河南省南阳市2017届高三数学下学期期中质量评估试题 [理科](word版，有答案).doc

1、 1 南阳市 2016年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题（理） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 . 1.已知集合 , P ab? ，集合 | M t t P?，则 P 与 M 关系为（ ） A PM? B PM? C MP? D PM? 2.复数 z 为 纯虚数，若 (3 )i z a i? ? ? （ i 为虚数单位），则实数 a 的值为（ ） A 13? B 3 C -3 D 13 3.已知点 (0,1)A ， (3,2)B ，向量 ( 4, 3)AC? ? ? ， 则向量

2、 BC 等于 （ ） A ( 7, 4)? B (7,4) C ( 1,4)? D (1,4) 4.若 co s 2 sin 5? ? ?，则 tan? （ ） A 12 B 2 C. 12? D -2 5.设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和， 5 2 83( )S a a?，则 53aa 的值为（ ） A 16 B 13 C. 35 D 56 6.已知向量 (2 cos , 2 sin )a ? ， (0, 2)b?， ( , )2? ，则向量 ,ab的夹角为（ ） A 32? ? B 2? C. 2? ? D ? 7.将函数 ( ) s in ( 2 ) ( | | )2f x x

3、 ? ? ?的图象向左平移 6? 个单位长度后，所得函数 ()gx的图象关于原点对称，则函数 ()fx在 0, 2? 的最小值为（ ） A 12? B 12 C. 32? D 32 8.已知 ( ) ( )( ) 2f x x a x b? ? ? ?， ,mn是方程 ( ) 0fx? 的两根，且 ,a b m n?，则 实数 , , ,abmn的大小关系是（ ） A m a b n? ? ? B a m n b? ? ? C. a m b n? ? ? D m a n b? ? ? 2 9.已知 ab? ，若函数 ( ), ( )f x g x 满足 ( ) ( )bbaaf x dx g

4、x dx?，则称 ( ), ( )f x g x 为区间 , ab 上的一组“等积分”函数，给出四组函数： ( ) 2 | |, ( ) 1f x x g x x? ? ?； ( ) sin , ( ) co sf x x g x x?； 223( ) 1 , ( ) 4f x x g x x? ? ?；函数 ( ), ( )f x g x 分别是定义在 1,1? 上的奇函数且积分 值存在 . 其中为区间 1,1? 上的“等积分”函数的组数是（ ） A 1 B 2 C. 3 D 4 10.设等差数列 na 的前 n 项和 nS ，若 4 10S? ， 5 15S? ，则 4a 的最大值为（ ）

5、 A 2 B 3 C. 4 D 5 11.已知函数 ()fx是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 ()fx，当 0x? 时， 2 ( ) ( ) 0f x xf x?恒成立，则 (1 ) , 2 0 1 6 ( 2 0 1 6 ) , 2 0 1 7 ( 2 0 1 7 )f f f的大小关系为（ ） A 2 0 1 7 ( 2 0 1 7 ) 2 0 1 6 ( 2 0 1 6 ) (1 )f f f? B 2 0 1 7 ( 2 0 1 7 ) (1 ) 2 0 1 6 ( 2 0 1 6 )f f f? C. (1 ) 2 0 1 7 ( 2 0 1 7 ) 2 0 1 6 ( 2 0

6、1 6 )f f f? D (1 ) 2 0 1 6 ( 2 0 1 6 ) 2 0 1 7 ( 2 0 1 7 )f f f? 12.已知实数 ,xy分别满足： 3( 3 ) 2 0 1 6 ( 3 )x x a? ? ? ?， 3( 2 3 ) 2 0 1 6 ( 2 3 )y y a? ? ? ? ?，则2244x y x?的最小值是（ ） A 0 B 26 C. 28 D 30 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13.若 3sin( )45x? ?，则 sin2x 的值为 14.集合 2 | 0A x x a? ? ?， | 2B x x

