2024年九年级中考数学复习:二次函数与线段问题综合压轴题 刷题练习题汇编(Word版含答案).docx
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1、2024年九年级中考数学复习:二次函数与线段问题综合压轴题 刷题练习题汇编1如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A12,0,B52,0两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)点D是直线BC下方抛物线上一点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E求直线BC的解析式;当线段DE的长度最大时,求点D的坐标2如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax22x+b与x轴的两个交点为A1,0和B3,0,与y轴的交点为C,顶点为点D(1)求a、b的值;(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点,当PA=PC时,求点P的坐标;(3)若点M0,m使得MBD是以BD为斜边的直角三角形,其中0m0交x轴
2、于点A,B(点A在点B左侧),交y轴于点C,且OB=OC=3OA,点D为抛物线上第四象限的动点(1)求抛物线的解析式(2)如图1,直线AD交BC于点P,连接AC,BD,若ACP和BDP的面积分别为S1和S2,当S1S2的值最小时,求直线AD的解析式(3)如图2,直线BD交抛物线的对称轴于点N,过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点M,当点D运动时,线段MN的长度是否会改变?若不变,求出其值;若变化,求出其变化的范围12如图1,点A为直线l:y=12x12与抛物线y=x2+2x+3在x轴上的一个交点,点Bm,2为直线l:y=12x12上一点,抛物线y=x2+2x+3与y轴交于点C(1)求ABC
3、的面积;(2)点P是直线l上方的抛物线上一点,过 P作PEx轴交直线l于E,P作PFy轴交直线l于F,求PE+PF的最大值及此时点P的坐标;(3)如图2,将抛物线y=x2+2x+3向右平移2个单位得到新抛物线y,平移后的抛物线y与原抛物线交于点Q,点M是新抛物线y的对称轴上一点若AQM是以AQ为腰的等腰三角形,请直接写出点M的坐标13如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B(A左B右),与y轴交于点C,直线y=x+3经过点B、C,AB=4(1)求抛物线的解析式;(2)点D在直线BC上方的抛物线上,过点D作x轴的垂线,垂足为F,交BC于点E,DE=2E
4、F,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,点G在点B右侧x轴上,连接CG,AC,ACO=12AGC,过点G作GPx轴交抛物线于点P,连接BP,点H在y轴负半轴上,连接HF,若OHF+GPB=45,连接DH,求直线DH的解析式14如图,抛物线y=x2+3x+4与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于C点,抛物线的对称轴l与x轴交于点N,长为1的线段PQ(点P位于点Q的上方)在x轴上方的抛物线对称轴上运动(1)直接写出A,B,C三点的坐标;(2)求CP+PQ+QB的最小值;(3)过点P作PMy轴于点M,当CPM和QBN相似时,求点Q的坐标15已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A4,
5、0、B1,0、C0,4(1)求抛物线解析式和直线AC的解析式;(2)如图(1),若点P是第四象限抛物线上的一点,若SPAC=20,求点P的坐标;(3)如图(2),点M是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与A、C重合),过点M作MH垂直AC于点H,求MH的最大值16如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC,点D在函数图象上,CDx轴且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点(1)求b、c的值;(2)如图1,连BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3)如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与B
6、C交于点M、与抛物线交于点N试问:抛物线上是否存在点Q,使得PQN与APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由17如图,抛物线y=ax2+bx4a0与x轴交于A4,0和B1,0两点,与y轴交于点C,点P是直线AC下方的抛物线上一动点 (1)求抛物线的解析式;(2)过点P作PDx轴于点D,交直线AC于点E,求线段PE的最大值及此时点P的坐标;(3)取(2)中PE最大值时的P点,在坐标平面内是否存在点Q,使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由18在平面直角坐标系中,抛物线y=mx24mx+4m+6m
7、0与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D(1)当m=6时,直接写出点A,C,D的坐标;(2)如图1,直线DC交x轴于点E,若tanBED=43,求m的值及直线DE的解析式;(3)如图2,在(2)的条件下,若点Q为OC的中点,连接BQ,动点P在第一象限的抛物线上运动,过点作x轴的垂线垂足为H,交BQ于点M,交直线ED于点J,过点M作MNDE,垂足为N是否存在PM与MN和的最大值若存在,求出PM与MN和的最大值;若不存在,请说明理由19如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,点A,B在x轴上,抛物线y=ax2+bx3经过点B,D4,5两点,且与直线DC交于另
8、一点E (1)求抛物线的解析式及对称轴;(2)F为抛物线对称轴上一点,Q为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;(3)P为y轴上一点,过点P作抛物线对称轴的垂线,垂足为M,连接ME,BP,探究EM+MP+PB是否存在最小值若存在,请求出这个最小值及点M的坐标;若不存在,请说明理由20抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交于A1,0、B4,0、C0,2三点点P为抛物线上位于BC上方的一动点(1)求抛物线的解析式;(2)如图,过点P作PFx轴于点F,交BC于点E,连结CP、CF当SPCE=2SCEF时,求点P
