2022九年级数学上册全一册教案打包29套新版青岛版.zip

-1-1.1 相似多边形1.1 相似多边形教学目标【知识与能力】1、了解相似多边形的概念.2、在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.【过程与方法】通过探索相似多边形的特征，能识别两个相似多边形的对应顶点、对应角和对应边，会求相对多边形的相似比.【情感态度价值观】通过用符号表示相似多边形及它们的对应元素，发展学生的符号意识.教学重难点【教学重点】相似多边形的定义。【教学难点】判断两个多边形是否相似。课前准备无教学过程教学过程一、创设情景老师：五星红旗是中华人民共和国的国旗.国旗上的左上角有五颗五角星.在现实生活中，你还见到这样形状相同但大小未必相等的图形吗？如图:四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的像，请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数，然后与你的同伴议一议：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？二、新课1、相似形形状相同的平面图形叫做相似形.2、相似多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1四边形ABCD.-2-相似多边形对应边的比叫做相似比.四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为.判断，它们形状相同吗？这两个五边形是相似六边形，即六边形A1B1C1D1E1F1六边形ABCDEF.3、例题演练例 1 如图课本第 6 页图 已知四边形AEFD四边形EBCF.（1）写出他们相等的角及对应边的比例式；（2）若AD=3，EF=4，求BC的长.4、拓展练习下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？(1)正三角形ABC与正三角形DEF；(2)正方形ABCD与正方形EFGH.解:(1)由于正三角形每个角等于 60，所以A=D=60,B=E=60,C=F=60.由于正三角形三边相等，所以AB:DE=BC:EF=CA:FD.解：(2)由于正方形的每个角都是直角，所以A=E=90，B=F=90，C=G=90，D=H=90.由于正方形的四边相等，所以AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE.课堂小结1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.2、相似多边形对应边的比叫做相似比.重要方法：运用相似多边形的性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.12k -1-1.2 怎样判定三角形相似（1）1.2 怎样判定三角形相似（1）教学目标【知识与能力】1了解平行线分线段成比例基本事实及其推论.2会用平行线分线段成比例解决实际问题.【过程与方法】借助方格纸，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确平行线分线段成比例的基本事实；然后把这一基本事实特殊化（应用在三角形中），得到推论，为后面证明相似三角形的判定基本事实做准备.【情感态度价值观】掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力课前准备课件、方格纸.教学过程1.情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，ABBCCD，AA1BB1CC1DD1，那么A1B1和B1C1相等吗？2.新知探究在图 4-6 中，小方格的边长均为 1，直线l1 l2 l3，分别交直线m，n与格点A1，A2，A3，B1，B2，B3.图 4-6（1）计算的值，你有什么发现？（2）将向下平移到如图 4-7 的位置，直线m,n与的交点分别为你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将平移到其他位置呢？2l2l21,BA2l12122323B BB BA AA A与-2-（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？3.分组讨论，得出结论平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.想一想（一）如果把图 1 中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图 2 所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？（二）如果把图 1 中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图 2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.5.例题学习-3-探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l1l2l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若AB3，DE72，EF4，求BC的长.解：直线l1l2l3，且AB3，DE72，EF4，根据平行线分线段成比例可得ABBCDEEF，即BCEFDEAB4723247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l1l2l3，下列比例式中成立的是（）A.ADDFCEBCB.ADBEBCAFC.CEDFADBCD.AFDFBECE解析：由平分线分线段成比例可知ADDFBCCE，故 A 选项不成立；由ADBCAFBE可知 B 选项不成立；由CEDFBCAD可知 C 选项不成立；D 选项成立.