高中数学讲义微专题27《三角函数的值域》讲义.doc
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1、 微专题 27 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、 形如sinyAx解析式的求解: 详见“函数sinyAx解析式的求解”一节, 本节只列出所需用到的三角公式 (1)降幂公式: 22 1cos21cos2 cos,sin 22 (2)2sincossin2 (3)两角和差的正余弦公式 sinsincossincos sinsincossincos coscoscossinsin coscoscossinsin (4)合角公式: 22 sincossinabab,其中tan b a 2、常见三角函数的值域类型: (1)形如sinyAx的值域:使用换元法,设tx,根据x的范围确定t的范 围,然
2、后再利用三角函数图像或单位圆求出x的三角函数值,进而得到值域 例:求 2sin 2, 44 4 f xxx 的值域 解:设2 4 tx 当, 4 4 x 时, 3 2, 444 tx 22 sin, 22 t 2, 2f x (2)形如sinyfx的形式,即 yf t与sintx的复合函数:通常先将解析式化简为 同角同三角函数名的形式,然后将此三角函数视为一个整体,通过换元解析式转变为熟悉的 函数,再求出值域即可 例:求 2 2 sincos2, 63 f xxxx 的值域 解: 22 sin1sin2sinsin1f xxxxx 设sintx 2 , 63 x 1 ,1 2 t 2 2 13
3、 1 24 yttt 3 ,3 4 y ,即 f x的值域为 3 ,3 4 (3)含三角函数的分式,要根据分子分母的特点选择不同的方法,通常采用换元法或数形结 合法进行处理(详见例 5,例 6) 二、典型例题 例 1:已知向量 cos ,sin3cos,cos3sin , sin,axxxbxxxf xa b (1)求函数 f x的单调递增区间 (2)当)当, 6 4 x 时,求时,求 f x的取值范围的取值范围 解: (1) coscos3sinsin3cossinf xa bxxxxxx 22 cossin2 3sin cosxxxx cos23sin22cos 2 3 xxx 5 222
4、2 336 kxkkxkkZ 单调递增区间为: 5 , 36 kkkZ (2)思路:由(1)可得: 2cos 2 3 f xx ,从, 6 4 x 得到角2 3 x 的范围, 进而求出 f x的范围 解:由(1)得: 2cos 2 3 f xx , 6 4 x 5 2,20 , 3236 xx 3 cos 2,1 32 x 2 c o s23 , 2 3 fxx 小炼有话说:对于形如 sinf xAx的形式,通常可先计算出x的范围,再确 定其三角函数值的范围 例 2:已知函数 cos 22sinsin 344 f xxxx (1)求函数 f x的最小正周期和图像的对称轴方程 (2)求函数 f
5、x在区间, 12 2 的值域 解: (1) cos 22sinsin 344 f xxxx 132222 cos2sin22sincossincos 222222 xxxxxx 22 13 cos2sin2sincos 22 xxxx 1331 cos2sin2cos2sin2cos2 2222 xxxxx sin 2 6 x T 对称轴方程:2 6232 k xkxkZ (2)思路:将2 6 x 视为一个整体,先根据x的范围求出2 6 x 的范围,再判断其正弦值 的范围 解: sin 2 6 f xx , 12 2 x 5 2, 636 x 3 sin 2,1 62 f xx 例 3:函数
6、2 7 cossincos2 4 yxxx的最大值为_ 思路:解析式中的项种类过多,不利于化简与分析,所以考虑尽量转化为同一个角的某一个 三角函数。观察可得cosx次数较低,所以不利于转化,而 2 sin,cos2xx均可以用cosx进行 表示,确定核心项为cosx,解析式变形为 22 7 cos1cos2cos1 4 yxxx,化简 后为 2 2 71 coscoscos2 42 yxxx ,当 1 cos 2 x 时, max 2y 答案:2 小炼有话说:当解析式无法化成sinyAx的形式时,要考虑是否是三角函数与其他 函数的复合函数,进而要将某个三角函数作为核心变量,并将其余的三角函数用
7、核心变量进 行表示,再将核心变量进行换元求出值域即可 例 4:设函数 sincos2f xxx,若, 6 2 x ,则函数 f x的最小值是_ 思路: 同例 4 考虑将解析式中的项统一, 2 2 cos212sin12 sinxxx , 进而可将sinx 作为一个整体,通过换元来求值域。 解: 2 sincos2sin12 sinf xxxxx 设sintx,由, 6 2 x 可得: 1 sin,1 2 x ,从而0,1t 2 2 19 212 48 yttt ,所以 9 0, 8 y 所以最小值为0y 答案:0 例 5:函数 3sin 2sin x f x x 的值域为_ 思路:可将sinx
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