高中数学讲义微专题13《利用函数解决实际问题》讲义.doc

1、 微专题 13 利用数学模型解决实际问题 一、基础知识： 1、使用函数模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核 心变量进行表示） 。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函 数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值 （2）需用到的数学工具与知识点： 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量 之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段 函数进行表示。 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等） ，则 可

2、利用导数分析其单调性，进而求得最值 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找 到最值。 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函 数求解 （3）常见的数量关系： 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如： 平行四边形面积底高 梯形面积 1 2 （上底下底）高 三角形面积 1 2 底高 商业问题： 总价单价数量 利润营业额成本货物单价数量成本 利息问题： 利息本金利率 本息总和本金利息本金利率本金 （4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变 量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的

3、取值应该为正数。 2、使用线性规划模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求 是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 （2）与函数模型的不同之处 函数模型： 体现两核心变量之间的等量关系， 根据一个变量的范围求另一个变量的范围 （或 最值） 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变 量的表达式的最值。 （3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进 行表示） ，并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决 （4）注意事项：在

4、实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优 解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题 （1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点： 正弦定理：设ABC三边, ,a b c所对的角分别为, ,A B C，则有 sinsinsin abc ABC 余弦定理（以a和对角A为例） ， 222 2 c o sabcb cA 三角函数表达式的化简与变形 函数sinyAx的值域 （3）解题技巧与注意事项： 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中 在直角三角形里，已知一条边

5、，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 在图形中要注意变量的取值范围 二、典型例题： 例 1： 如图所示， 将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN， 要求M在AB 的 延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C 点。已知3AB 米，2AD 米。 （1）设xAN （单位：米） ，要使花坛AMPN的面积 大于 32 平方米，求x的取值范围； （2）若)4 , 3x（单位：米） ，则当,AM AN的长度分 别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。 （1）思路：根据相似三角形可得线段比例： NDDC ANAM ，从而解出 3 2 x AM x ，则 2 3 2 AM

6、PN x SAN AM x ，从而可得 2 3 32 2 x x ，解出x的范围即可 解：NDCNAM N DD C A NA M 3 2 DC ANDC ANx AM NDANADx 2 3 2 AMPN x SANAM x 依题意可得： 2 2 3 323326400 2 x xxx x 解得： 8 2,8, 3 x （2）思路：求AMPN面积的最大值，即求表达式 2 3 2 x f x x 的最大值，分离常数求解即 可 解：设 2 3 2 x f x x )4 , 3x 44 32=324 22 f xxx xx 设2tx，则1,2t 则 4 34yt t ，根据对勾函数可得：1t 时，

7、y达到最大值，即27y 此时13tx ，所以 3 3,9 2 x ANAM x 答：当3,9ANAM时，四边形AMPN的面积最大，为 2 27m 例 2：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假 设某网校的套题每日的销售量 y（单位：千套）与销售价格:x（单位：元/套）满足的关系式 2 46 2 m yx x ，其中26,xm为常数已知销售价格为 4 元/套时，每日可售出 套题 21 千套 （1）求m的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元（只考虑销售出的套数） ，试 确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大 （保留

8、 1 位小数） 解： （1）将4,21xy代入关系式可得： 2 214 4610 2 m m （ 2 ） 思 路 ： 依 题 意 可 得 售 出 一 套 ， 所 得 利 润 为2x元 ， 所 以 总 的 利 润 210 246 2 f xxx x ，其中26x，利用导数判定 f x的单调性，进而 可求得最大值点x 解：依题意所获利润 210 2246 2 f xxyxx x 化简可得： 32 456240278f xxxx 26x 2 121122404 3106fxxxxx 令 0fx ，即解不等式31060 xx 26x 解得 10 3 x f x在 10 2, 3 单调递增，在 10 ,

9、6 3 单调递减 f x在 10 3 x 取得最大值，即3.3x 例 3：某人销售某种商品，发现每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x （单位：元/kg） 满足关系式 159, 6 177 , 96 ,)9( 6 150 2 xx x xxa x y，其中a 为常数.已知销售价格为 8 元/kg 时， 该日的销售量是 80kg. （1）求a的值； （2）若该商品成本为 6 元/kg，求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最 大. 解： （1）当8x 时， 2150 8089 86 a ，解得：5a 2150 59,69 6 177 ,915 6 xx x y xx x （2）思

10、路：依题意可得销售商品所获得利润 6f xxy，所以 f x也是一个分段函 数，可以考虑分别求出每段函数值的最大值，然后进行比较即可挑出 f x的最大值。 解：设商品利润为 f x，则有 6f xxy，由第（1）问可得： 2150 659,69 6 6 177 6,915 6 xxx x f xxy xxx x 当69x时， 2 150596f xxx 则 2 592691579fxxxxxx 令 0fx ，由6,9x 解得：67x f x在6,7单调递增，在7,单调递减 7170f xf 当915x时， 2 2 17763186f xxxx f x在9,15单调递减 9150f xf 79f

