后按 所需求得双变量表达式的最值即可。 二、典型例题: 例 1:已知函数 xx f xeae,若 ( ) 2 3fx 恒成立,则实数a的取值范围是_ 思路:首先转化不等式, ( )xx fxeae,即2 3 x x a e e 恒成立,观察不等式a与 x e便 于分离,考虑利用参变分离法,使, a x分居不等式两侧, 2 2 3 xx aee ,若不等式恒 成立,只需 2 max 2 3 xx aee ,令 2 2 2 333 xxx g xeee (解析(解析 式可看做关于式可看做关
6、于 x e的二次函数,故配方求最值)的二次函数,故配方求最值) max3g x,所以3a 答案:3a 例 2:已知函数 ln a fxx x ,若 2 fxx在1,上恒成立,则a的取值范围是 _ 思路:恒成立的不等式为 2 ln a xx x ,便于参数分离,所以考虑尝试参变分离法 解: 233 lnlnln a xxxxaxaxxx x ,其中1,x 只需要 3 max lnaxxx,令 3 lng xxxx 2 ( )1ln3g xxx (导函数无法直接确定单调区间,但再求一次导即可将lnx变为 1 x ,所以二阶导 函数的单调性可分析,为了便于确定 g x的符号,不妨先验边界值) 12g
7、 , 2 116 60 x gxx xx ,(判断单调性时一定要先看定义域,有可能会简 化判断的过程) g x在1,单调递减, 10( )g xgg x在1,单调递减 11g xg 1a 答案:1a 小炼有话说:求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性,当导函数无法直接判 断符号时,可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数,进而通过单调性和关 键点(边界点,零点)等确定符号。 例 3:若对任意xR,不等式 2 3 32 4 xaxx恒成立,则实数a的范围是 思路:在本题中关于, a x的项仅有2ax一项,便于进行参变分离,但由于xR,则分离参数 时要对x的符号进行讨论,并且利
8、用x的符号的讨论也可把绝对值去掉,进而得到a的范围, 22 33 3223 44 xaxxaxxx, 当0 x 时 , m i n 3 231 4 ax x , 而 333 31312312 444 xxx xxx 221aa;当0 x 时,不等式恒成 立;当0 x时, max 3 231 4 ax x ,而 33 31132 44 xx xx 221aa 综上所述:11a 答案:11a 小炼有话说: (1)不等式含有绝对值时,可对绝对值内部的符号进行分类讨论,进而去掉绝 对值,在本题中对x进行符号讨论一举两得:一是去掉了绝对值,二是参变分离时确定不等号 的是否变号。 (2)在求x解析式最值时
9、根据式子特点巧妙使用均值不等式,替代了原有的构造函数求导出 最值的方法,简化了运算。 (3) 注意最后确定a的范围时是三部分取交集, 因为是对x的取值范围进行的讨论, 而无论x 取何值,a的值都要保证不等式恒成立, 即a要保证三段范围下不等式同时成立, 所以取交集。 例 4: 设函数 2 ( )1f xx, 对任意的 2 3 ,4( )(1)4 ( ) 2 x xfm f xf xf m m 恒 成立,则实数m的取值范围是_ 思路:先将不等式进行化简可得: 2 2 222 1411141 x mxxm m ,即 222 2 1 423mxxx m ,便于进行分离,考虑不等式两边同时除以 2 x
10、,可得: 2 2 22 min 123 4 xx m mx , 2 2 2 2311 321 xx g x xxx , 12 0, 3x 最小值 25 33 g , 242 2 15 412530 3 mmm m 即 22 31430mm解 得: 33 , 22 m 答案: 33 , 22 m 小炼有话说:本题不等式看似复杂,化简后参变分离还是比较容易的,从另一个角度看本题 所用不等式为二次不等式,那么能否用二次函数图像来解决呢?并不是一个很好的办法,因 为二次项系数为关于m的表达式且过于复杂,而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以 在解题时要注意观察式子的结构,能够预想到某种方法所带来的运
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