（高考冲刺）名师讲解《高中数学》对数函数的图像与性质.ppt

1、【高考冲刺】名师讲解全国特级教师 江新欢 博士教授高中数学高中数学?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果 1,0aaa的b次幂等于N,就是 Nab，那么数 b叫做以a为底 N的对数对数，记作 bNaloga叫做对数的底数底数，N叫做真数真数。复习对数的概念定义：定义：由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时，由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时，由由1个分裂成个分裂成2个，个，2个分裂成个分裂成4个，个，1个这样的个这样的细胞分裂细胞分裂x次会得到多少个细胞？次会得到多少个细胞？如果知道了细胞的个数如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次数，如何

2、确定分裂的次数x呢？呢？2xy 由对数式与指数式的互化可知：由对数式与指数式的互化可知：2logxy上式可以看作以上式可以看作以y为自变量的函数表达式为自变量的函数表达式对于每一个给定的对于每一个给定的y值都有惟一的值都有惟一的x的值与之对应，把的值与之对应，把y看作自变量，看作自变量，x就是就是y的函数，但习惯上仍用的函数，但习惯上仍用x表示表示自变量，自变量，y表示它的函数：即表示它的函数：即2logyx这就是本节课要学习的：0(logaxya)1a 定义：定义：函数函数，且，且 叫做叫做对数函数对数函数，其中，其中x x是自变量，函数的定是自变量，函数的定义域是（义域是（0 0，+）。）

3、。，对数函数一个函数为对数函数的条件是：一个函数为对数函数的条件是：系数为系数为1；底数为大于底数为大于0且不等于且不等于1的常数；的常数；真数为单个自变量真数为单个自变量x.判断是不是对数函数判断是不是对数函数5log5xy(1)2(log2xy(2)xy5log2)3(xyx2log)4(55(5)log1(6)log(7)log 5xyxyxy（）（）（）（）（）（）（）哈哈，我们都不是对数函数你答对了吗？我们是对数型函数请认清我们哈xayalog)3(2 1.函数函数 是对数函是对数函数数,a=_ 解：由对数函数解：由对数函数 的定义有的定义有a2 -3=1a0 a 1 a=2a=-2

4、或或a=2a0a1解得解得 图 象 性 质yx0y=1(0,1)y=ax(a1)yx(0,1)y=10y=ax(0a10a 0 时，时，y 1.当当 x 0 时，时，.0 y 1当当 x 1；当当 x 0 时，时，0 y 0 1a 1时，时，y0 当当x=1时，时，y=0 当当0 x1时，时，y1时，时，y0 当当x=1时，时，y=0 当当0 x0 对称性：对称性：和和 的图像关于的图像关于y轴对称轴对称.logayx1logayx例1 已知函数已知函数f(x)为为对数函数，且图象过点对数函数，且图象过点(4,2)，求，求f(1)，f(8)为对数函数解：)(xf32log8log)8(01lo

5、g)1(log)(2(244log224)(log)(322222ffxxfaaaxfxxfaa舍），过（又设)10aa且（归纳：求函数的定义域应从以下几个方面入手归纳：求函数的定义域应从以下几个方面入手（1 1）分母不能为）分母不能为0 0；（2 2）函数含有开偶次方运算时，被开方式必须大）函数含有开偶次方运算时，被开方式必须大于等于于等于0 0；（3 3）有对数运算时，真数必须大于）有对数运算时，真数必须大于0.0.底数必须大底数必须大于于0 0且不为且不为1.1.（4 4）0 0次幂的底数不能为零次幂的底数不能为零.(1)lgyx0.5(2)1 logyx21(3)logyx练习1.求下

6、列函数的定义域练习练习2：求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：（3）（4）)86(log2)3(xxyx)1(log21xy2log xya)4(logxya（1）（2）0 xx4xx4xx2,132 2(2)1,1(1)()(1)()(log)(43xfogffxxff xx对数函数的单调性的应用（目标）已知函数的定义域为，求的定义域（2）的定义域反馈：已知函数的定义域为0,1，求函数的定义域练习3 练习练习1 1：求函数求函数 的定义域？的定义域？()lg()xxyxx2023221lg()xxxxx 220210210320解：解：要满足不等式组要满足不等式组解之，得函数定义域为解之

7、，得函数定义域为|xxxx132122且且第二课时第二课时 对数函数的性质对数函数的性质 比较大小比较大小 当当x1时，时，当当0 x1时，时，当当0 x1时，时，1：函数：函数 的图像过定点的图像过定点_.log(21)(0,1)ayxaa变式：函数变式：函数 的图像过定点的图像过定点_._.2)1(logxya222()log(1)2()log()log(1)2f xxf xxf xx函数是有怎样平移而来？那么函数恒过定点（）例例1.比较下列各组中，两个值的大小：比较下列各组中，两个值的大小：（1）log23.4与与 log28.5 （2）log 0.3 1.8与与 log 0.3 2.7