故选 D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下上下，上全上全，下全下全”或“上上下下全全”.探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DEBC，若AD：AB34，AE6，则AC等于（）A.3B.4C.6D.8-4-解析：由DEBC可得ADABAEAC，即346AC，AC8.故选 D.易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在ABC的边AB上取一点D，在AC上取一点E，使得ADAE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证：BPCPBDCE.解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP：CP，又含有BD，故可考虑过点C作PD的平行线CF，便可以构造出BPCPBDDF，此时只需证得CEDF即可.证明：如图，过点C作CFPD交AB于点F，则BPCPBDDF，ADDFAECE.ADAE，DFCE，BPCPBDCE.方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.6.课时小结平行线分线段成比例基本事实：(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.-1-1.2 怎样判定三角形相似（2）1.2 怎样判定三角形相似（2）教学目标【知识与能力】1.了解两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理的证明过程.2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.在类比全等三角形的证明方法,探究三角形相似的证明方法的过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过应用三角形相似的判定方法解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度价值观】1.进一步发展学生的探究、交流能力、合情推理能力和逻辑推理意识,并能够运用三角形相似的条件判定三角形相似.2.在三角形相似判定的探究过程中,渗透类比的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.教学重难点【教学重点】能运用两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理证明三角形相似.【教学难点】三角形相似的判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件展示】你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量了金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量出金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度(如图所示),这展示了他非凡的数学及科学才能.过渡语泰勒斯测量金字塔的高度的方法正确吗?通过学习相似三角形的判定及性质,就可以说明他的测量方法是正确的.导入二:(1)证明三角形相似的方法是什么?(三角形相似的定义、由平行线证明三角形相似)(2)全等三角形如何定义的?证明三角形全等有几种方法?(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;SSS,SAS,ASA,AAS,HL)-2-(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?过渡语我们能不能用类似探究三角形全等的方法,探究三角形相似的判定定理呢?导入三:(观察实物并课件展示)观察教师手中的一副三角尺和学生手中的三角尺,其中同样两个锐角(30与 60或 45与45).【思考】(1)如图所示,两个等腰直角三角形的三角板相似吗?说说理由.(2)如图所示,两个含 30角的直角三角形的三角板相似吗?说说理由.(3)如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们是否相似?导入语有三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢?这就是我们今天要探究的主要内容.设计意图以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习的兴趣;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利自然地导出本节课的课题.二、新知构建：过渡语我们知道,有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.当两角对应相等而夹边不相等时,这两个三角形之间有什么关系呢?观察思考:完成导入三中提出的问题.【师生活动】教师提示学生用三角形相似的定义可以证明三角形相似,学生独立完成导入三中问题(1)(2),并作出问题(3)中的猜想,教师对学生的回答进行点评,归纳出猜想“如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们相似.”设计意图完成导入三中的问题,通过用三角形相似的定义证明两个三角形是相似的,然后做出猜想,直接进入本节课的学习,衔接自然,让学生的思维迅速活跃在本节课内容的探究活动中.