7、?，若 RCA B? ，则实数 a 的取值范围是 15.如图，已知 OCB? 中， ,BC关于点 A 对称， D 是将 OB 分成 2:1的一个内分点， DC 和 OA 交于点 E ，若 OE OA? ，则实数 ? 的值为 3 16.定义函数 ( ) f x x x? ，其中 x 表示不小于 x 的最小整数，如 1.5 2? ， 2.5 2? ? ，当*(0, ,x n n N?时，函数 ()fx的值 域为 nA ，记集合 nA 中元素的个数为 na ，则 na? 三、解答题 （ 本大 题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. （本小题满分 10 分）

8、 设 3( ) 21xfx x?的定义域为 A ， ( ) l g ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )g x x a a x a? ? ? ? ?的定义域为 B . （ 1）求 ,AB； （ 2）若 : , :p x A q x B?， p? 是 q? 充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 . 18. （本小题满分 12 分） 设 ABC? 的内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，已知s in ( ) s in s ina b a cA B A B?， 3b? . （ 1）求角 B ； （ 2）若 3sin 3A? ，求 ABC? 的面积 . 19. （本小题满分 12 分） 已知： ,

9、abc是同一平面内的三个向量，其中 (1,2)a? . （ 1）若 | | 2 5c? ，且 /ca，求 c 的坐标； （ 2）若 5|2b? ，且 2ab? 与 2ab? 垂直，求 a 与 b 的夹角 ? . 20. （本小题满分 12 分） 已知函数 4 2 1() 4 2 1xxxxkfx ? ? ? ?. （ 1）若对任意的 xR? ， ( ) 0fx? 恒成立，求实数 k 的取值范围； 4 （ 2）若 ()fx的最小值为 -2，求实数 k 的值 . 21. （本 小题满分 12 分） 设数列 na 满足 *13 2 ( 2 , )nna a n n N? ? ? ?，且 1 2a?

10、， 3log ( 1)nnba?. （ 1）证明：数列 1na? 为等比数列； （ 2）求数列 nnab 的前 n 项和 nS ； （ 3）设13nnnnc aa? ，证明： 1 14n ni c? ? . 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 1 ( )xf x e ax a R? ? ? ?. （ 1）求函数 ()fx的单调区间； （ 2）当 (0,2x? 时，讨论函数 ( ) ( ) lnF x f x x x?零点的个数； （ 3）若 ( ) ln ( 1) lnxg x e x? ? ?，当 01a?时，求证： ( ) ( )f g x f x? . 5 试卷答案 一、

11、选择题 :DDABD ACACC DC 二、填空题： 13.725 14.? ?,4? 15.0.8 16. ( 1)2n nna ?三、解答题： 17.解：（ 1）由 2 0，解得 x 1或 x 1，即 A=? ?1,- ? ? ?,1 ? 2分 由（ x a 1）（ 2a x） 0得：（ x a 1）（ x 2a） 0， 由 a 1得 a+1 2a， 2a x a+1， B=（ 2a， a+1） ? 5分 （） p： x A， q： x B， p是 q充分不必要条件， p是 q 必要不充分条件， 或 解得 a 1，或 a 2， 故实数 a 的取值范围为（， 2 ， 1） ? 10分 18.

12、 解：（）因为 si n( ) si n si na b a cA B A B?所以 a b a cc a b? ? 2 2 2a b ac c? ? ? ?2 2 2 1c o s 2 2 2a c b a cB a c a c? ? ? ? 又(0, )B ?， 3B ? ? 6分 （）由 3b? ， 3sin 3A? ， sin sinabAB? ，得 2a? . 由 ab? 得 AB? ，从而 6cos 3A? ， 故 3 3 2s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i n 6C A B A B A B ? ? ? ? ? . 所以 ABC? 的面积为