8、 log23.4log28.5y3.4xy2logx108.5 log23.4 1,函数在区间（函数在区间（0，+）上是增函数；上是增函数；3.48.5 log23.4 log28.5 例例1.比较下列各组中，两个值的大小：比较下列各组中，两个值的大小：（1）log23.4与与 log28.5（2）log 0.3 1.8与与 log 0.3 2.7解法解法2：考察函数：考察函数y=log 0.3 x ,a=0.3 1,函数在区间（函数在区间（0，+）上是减函数；）上是减函数；1.8 log 0.3 2.7 (2)解法解法1：画图找点比高低：画图找点比高低 例例1.比较下列各组中，两个值的大小：

9、比较下列各组中，两个值的大小：（1）log23.4与与 log28.5（2）log 0.3 1.8与与 log 0.3 2.7小小结结比较两个比较两个同底同底对数值的大小时对数值的大小时:.观察底数是大于观察底数是大于1还是小于还是小于1（a1时为时为增增函数函数0a1时为时为减减函数）函数）.比较真数值的大小；比较真数值的大小；.根据单调性得出结果。根据单调性得出结果。注意：注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论即即0a 1例例1.比较下列各组中，两个值的大小比较下列各组中，两个值的大小：（3）loga5.1与与 loga5.9解解:若若a1则函数

10、在区间（则函数在区间（0，+）上是增函数；）上是增函数；5.15.9 loga5.1 loga5.9 若若0a1则函数在区间（则函数在区间（0，+）上是减函）上是减函数；数；5.1 loga5.9你能口答吗？你能口答吗？10100.50.522331.51.5log 6log 8log6log8log 0.6log 0.8log 6log 8变一变还能口答吗？变一变还能口答吗？10100.50.522331.51.5loglogloglogloglogloglognmnmnnm 则 m n 则 m n 则 m nm 则 m n练习1：比较大小 log76 1 log0.53 1 log67 1

11、 log0.60.1 1 log35.1 0 log0.12 0 log20.8 0 log0.20.6 0 例例2.2.比较下列各组中两个值的大小比较下列各组中两个值的大小:log 67,log 7 6;log 3,log 2 0.8.解解:log67log661 log76log771 log67log76 log3log310 log20.8log210 log3log20.8:log a10 xya1logxya2logxya3log3211aaax1yo11a2a3a（1 1）底数）底数a11时时,底数越大底数越大,其图象越接近其图象越接近x轴。轴。“图低底大图低底大”1oyx xa

12、1logxa2logxa3log1321aaa1a1a2a3(2 2)底数底数00a11a1时时,底数越底数越大大,其图象越接近其图象越接近x x轴。轴。补充补充性质性质二二 底数互为底数互为倒数倒数的两个对数函数的图象的两个对数函数的图象关于关于x x轴对称。轴对称。补充补充性质性质一一 图图 形形10.5y=log x0.1y=log x10y=log x2y=log x0 xy底数底数0a10a0,a1),当当x3,9时，函数的最大值比最小值大时，函数的最大值比最小值大1,则则a=_313或例例3 3：求下列函数求下列函数 的值域？的值域？log()2247yxxlog()2234yxx

13、解：解：定义域：定义域：log,23值域：值域：2 2 2 2定义域：定义域：|x xxR2且值域：值域：定义域：定义域：R值域：值域：log()2244yxxR|x xx31或R若已知函数定义域，如何确定函数解析式？若已知函数定义域，如何确定函数解析式？3 3：已知函数已知函数 若定义域为若定义域为 求求 的取值范围？的取值范围？lg()yaxax221，Ra解：解：二次项系数二次项系数是否为是否为0?0?(1)时，函数时，函数 ,此时此时定义域为定义域为 ；a 0lgy 1R(2)时，时，对任意对任意实数实数x 恒成立，故恒成立，故a 0axax 2210aaa02440解得解得a01故函

14、数定义域为故函数定义域为R时时,.a01改变条件为：改变条件为：lg()yaxax221，Ra33已知函数已知函数 若若 为为求求 的取值范围？的取值范围？解：解：(1)时，时，,此此时不满足题设条件时不满足题设条件；a 0lgy 1(2)时，设时，设 ,因为函因为函数数y的值域是的值域是R,则则a 0uaxax221aaa02440解得解得a 1故函数值域为故函数值域为R时时,.a 1值域值域值域值域0.5(1)1 logyx0.5(2)log1yx练习2.求下列函数的值域(3)若函数若函数 的值域为的值域为-1,1,则则它的定义域为它的定义域为_.xy5.0log2 2aa3.f x2 l

15、ogx-log x+1 例例求求 （）的的值值域域 与对数有关的二次函数与对数有关的二次函数3.二次函数法二次函数法(配方配方,画图画图,求值求值）2.换元法换元法(注明新元取值注明新元取值)1.单调性法单调性法（端点代入端点代入）21124()(log)log524f xxxx 变式求函数在范训练围内的取值。求函数值域求函数值域 作业作业212(3)log(23)yxx3(2)1 log(9)yx x 3(1)1 logyx 22(4)log(22)yxx21(5)log1xyx奇偶性奇偶性例例4 4：判断下列函数的奇偶性：()()logf xx142111解：解：回忆：回忆：用定义判断函数