做一做:【课件展示】如图所示,已知,.(1)分别以,为两个内角,任意画出两个三角形.(2)量出这两个三角形各对应边的长,并计算出相应的比.这两个三角形相似吗?【师生活动】(1)同桌两个分别画出ABC,其中A=,B=.(2)同桌分别测量AB,BC,AC的长度,判断两个三角形是否相似.(3)学生完成测量后,教师几何画板演示:改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别-3-相等,观察两个三角形是否相似.(4)根据操作、测量,师生共同猜想判定三角形相似的方法.设计意图教师通过让学生动手画图、测量,根据三角形相似的定义,判断出画出的三角形是相似三角形(或通过动画演示观察),从而作出猜想,很自然地带着学生的思维走入下一个证明猜想环节,培养学生的动手操作能力,让学生经历知识的形成过程,加深对相似三角形的判定方法的理解和掌握.共同探究两角对应相等的两个三角形相似过渡语通过观察思考、动手操作,我们都发现有两个角对应相等的两个三角形相似,我们能不能证明我们的猜想是正确的呢?【课件展示】如图所示,在ABC和ABC中,A=A,B=B.求证ABCABC.思路一教师引导分析:(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?(由平行线证明三角形相似)(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(在ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=AB,AE=AC,连接DE)(3)根据平行线能否证明ADE与ABC相似?(能)(4)根据已知条件ABC与ADE是否全等?(由 SAS 可证得全等)(5)你能根据上面的分析,完成证明过程吗?【师生活动】学生在教师的引导下积极思考回答问题,完成证明思路的探究活动,然后独立完成证明过程,同时学生板书,教师在巡视中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,规范书写格式,归纳该证明的思路.(板书)证明:如图所示,在ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=AB,AE=AC,连接DE.A=A,ADEABC.ADE=B,AED=C,DE=BC.-4-又B=B,DEBC.ADEABC.=.=.又A=A,B=B,C=C,ABCABC.思路二教师引导:除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?【师生活动】教师给学生足够的时间进行小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示点评并归纳解题思路,规范学生的书写证明过程.教师在归纳证明思路时,说明若ABCABC,ABCABC,则ABCABC.今后我们可以直接应用它.(板书)(证明过程同思路一)追加提问:1.通过上面的证明,你能用语言叙述上面的结论吗?2.怎样用几何语言描述上述结论?【师生活动】学生思考回答,师生共同完成相似三角形判定定理的归纳,然后课件展示.【课件展示】相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似.几何语言:如图所示,在ABC和ABC中,A=A,B=B.则ABCABC.设计意图学生在教师设计的小问题下完成做出的猜想的证明思路,提高学生分析问题、解决问题的能力,通过作辅助线,让学生体会转化思想、数形结合思想在数学中的应用,通过证明猜想、归纳结论等数学活动,提高学生归纳总结能力及严谨的学习态度,培养学生数学思维与能力.例题讲解【课件展示】-5-如图所示,在ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DEBC,DFAC.求证ADEDBF.【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案,教师对学生的板书点评,规范证明过程.(板书)证明:DEBC,ADE=B.又DFAC,A=BDF.ADEDBF.设计意图通过例题展示,让学生进一步体会相似三角形判定定理的运用,鼓励学生独立完成,养成独立思考的习惯,通过规范学生的书写过程,培养学生严谨的学习态度.做一做:【课件展示】如图所示,点D在ABC的边AB上,过点D作直线截ABC,使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条?请把这些直线画出来.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师要给学生充足的时间讨论,在巡视中引导有困难的学生全面地思考问题,学生尝试在黑板上画出符合条件的所有直线,教师点评并归纳总结.追加提问:点D在 RtABC的边AB上,过点D作直线截ABC,使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条?-6-设计意图通过该练习,让学生体会相似三角形判定定理的应用,渗透分类思想在数学中的应用,提高学生的归纳概括能力.知识拓展1.判断两个三角形相似,在有一组对应角相等的情况下,可以选择突破口:寻找另一组对应角相等.2.在应用相似三角形的判定定理时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.三、课堂小结：1.相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似.2.判定定理的证明方法及思路.3.应用三角形相似的判定定理进行计算和证明.-1-1.2 怎样判定三角形相似（3）1.2 怎样判定三角形相似（3）教学目标【知识与能力】1.