11、f max170f x 例 4：已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200 千克，配料的价格为 1.8元/千克，每次购买配料需支付运费 236 元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准 如下：7 天以内（含 7 天） ，无论重量度搜好，均按 10 元/天支付，超出 7 天以外的天数，根 据实际剩余配料的重量，以每天 0.03 元/千克支付 （1）当 9 天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？ （2）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数 关系式，并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 解： （1）

12、第 8 天剩余配料为2200400（千克） 第 9 天剩余配料为200千克 该厂用于配料的保管费为：700.03 4000.03 20088P （元） （2）当7x 时，36010236236370yxxx 当7x 时，3602367067621yxxx 2 3321432xx 综上所述： 2 236370 ,7 3321432,7 x x y xxx 设W为平均每天支付的费用，则 2 236370 ,7 3321432 ,7 x x yx W xxx x x 当7x 时， 236370236 370 x W xx ，当7x 时， min 2826 404 7 W 当7x 时， 4321441

13、44 332133213 2321393Wxxx xxx 等号成立条件： 144 12xx x min 393W（元） 例 5：甲，乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学的往返车费是 5 元，每人可 为 3 位老人服务，乙校每位同学往返车费是 3 元，每人可为 5 位老人服务，两校都有学生参 加，甲校参加活动的学生比乙校至少多 1 人，且两校同学往返总车费不超过 45 元，如何安排 甲，乙两校参加活动的人数，才能使收到服务的老人最多？此时受到服务的老人最多有多少 人？ 思路：本题涉及的变量有两个：甲校人数与乙校的人数，且所给条件均为关于两校人数的不 等式，所以可联想到线性规划问题。可

14、设甲校人数为x，乙校人数为y，所求问题为目标函 数35zxy，列出约束条件后通过数形结合即可求出z的最大值 解：设甲校人数为x，乙校人数为y，依题意，, x y应满足的条件为： 5345 1 , xy xy x yN 目标函数 3 35 55 z zxyyx ，通过数形结合 可得。动直线l经过M时，z取得最大值 53456 : 15 xyx M xyy 6,5M max 3543zxy 例 6：如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人 求救，救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处，然后游向 B 处，若救生

15、员在岸边的行进速度为 6 米/秒，在海中的行进速度为 2 米/秒，45BAD。 （1）分析救生员的选择是否正确； （2）在 AD 上找一点 C，使救生员从 A 到 B 的时间为最短，并求出 最短时间 解： （1）思路：所谓“选择是否正确” ，是指方案二所用的时间是否比直接游到B处时间短， 所以考虑分别求出两种方案所用的时间，再进行比较即可。 解：从图形可得： 300 300 2 sin45 AB ，所以 1 300 2 150 2 2 t （s） 而300ADBD，所以 2 300300 200 62 t （s） 12 tt，所以救生员的选择是正确的 （2）思路：要求得时间的最值，考虑创设一个

16、变量x ，并构造出时间关于x的函数 f x ， 再 求 出 f x的 最 小 值 即 可 。 不 妨 设CDx， 则 22 300BCx， 所 以 时 间 22 300300 62 xx f x ，再求导求出 f x的最小值即可 解：设CDx，则 22 300BCx，设所用时间为 f x 22 300300 62 xx f x 22 2222 1123003 62 2 3006 300 xxx fx xx 令 0fx ，即解不等式 2222 330003300 xxxx 222 9300 xx 2 2 300 8 x，解得：75 2x f x在0,75 2单调递减，在75 2,300单调递增

17、min 75 250100 2f xf（秒） 答：当75 2CD 时，救生员所用的时间最短，为50100 2秒 答：甲，乙两校参加活动的人数分别为 6 和 5 时，受到服务的老人最多，最多为 43 人 例 7：某人有楼房一幢，室内面积共计 180m 2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间 面积为 18m 2，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为 15m2，可以住游 客 3 名，每名游客每天住宿费 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少 间，

18、每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为x间，小房间为y间，每天的房租 收益为z元） ，求, x y各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的房租收益 是多少？ 思路：本题的主要变量是, x y，从题目中可发现对, x y的约束条件有 3 个，一个是房间数必 须是非负整数，所以, x yN，第二个条件是室内面积为 2 180m，所以大小房间面积和要不 大于 2 180m，第三个条件是装修费用总和不高于 8000 元，据此列出约束条件： 1815180 10006008000 , xy xy x yN ，所求收益200150zxy，所 以该模型为线性规划问题，数形结合即可。 解

19、：依题意可得对, x y的约束条件为： 18151806560 100060080005340 , xyxy xyxy x yNx yN ，所求目标函数为200150zxy 作出可行域，依图可得：直线过3,8M或0,12M时，z最大，即 max 18000z 答：当大房间为 3 间，小房间为 8 间；或者不设大房间，小房间为 12 间时，收益最大，最大 值为18000元 例 8：某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定， 棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面，该圆面的内接四边 形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界4ABAD万米， 6BC 万米，2CD 万米 （1）请计算