13、 1 3 3 2s in 22S a b C ?. ? 12 分 19.解：（ 1）设 ， | |=2 ，且 ， 6 ，解得 或 ， 故 或 ? 6分 （ 2） ， ， 即 ， ， 整理得 ， ? ， 又 0， ， =? 12 分 20.解：（ 1）因为 4x+2x+1 0，所以 f（ x） 0恒成立，等价于 4x+k?2x+1 0恒成立， 即 k 2x 2 x恒成立， 因为 2x 2 x=（ 2x+2 x） 2，当且仅当 2x=2 x即 x=0时取等号，所以 k 2； ? 6 分 （ 2） ， 令 ，则 ， 当 k 1时， 无最小值，舍去； 当 k=1时， y=1最小值不是 2，舍去； 当

14、k 1时， ，最小值为 ， 综上所述， k= 8 ? 12 分 21. 证明 (1) ? ?*13 2 2 ,nna a n n N? ? ? ?, 1+1 3 1nnaa? ? ?（ ） 又 1 2,a? +1 0na? 所以数列 1na? 为等比数列； ? 4分 7 （ 2）由（ 1）知 31nna ?， 3log ( 1) nnnba? ? ?， ( 3 1 ) 3nnnna b n n n? ? ? ? ? ? 设 （ 3） )13 113 1(21)13)(13( 33 111 ? ? nnnnnnnnn aac所以， ? ? ?ni ini iic1 11 )13 113 1(21

15、? ? ? L 13 113 11-3 1-1-3 11-3 1-1-3 121 1322 nn 41)13(2 14113 11-3 121 11 ? ? ? nn? 12分 22.解：（ 1） aexf x ? )( ， 当 0?a 时， 0)( ? xf ，此时 )(xf 只有增区间 ? ? ?,- ， 当 0? a 时，由 0)( ? xf 得 ax ln? ，由 0)( ? xf 得 ax ln? ， 所以此时 )(xf 的单调增区间为 ? ? ?,lna ，减区间为 ? ? aln,-? . 综上：当 0?a 时， )(xf 的单调增区间为 ? ? ?,- ； 当 0? a 时，

16、)(xf 的单调增区间为 ? ? ?,lna ，减区间为 ? ? aln,-? . ? 4分 （ 2） ? ? xxaxexF x ln1 ? ，由 ? ? 0?xF 得 xxea x ln1? ， 设 ? ? xxexh x ln1 ? ， ? ? ? ? ?2 11x xexhx ? ， 8 当 10 ?x 时， ? ? 0? xh ；当 21 ?x 时， ? ? 0?xh 所以 ?xh 在 ? ?1,0 单调递减，在 ? ?2,1 上单调递增 又 ? 11 ?eh ， ? ? 2ln2 12 2 ? eh ， 当 0? x 且 0?x 时， ? ? ?xh ， 函数 ?xh 的图像如图所

17、示： 故当 1?ea 时，函数 ?xF 没有零点； 当 1?ea 或 2ln2 12 ? ea 时有一个零点； 当 2ln2 11 2 ? eae 时有两个零点 . ? ? 8分 （ 3） 由（ 1）知，当 10 ?a 时， )(xf 在 ? ? ?,lna 上单调递增， 故要证 ? ? ( )f g x f x? ，只需证 ? ? xxga ? ln 即可 . 由 ? ? ln ( 1) lnxg x e x? ? ?知 0? x ， ?设 ? ? xex x -1-1 ? ， ? ? 01-1 ? xex? ，所以 ?x1? 在 ? ? ?,0 上单调递增， 所以 ? ? ? ? 0011 ? x ，所以 xex ?1- ，所以 ? ? 0ln1ln ? xex ，所以 ? ? axg ln0? . ?因为 ? ? ? ? ? ? ? ?1lnln1lnln ? xxx eexexxxgx ， 设 ? ? ? ?12 ? xx eexx ? ， ? ? 02 ? xexx? ，所以 ?x2? 在 ? ? ?,0 上单调递增， 所以 ? ? ? ? 0022 ? x ，所以 ? ?1? xx eex ，所以 ? ? ? ? 01lnln ? xx eex ，即 ? ?xgx? ， 由 ?