了解两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用相似三角形的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.经历探索相似三角形判定定理的过程,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的逻辑推理能力,体会数学思维的价值.3.探究相似三角形的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.【情感态度价值观】1.通过画图、观察、猜想、度量验证等实践活动,培养学生获得猜想的经验,激发学生探索知识的兴趣.2.通过动手操作、合作交流、归纳猜想等数学活动,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神.教学重难点【教学重点】能运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理证明三角形相似.【教学难点】相似三角形判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.证明三角形相似的方法是什么?(相似三角形的定义、利用平行线证明三角形相似、相似三角形的判定定理 1)2.探究相似三角形的判定定理 1 的证明时,我们用的什么方法?(在三角形的边上截取线段,由全等三角形及由平行证明三角形相似来证明)过渡语类比“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”,如果两边对应成比例,且夹角相等,那么能不能判定这两个三角形相似呢?导入二:【课件展示】如图所示,有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的,往往需要使-2-用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图,内径AB未知.现用交叉卡钳去测量,若=1,CD=b,那么我们就可以计算内径的长.你知道其中的道理吗?过渡语要想解决测量内径的大小问题,通过今天的学习,我们利用相似三角形,可得内径的长.设计意图通过复习相似三角形的判定定理 1 的证明过程,为用类比法探究证明相似三角形的判定定理 2 做好铺垫;通过测量空心圆柱形机械零件的内径,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣.二、新知构建：过渡语让我们一起探究相似三角形的判定定理 2.一起探究一相似三角形的判定定理思路一教师引导学生操作、思考、交流、归纳.【课件展示】1.动手操作一:画出ABC和ABC,使A=A,=2.【学生活动】学生独立完成画图.2.动手操作二:(1)比较C和C(或B和B)的大小.(C=C;B=B)(2)由比较的结果,能断定ABC和ABC相似吗?(ABCABC)【学生活动】学生通过测量、比较、小组合作交流,完成问题的回答.3.动手操作三:(1)改变对应边的比值和夹角的度数(但保持夹角相等),再画出两个三角形,它们相似吗?(2)你能用语言叙述上面的结论吗?【师生活动】学生动手画图,小组合作交流,得到所画的三角形相似,师生共同归纳猜想.【课件展示】猜想:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.思路二动手操作、测量、比较:(1)画出ABC和ABC,使A=A,=2.(2)画出ABC和ABC,使A=A,=3.(3)比较C和C(或B和B)的大小.-3-(4)由比较的结果,能断定ABC和ABC相似吗?(5)若在ABC和ABC中,A=A,=k,ABC和ABC相似吗?(6)根据上面的操作,你能猜想正确的结论吗?【师生活动】学生独立画图、测量、比较、思考、归纳,小组内合作交流,进行猜想,教师对学生的回答进行点评,课件展示猜想.【课件展示】猜想:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.设计意图通过学生动手画图、测量、思考、交流、归纳等数学活动,师生共同进行猜想,为探究相似三角形的判定定理做好铺垫,培养学生动手操作、归纳总结能力,激发学生的学习兴趣,体会由特殊到一般的数学思想方法.一起探究二证明两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似过渡语如何证明我们的猜想是正确的呢?【课件展示】已知:如图所示,在ABC和ABC中,=,A=A.求证:ABCABC.【思考】1.你有什么方法证明该结论?(先作出一个与ABC相似的三角形,再证明作出的三角形与ABC全等)2.你能写出你的证明过程吗?3.用语言叙述这个命题,并用几何语言表示.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.【课件展示】证明:如图所示,在ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=AB,过点D作DEBC,交AC于点E.-4-ABCADE,=.=,AD=AB,=.AE=AC.又A=A,ADEABC.ABCABC.相似三角形的判定定理:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.几何语言:如图所示,若=,A=A.则ABCABC.追加提问:在ABC和ABC中,=,B=B,这两个三角形一定相似吗?【师生活动】学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.设计意图学生类比相似三角形的判定定理 1 的证明思路,完成相似三角形判定定理 2 的证明,证明过程中,教师引导学生作辅助线,让学生体会转化思想、数形结合思想在数学中的应用,通过探究相似三角形的判定定理,提高学生归纳总结能力及严谨的学习态度,培养学生数学思维与能力的提高.