20、原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面半径R的值 （2）因地理条件的限制，边界,AD CD不能变更，而边界,AB BC可以调整，为了提高棚户 区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地 APCD的面积最大，并求最大值 解： （1）在ABC中，由余弦定理可得： 222 2cosACABBCAB BCB 在ADC中，由余弦定理可得： 222 2cosACADDCAD DCD 因为四边形ABCD内接于圆 180BD coscosBD 所以由可得： 2222 462 4 6cos42242cosBB 解得： 1 cos60 2 BB 120D 11 sinsin 22

21、 ABCDABCADC SSSAB BCBAD DCD 11 46sin6024sin1208 3 22 （万平方米） 由余弦定理可得： 222 2cos28ACABBCAB BCB 2 7AC 2 74 21 2 sin33 2 AC R B 22 1 3 R （2）设,APx CPy，可知 APCDAPCADC SSS 由（1）可知2 3 ADC S 若要APCD面积最大，只需 APC S最大 113 sinsin 224 APC SAP CPPAP CPBxy 在APC中，由余弦定理可得： 222 2cosACAPPCAP PCP 即 2222 282cos6028xyxyxyxy 22

22、 2xyxy 22 282xyxyxyxy，即28xy 当且仅当xy时，等号成立 33 2 32 3289 3 44 APCD Sxy 所以四边形APCD的最大面积为9 3万平方米 例 9：如图是一块平行四边形园地ABCD，经测量，20 ,10 ,120ABm BCmABC， 拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度） ， 将该园地分为面积比为3:1的左，右两部分，分别种植不同的花卉，设,EBx EFy（单 位：m） （1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置 （2）求y关于x的函数表达式 （3）试确定点,E F的位置，使得直路EF长度最短 解： （1）当

23、F与C重合时， 1 2 BEF SBE h（设h为平行四边形的高） ABCD SAB h 依题意可得： 1 4 BEFABCD SS即 11 24 BE hAB h 1 2 BEAB即E为AB的中点 （2）E在线段AB上 020 x 当10,20 x时，可得F在线段BC上 20 ,10 ,120ABm BCmABC 3 sin20 10100 3 2 ABCD SAB BCABC 1 25 3 4 EBFABCD SS 13 sin120 24 EBF SBE BFx BF 100 BF x 在BEF中 2 2222 100100 2cos2cos120EFBEBFBE BFEBFxx xx

24、2 2 10000 100yEFx x 当0,10 x时，点F在线段CD上，此时四边形EBCF为梯形或平行四边形 1 10sin60 2 EBCF SxCF，由 1 25 3 4 EBCFABCD SS得： 10CFx 当BECF时， 2 22 102102 10210 cos1202525EFxxxx 当BECF时， 2 22 101022 10102cos602525EFxxxx 即 2 2525yxx 综上所述可得： 2 2 2 10000 100,1020 2525,010 xx xy xxx （3）即求y的最小值 当10,20 x时， 22 22 1000010000 1002100

25、10 3yxx xx 等号成立条件： 2 2 10000 10 xx x 当0,10 x时， 2 575 25 3 24 yx 等号成立条件： 5 2 x min 5 3y，此时2.5,7.5BECF 例 10：如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC， 该曲线段是函数sin0,0,0,4,0yAxAx 的图像， 图像的最高 点为1,2B ，边界的中间部分为长 1 千米的直线段CD，且CDEF，游乐场的后一部分 边界是以O为圆心的一段圆弧DE （1）求曲线FGBC的函数表达式 （2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G，修一条

26、笔直的景观路到O，求景观路GO的长度 （3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸 线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且POE，求平行 四边 形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值 解： （1）由1,2B 可知2A ，4,0F 对于sinyAx，41412T 2 6T 此时2sin 6 yx ，由图像过1,2B 可得： 2sin2sin1 66 2 62 kkZ 2 = 3 曲线FGBC的函数表达式为 2 2sin 63 yx （2）由已知可得1 G y 221 2 s i n1s i n 63632 GG xx 2 =2 636 G xk 或 25 =2 636 G xk 解得：3 12 G xk 或1 12 G xk ，由4,0 G x 可得：3,1G 10OG （3）由图可知，3,1OCCD 2, 6 DOCOD 过P作 1 PPx轴于 1 P 在 1 Rt OPP中 1 sin2sinPPOP 在OMP中 sin120sin 60 OPOM 2 3 sin 602cossin sin1203 OP OM 1 2 32 32 3 2cossin2sin2sin2cos2 333 OMPQ SOMPP 4 32 3 sin 2,0, 3633 2 626 时， OMPQ S的最大值为 2 3 3