9、的坐标;(3)过点P作PGBC于点G,是否存在点P,使线段PG、CG的长度是2倍关系?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由第 10 页 共 46 页参考答案1(1)解:抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A12,0,B52,0两点,14+12b+c=0254+52b+c=0解得b=3c=54故该抛物线解析式为:y=x23x+54;(2)解:令x=0,得y=54, C0,54设直线BC的解析式为y=kx+b,则有52k+b=0b=54解得k=12b=54直线BC的解析式为y=12x+54;设D坐标为m,m23m+54,点E坐标为m,12m+54,设DE的长为d,D是直线BC下方的一点,d=
10、12m+54m23m+54=m2+52m=m542+2516,当m=54时,线段DE的长度最长,此时D54,15162(1)解:将A1,0和B3,0代入y=ax22x+b得,a2+b=09a+6+b=0解得:a=1b=3抛物线解析式为y=x22x+3,(2)由y=x22x+3,令x=0,解得:y=3,C0,3y=x22x+3=x+12+4,顶点坐标为D1,4,对称轴为直线x=1,点P为该抛物线对称轴上的一个动点,设P1,p,A1,0,PC2=1+p32,PA2=1+12+p2,PA=PC1+p32=1+12+p2解得:p=1点P的坐标为1,1;(3)解:B3,0,D1,4,BD=22+42=2
11、5,点M0,m,其中0m4,使得MBD是以BD为斜边的直角三角形,设点Q为BD的中点,则Q2,2,如图所示,以Q为圆心12PD为半径作圆,交y轴于点M,QM=12BD=5,即22+2m2=5,解得:m=1或m=33(1)解:抛物线的顶点为Q2,1,可设y=ax221,将C0,3代入上式得3=a0221,解得:a=1,该抛物线的函数关系式为y=x221=x24x+3;(2)解:令y=0,得0=x24x+3,解得x1=1,x2=3,点A在点B的右边,A3,0,B1,0,设直线AC的函数关系式为y=mx+n,将A3,0,C0,3代入上式得,0=3m+n3=n,解得:m=1n=3,直线AC的函数关系式
12、为y=x+3,D在直线y=x+3上,P在抛物线y=x24x+3上,且PDy轴,Dx,x+3,Px,x24x+3,l=PD=x+3x24x+3=x2+3x=x322+94,即l与x的函数关系式为l=x2+3x,当x=32时,l取得最大值为94(3)解:分两种情况:当点P为直角顶点时,如图1,点P与点B重合,由(2)可知B1,0,P1,0当点A为直角顶点时,如图2,OA=OC,AOC=90,OAD=45,当DAP=90时,OAP=45,AO平分DAP,又PDy轴,PDAO,P与D关于x轴对称,Dx,x+3,Px,x24x+3,x+3+x24x+3=0,整理得x25x+6=0,x1=2,x2=3(舍
13、去),当x=2时,y=x24x+3=2242+3=1,P的坐标为2,1满足条件的P点坐标为1,0或2,14(1)解:B点坐标为1,0,OB=1,又OA=OC=3OB,OA=OC=3,A3,0,C0,3,将A,B,C三点代入解析式得,9a3b+c=0a+b+c=0c=3,解得a=1b=2c=3,抛物线的解析式为:y=x2+2x3;(2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2+2x3,对称轴为直线x=b2a=1, 当x=1时,y=12+213=4, D点的坐标为1,4,AD=132+402=25,AC=32+032=32,CD=12+12=2,AD2AC2+CD2,ACD是直角三角形,SABC=12A
14、CCD=12322=3;(3)设直线AC的解析式为y=sx+t,代入A,C点坐标,得3s+t=0t=3,解得s=1t=3,直线AC的解析式为y=x3,如右图,过点P作y轴的平行线交AC于点H,OA=OC,OAC=OCA=45,PHy轴,PHE=OCA=45,设点Px,x2+2x3,则点Hx,x3,PH=x3x2+2x3=x23x,PE=PHsinPHE=x23x22=22x+322+928,, 当x=32时,PE有最大值为928,此时P点的坐标为32,1545(1)解:抛物线y=ax2+bx4与x轴交于A1,0,B4,0两点,ab4=016a+4b4=0,解得:a=1b=3,y=x23x4;(
15、2)解:y=x23x4,当x=0时,y=4,C0,4,设直线BC的解析式为:y=kx+m(k0),则:m=44k+m=0,解得:m=4k=1,直线BC的解析式为:y=x4,过点P作PDx轴于点D,交BC于点E,设Pt,t23t4,则:Et,t4,PE=t4t23t4=t2+4t,SBPC=12PExBxC=12t2+4t4=2t2+4t=2t22+8;20,点P为BC下方抛物线上一动点,0t4,当t=2时,SBPC的面积最大为8,此时P2,464,即:P2,6;(3)解:过点C在y轴右侧作直线CF交x轴于点F,使OCF=30,过点N作NMCF于点M,则:MN=12CN,AN+12CN=AN+M
16、NAM,当A,N,M三点共线时,AN+12CN的值最小,即为AM的长,如图:A1,0,C0,4,OA=1,OC=4,FCO=30,AFM=60,CF=OCcos30=833,OF=12CF=433,AF=OA+OF=1+433,AM=AFsin60=1+43332=32+2;AN+12CN的最小值为32+26(1)解:把点A1,0,B3,0代入y=ax2+bx+3,得: ab+3=09a+3b+3=0,解得:a=1b=2抛物线的表达式为y=x2+2x+3;(2)解:设Mm,0,则Em,m2+2m+3,抛物线y=x2+2x+3与y轴相交于点C,C0,3设直线BC解析式为y=kx+b,直线BC经过
17、点B,C,3k+b=0b=3,解得k=1b=3 直线BC的解析式为y=x+3,Fm,m+3,又Em,m2+2m+3,EF=m2+2m+3m+3=m2+3m=m322+94;当m=32时,EF取得最大值94;(3)解:存在以点C,E,F为顶点的三角形与ABC相似,理由如下:设Mm,0,由(2)得:EF=m2+3m,如图,过点F作FGy轴于点G,则FG=m,由(1)可得:OB=OC=3,AB=4,BC=32,ABC=BCO=MFB=CFE=45,CFG是等腰直角三角形,CF=2m当以点C,E,F为顶点的三角形与ABC相似时,B与F为对应顶点当ABCCFE时,ABCF=BCFE,即42m=32m2+
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