例题讲解【课件展示】-5-已知:在ABC与ABC中,A=A=60,AB=4cm,AC=8cm,AB=11cm,AC=22cm.求证:ABCABC.【师生活动】学生独立完成,对有困难的学生教师引导其应用相似三角形的判定定理,通过证明两边对应成比例且夹角相等,来证得这两个三角形相似,学生板书证明过程,教师点评并规范书写格式.(板书)证明:=411,=822=411,=.又A=A=60,ABCABC.设计意图通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.知识拓展1.对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理 2 判定两个三角形相似.2.在应用相似三角形的判定定理 2 时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.3.在应用相似三角形的判定定理 2 时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.三、课堂小结：1.相似三角形的判定定理 2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.应用相似三角形的判定定理 2 时的注意事项.3.证明三角形相似的方法:平行线法、判定定理 1、判定定理 2.-1-1.2 怎样判定三角形相似（4）1.2 怎样判定三角形相似（4）教学目标【知识与能力】1.了解三边成比例的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用相似三角形的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.2.通过应用相似三角形的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度价值观】1.探究相似三角形的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.2.在相似三角形判定定理的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.教学重难点【教学重点】能运用三边成比例的两个三角形相似证明三角形相似.【教学难点】相似三角形判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:(1)相似三角形的判定定理 1 和 2 的内容是什么?(2)用什么方法证明的判定定理 1 和 2?【师生活动】学生回答问题,对学生出现的问题教师及时纠正,并强调易错点.导入二:学校为了改善环境,在一片空地上修建一块三角形草地,图纸如图(1)所示,完工后小明想要确定图(2)的草坪是否和图纸中的三角形相似,你能帮帮他吗?导入语根据前边的学习,我们判断三角形相似需要两个对应角相等或两边对应成比例且夹角相等,而图纸中的三角形没有角的大小,只有边的大小,我们只测量三角形草坪边的大小,能否判定三角形相似就是本节课的学习任务.设计意图通过复习相似三角形的判定方法及定理证明思路,为本节课用类比方法探究另一个判定定理做好铺垫;以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生-2-学习的兴趣.二、新知构建：过渡语让我们一起探究,根据三角形三边之间的关系,如何判定两个三角形相似.一起探究三条边对应成比例的两个三角形相似思路一动手操作:(1)同桌分别画一个ABC和ABC,使AB=1.5cm,AC=2.5cm,BC=2cm;AB=3cm,AC=5cm,BC=4cm.(2)比较ABC与ABC各个角,它们对应相等吗?这两个三角形相似吗?【学生活动】学生动手画图,然后通过测量三角形的内角,根据相似三角形的判定定理判定三角形相似.(3)如果一个三角形的三边长分别是另一个三角形三边长的k倍,那么这两个三角形是否相似?【学生活动】学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定两个三角形相似.(4)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形相似.你能证明这个结论吗?【课件展示】已知:如图所示,在ABC和ABC中,=.求证:ABCABC.教师引导分析:(1)上节课证明两个三角形相似,如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(2)类比上节课的证明思路,尝试证明.【学生活动】学生独立完成证明过程,小组内交流答案,学生展示证明过程,教师点评,并规范证明格式.-3-【课件展示】证明:如图所示,在ABC的边AB上截取AE=AB,过点E作EFBC,交AC于点F,则ABCAEF,=.在ABC和AEF中,=,且AE=AB,=.又=,AF=AC,EF=BC.AEFABC.ABCABC.(3)用语言叙述以上得到的结论,并用几何语言表示.【师生活动】学生独立思考并回答,教师点评,师生共同归纳相似三角形的判定定理.【课件展示】相似三角形的判定定理:三条边对应成比例的两个三角形相似.几何语言:如图所示,若=,则ABCABC.思路二(1)猜想:类比 SSS 证明两个三角形全等,猜想:三边对应成比例的两个三角形相似.(2)证明你的猜想.【课件展示】已知:如图所示,在ABC和ABC中,=.求证:ABCABC.-4-教师引导:类比上节课证明相似三角形的判定定理的证明思路完成证明.【师生活动】学生独立完成证明过程,小组内交流答案,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示点评,规范学生书写证明过程.(证明过程同思路一)(3)归纳总结:相似三角形的判定定理及几何语言表示.【课件展示】相似三角形的判定定理:三条边对应成比例的两个三角形相似.