16、奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤：先求先求 f(x)定义域，看是否关于原点对称；定义域，看是否关于原点对称；判断判断 f(-x)=-f(x)或或 f(-x)=f(x)是否恒成立，得出结论是否恒成立，得出结论.先变形为先变形为()logxf xx1411定义域为定义域为(,)1 1()logxfxx1411奇函数奇函数偶函数偶函数解：解：变形为变形为()logxf xx1411定义域为定义域为(,)1 1log Mlog Nlog MNaaa如果如果a0,a1,M0,N0,那么那么()()fxf xlogxxxx141111log1410()()()()fxf xfxf x00或判断对数

17、函数奇偶性判断对数函数奇偶性:所以所以,函数函数 y=f(x)是定义在是定义在 上的奇函数上的奇函数.(,)1 1loglog11441111xxxx()()lgg xxx 221定义域为定义域为 R R解：解：lg()lg2211xxxx lgxxxx 2211lg10所以所以,函数函数 y=g(x)是奇函数是奇函数.()()gxg x(1)已知函数已知函数 ,判断它的奇偶性判断它的奇偶性;(2)已知函数已知函数 ,判断它的奇偶性判断它的奇偶性)1,0)(1(log)1(log aaxxyaa2lg(1)yxx判断函数的奇偶性与单调性判断函数的奇偶性与单调性 作业作业图图象象性 质 (1)定

18、义域：(1)定义域：(2)值域：(2)值域：(3)过定点(3)过定点(4)单调性(4)单调性(5)奇偶性：(5)奇偶性：对数函数对数函数y=logy=log a a x(a0,a1)x(a0,a1)指数函数指数函数y=ay=ax x(a0,a1)(a0,a1)a1 a1时时,在在R R上是上是增增函数；函数；0a10a1 a1时时,在在(0,+)(0,+)是是增增函数函数；0a10a1)(a1)y=ay=ax x (0a1)(0a1)(a1)y=logy=loga ax x(0a1)(0a1)y=logax(a1)y=ax 对数函数与指数函数的图象对数函数与指数函数的图象由于对数函数由于对数函

19、数 xyalog与指数函数与指数函数 xay 互为反函数，互为反函数，所以所以 xyalog的图象与的图象与 xay 的图象关于直线的图象关于直线 xy 对称。对称。54321-1-2-4-2246(a1)y=ax4321-1-2-4-2246y=ax0a14321-1-2-4-2246y=logaxy=ax0a10a1探讨探讨1:所有函数都有反函数吗？为什么？所有函数都有反函数吗？为什么？探讨探讨2:互为反函数定义域、值域的关系互为反函数定义域、值域的关系 是什么是什么?函数函数yf(x)反函数反函数yf1(x)定义域定义域AC值值 域域CA互为反函数的两个函数的图象关于互为反函数的两个函数

20、的图象关于y=xy=x对称对称.（2 2）反函数的性质：）反函数的性质：互为反函数的两个函数具有相同的单调性互为反函数的两个函数具有相同的单调性.若函数若函数y=f(x)y=f(x)上有一点（上有一点（a,b),a,b),则（则（b,ab,a）必在其反函数的图象上必在其反函数的图象上.反之若（反之若（b,ab,a）在）在反函数的图象上，则（反函数的图象上，则（a,ba,b）必在原函数的）必在原函数的图象上图象上.单调函数一定存在反函数，但有反函数的单调函数一定存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调函数函数不一定是单调函数设设A,B分别为函数分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如的定义域和值

21、域，如果由函数果由函数y=f(x)所解得所解得 也是一个函也是一个函数（即对任意一个数（即对任意一个 ，都有唯一的，都有唯一的 与之对应），那么就称函数与之对应），那么就称函数 是函是函数数y=f(x)的反函数，记作：的反函数，记作：。习惯上，。习惯上，用用x表示自变量，表示自变量，y表示函数，因此的反函数表示函数，因此的反函数 通常改写成：通常改写成：)(yx By Ax)(yx )(1yfx )(1yfx )(1xfy 二二 反函数的概念反函数的概念 注注.y=f(x)的定义域、值域分别是反函数的定义域、值域分别是反函数 的值域、定义域的值域、定义域)(1xfy 2.求反函数的步骤求反函数的步骤y=f(x)(xA)x=)(y(yC)反解用用 y 把把 x 表示出来表示出来如果如果那么那么判断x=(yC)(1yf对调字母对调字母 x，y 对调y=(xC)(1xfxy2 yx2log xy2log 4(1)21(1)(2)31(3)2log(1)xyxyxyx例求下列函数的反函数(0,1)xyab aaab例题：已知函数的图像过点（1,4），其反函数的图像过点（2,0），则13()log,(4)f xxf【变式训练】已知求的值