几何语言:如图所示,若=,则ABCABC.设计意图通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件,体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的数学精神.例题讲解过渡语我们学习了相似三角形的判定方法,让我们一起完成下面的证明.【课件展示】已知:如图所示,在 RtABC与 RtABC中,B=B=90,=.求证:RtABCRtABC.-5-教师引导分析:由于三边对应成比例的两个三角形相似,而已知条件中有两边对应成比例,所以只需证明另一对直角边成比例即可.在直角三角形中三边之间的关系满足勾股定理,所以可设=k,利用勾股定理分别求出BC,BC的值,进而求得=k,从而结论得证.【学生活动】学生在教师的引导下独立完成,小组内交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生展示后教师点评.【课件展示】证明:设=k,则AB=kAB,AC=kAC.根据勾股定理,得BC=2-2=22-22=k2-2=kBC.=.RtABCRtABC.追加提问:1.你能归纳判定两个直角三角形相似的条件吗?(一个锐角相等或两边对应成比例)2.我们可以用几种方法证明三角形相似?(平行线法、两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等,三边对应成比例)【师生活动】小组内合作交流,师生共同归纳结论.【课件展示】直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.设计意图学生在教师的引导下思考后合作交流,类比全等直角三角形的判定,探索出相似直角三角形的判定方法,学生亲身经历知识的形成过程,体会数学的严谨性,提高分析问题的能力,使学生在探索中提升数学思维.知识拓展1.当已知条件中有三边时,可考虑用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.2.在应用本课时所学的相似三角形的判定定理时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似.三、课堂小结：1.相似三角形的判定定理:三条边对应成比例的两个三角形相似.2.证明三角形相似的方法:平行线法、判定定理 1,2,3.3.证明直角三角形相似的方法:直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.-1-1.3 相似三角形的性质1.3 相似三角形的性质教学目标【知识与能力】1.了解相似三角形对应线段的比等于相似比.了解相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.2.能应用相似三角形的性质进行有关计算.能应用相似三角形的性质进行有关周长、面积的计算.【过程与方法】1.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会探索研究问题的一般思路和方法.2.利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度价值观】1.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力.2.经历观察猜想证明归纳等探究过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.教学重难点【教学重点】相似三角形的性质定理的探索及应用.【教学难点】相似三角形性质的归纳推理.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.什么叫相似三角形?判定方法有哪些?2.相似三角形有哪些基本特征?【师生活动】学生思考回答,教师点评.导入语我们已经知道:两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例,除了这些基本性质外,还有什么性质呢?这就是我们这节课要探究的内容.导入二:【课件展示】小华做小孔成像实验,如下图,已知蜡烛与成像板间的距离为l,当蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时,蜡烛焰AB是像AB的一半长?【教师活动】教师展示课件,导出课题.设计意图通过复习相似三角形的概念和判定方法,做好新旧知识之间的衔接;由生活实际问题导出课题,激发学生的学习兴趣,感受数学与其他学科之间的联系.-2-二、新知构建：过渡语全等三角形的对应高、对应中线和对应角平分线分别相等.两个相似三角形,它们的对应高、对应中线和对应角平分线的比与它们的相似比之间有什么关系呢?通过今天的学习,我们将得到结论.一起探究相似三角形的性质思路一相似三角形的对应线段的比等于相似比.【课件展示】如图所示,ABCABC,相似比为k,其中AD,AD分别是BC和BC上的高,那么AD与AD的比与相似比之间有怎样的关系?【思考】(1)图中的ABD和ABD相似吗?如何证明?(2)由相似三角形的性质,你能得到AD与AD的比与相似比之间的关系吗?(3)请写出你的解答过程.(4)你能叙述你得到的结论吗?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,学生完成解答过程,小组代表板书,教师及时帮助有困难的学生,并规范书写格式.【课件展示】相似三角形对应高的比等于相似比.已知:如图所示,ABCABC,相似比为k,AD,AD分别为BC,BC边上的高.求证:=k.证明:ABCABC,B=B.又ADBC,ADBC,ADB=ADB=90,ADBADB.=k.追加提问:(1)能去掉性质中的对应两个字吗?-3-(2)如图所示,ABCABC,相似比为k.AE与AE分别为BC,BC边上的中线,AF与AF分别为BAC和BAC的平分线.猜想:AE和AE的比、AF和AF的比分别与相似比有怎样的关系?(3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗?(4)怎样用语言描述上述结论?【师生活动】学生独立完成证明过程,小组内合作交流答案,小组代表展示证明过程,师生共同点评,共同归纳相似三角形的性质.【课件展示】相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.1.已知:如上图所示,ABCABC,相似比为k,AE,AE分别为BC,BC边上的中线.求证:=k.证明:ABCABC,B=B,=.又AE与AE分别为BC,BC边上的中线,BE=12BC,BE=12BC,=,ABEABE.=k.2.已知:如上图所示,ABCABC,相似比为k,AF,AF分别为BAC,BAC的平分线.求证:=k.证明:ABCABC,B=B,BAC=BAC.又AF,AF分别为BAC,BAC的平分线,BAF=12BAC,BAF=12BAC,BAF=BAF,ABFABF.=k.思路二动手操作:(1)让学生作出两个三角形ABC与ABC,使ABCABC,并通过测量得出相似比.-4-(2)分别过点A作ADBC,ADBC,垂足分别为D,D.(3)测量两个三角形的高AD与AD,求出的值.(4)猜想:相似三角形对应高的比与相似比之间的关系.(5)证明你的猜想.【师生活动】学生测量比较后小组合作交流结果,完成猜想及证明,小组代表板书过程,教师巡视过程中帮助有困难的学生,并及时发现问题,在点评时强调易错点.【课件展示】相似三角形对应高的比等于相似比.已知:如图所示,ABCABC,相似比为k,AD,AD分别为BC,BC边上的高.求证:=k.证明:同思路一.追加提问:(1)能去掉性质中的对应两个字吗?(2)如图所示,ABCABC,相似比为k.AE与AE分别为BC,BC边上的中线,AF与AF分别为BAC和BAC的平分线.猜想:AE和AE的比、AF和AF的比分别与相似比有怎样的关系?(3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗?(4)怎样用语言描述上述结论?【师生活动】学生独立完成证明过程,小组内合作交流答案,小组代表展示证明过程,师生共同点评,共同归纳相似三角形的性质.【课件展示】相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.1.已知:如上图所示,ABCABC,相似比为k,AE,AE分别为BC,BC边上的中线.求证:=k.证明:同思路一.2.已知:如上图所示,ABCABC,相似比为k,AF,AF分别为BAC,BAC的平分线.求证:=k.-5-证明:同思路一.【课件展示】归纳性质:相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比,都等于相似比.设计意图思路一在教师的引导下,由相似三角形的性质得对应角相等,然后利用相似三角形的判定定理证出三角形相似,从而得到对应高的比等于相似比;思路二通过测量,提出猜想,然后小组交流,完成猜想的证明.通过学生的自主探究,完成知识的形成过程,提高学生数学思维和解决问题的能力.例题讲解【课件展示】如图所示,在ABC中,ADBC,垂足为D,EFBC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,=35,AD=15.求AG的长.教师引导思考:(1)由EFBC可以得到哪两个三角形相似?(2)相似三角形的相似比是多少?(3)AG与AD是不是相似三角形的对应线段?(4)根据相似三角形的性质能否求出线段AG的长?【师生活动】学生在教师提出的问题的引导下思考,独立完成解答过程,小组内交流答案,教师对学生的展示进行评价,并规范解题格式.【课件展示】解:EFBC,AEFABC.ADBC,ADEF.=.又=35,AD=15,15=35,AG=9.设计意图学生在教师的引导下共同完成例题的探究,加深对相似三角形的性质的理解和掌握,提高学生的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力.知识拓展相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等.【师生活动】学生独立思考回答,教师点评.-6-【课件展示】某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为 100平方米、周长为80米的三角形绿化地.由于马路的拓宽,绿地被削去一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边BC的长由原来的 30 米变为 18 米.那么被削去的部分的面积有多少?你能解决这个问题吗?【教师活动】教师展示课件,导出课题.导入语通过今天的学习,我们利用相似三角形的性质可以解决有关周长、面积的问题.过渡语上节课我们探究了相似三角形的对应线段比等于相似比,那么相似三角形的周长比、面积比与相似比有什么关系呢?让我们一起去探究.一起探究相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系思路一活动一:根据图上标出的数据,回答下列问题:【思考】(1)根据图中数据易知两个直角三角形相似,相似比是多少?(2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系?(3)计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系?【师生活动】学生独立完成后回答教师提出的问题.活动二:(1)猜想 1:任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系?(2)你能证明猜想 1 的