（高考冲刺）名师讲解《高中数学》指数函数的图像与性质.ppt

1、【高考冲刺】名师讲解全国特级教师 江新欢 博士教授高中数学高中数学引入引入问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？分裂次数细胞总数1次2次3次4次x次xy2个2个4个8个162x21222324引入引入问题2、庄子天下篇中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？截取次数木棰剩余1次2次3次4次x次尺21尺41尺81尺161尺x)21(xy)21(。域是是自变量，函数的定义函数，其中叫做指数一般地，函数Rxaaayx)1,0(:定义;)1(均为幂的形式;)2(底

2、数是一个正的常数.x)3(在指数位置自变量xy)21(2,xy:以上两个函数有何设问1共同特征？思考思考 (1)(1)为什么定义域为为什么定义域为R？(2)(2)为什么规定底数为什么规定底数a 且且a 呢？呢？。域是是自变量，函数的定义函数，其中叫做指数一般地，函数Rxaaayx)1,0(范围的说明：关于底数a(1)0a 时(2)0a 时(3)1a 时0 xa当x时，无意义！0 xa当x 时，=0！!x对于x的某些数值,可使a 无意义1(2)!2xyx 如在处无意义1!x对于xR,都有a,!是一个常量 没有研究的必要在规定以后，对于任何xR，xa都有意义，xa0.因此指数函数的定义域是R，且值

3、域是(0,+).0,1aa8xy(21)xyaxy（口答）判断下列函数是不是指（口答）判断下列函数是不是指 数函数，为什么？数函数，为什么？()2yx(4)xy 1225xyxyx10 xy 12a 1a 且 题后感悟题后感悟判断一个函数是否为指数函数只判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合需判定其解析式是否符合yax(a0，且，且a1)这这一结构形式，其具备的特点为：一结构形式，其具备的特点为：已知指数函数已知指数函数 的图像经过点的图像经过点 求求 的值的值.分析：指数函数的图象经过点分析：指数函数的图象经过点 ，故故 ，即即 ，解得，解得于是有于是有 0,1xf xaaa3,

4、013fff、3,3f3a13a 3xf x思考：确定一个指数函数思考：确定一个指数函数需要什么条件？需要什么条件？想一想一想想 1331f,所以：所以：001f,113.f例题：已知指数函数例题：已知指数函数f(x)的图象过点的图象过点(2,4)，求，求f(3)的值的值 在同一直角坐标系画出在同一直角坐标系画出 ，的图象，的图象，并思考：两个函数的图象有什么关系？并思考：两个函数的图象有什么关系？2xy 12xy设问2：得到函数的图象一般步骤：列表、描点、连线作图x2xy-3-3-2-2-1.5-1.5-1-1-0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 23 3-3-3-2-2-

5、1.5-1.5-1-1-0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 23 31()2xy x0.130.130.250.250.350.350.50.50.710.711 11.41.42 22.82.84 48 88 84 42.82.82 21.41.41 10.710.710.50.50.350.350.250.250.130.138765432-6-4-22468765432-6-4-22468765432-6-4-22461xy2xy2187654321-6-4-224687654321-6-4-224687654321-6-4-2246分组画出下列四个函数的图象：分组画出

6、下列四个函数的图象：(1)y=2x (2)y=(12)x(3)y=3x (4)y=(13)x 011xyxy2 xy 21xy3 xy 31011xyxy 21xy 31xy2 xy3 011xyxy01xay )10(a01xay )1(axyF:指数函数性质图象.rar 图 象 性 质yx0y=1(0,1)y=ax(a1)yx(0,1)y=10y=ax(0a10a 0 时，y 1.当 x 0 时，.0 y 1当 x 1；当 x 0 时，0 y 0 1a 0且且a1 恒过定点恒过定点 0，1 的性质求解的性质求解.解题过程解题过程原函数可变形为原函数可变形为y3ax3(a0，且且a1)，将将

7、y3看做看做x3的指数函数，的指数函数，x30时，时，y31，即，即x3，y4.yax33(a0，且，且a1)恒过定点恒过定点(3,4)答案：答案：(3,4)题后感悟题后感悟求指数型函数图象所过的定求指数型函数图象所过的定点，只要令指数为点，只要令指数为0，求出对应的，求出对应的x与与y的的值，即为函数图象所过的定点值，即为函数图象所过的定点求下列函数的定义域求下列函数的定义域:R303xx由，得|3;x x 所以，函数的定义域为()1xf xa、212xy、313xy 、,(0,1)aa 01,xax由 1-a，得 0ax即 a10ax当 时，；010ax当 时，1|0ax x所以，当 时，

8、定义域为；01|0.ax x当 时，定义域为2、比较下列各题中两个值的大小：、比较下列各题中两个值的大小：分析分析：（1）（）（2）利用指数函数的单调性）利用指数函数的单调性.（3）找中间量是关键找中间量是关键.2.530.10.21.61.60.33.1130.20.71 1.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,3 2.530.10.21.61.60.33.1130.20.71 1.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,3 2.530.10.21.61.60.33.1130.20.71 1.7,1.

9、7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,3 函数函数 在在R R上是增函数，上是增函数，而指数而指数2.532.53xy7.135.27.17.1（1）解解：5.27.1-0.2-0.1-0.2xy8.0解解：2.01.08.08.03.232.82.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-0.50.511.522.533.54f x x3.232.82.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-2-1.5-1-0.50.511.522.5f x x1.33.09.07.1

10、（3）解解：根据指数函数的性质，得：根据指数函数的性质，得：17.17.103.019.09.001.3,而而1.33.09.07.1从而有从而有比较下列各题中两个值的大小：比较下列各题中两个值的大小：2.530.10.21.61.60.33.1130.20.71 1.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,3 2.530.10.21.61.60.33.1130.20.71 1.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,3 2.530.10.21.61.60.33.1130.20.71 1.7,1.7;20.

11、8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,3题后感悟题后感悟比较幂的大小的常用方法：比较幂的大小的常用方法：(1)对于对于底数相同底数相同，指数不同的两个幂的大小，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用比较，可以利用指数函数的单调性指数函数的单调性来判断来判断(2)对于对于底数不同底数不同，指数相同指数相同的两个幂的大小的两个幂的大小比较，可以利用比较，可以利用指数函数图象的变化规律指数函数图象的变化规律来来判断判断(3)对于对于底数不同，且指数也不同底数不同，且指数也不同的幂的幂的大小比较，则应通过中间值来比较的大小比较，则应通过中间值来比较解答本题根据指数函数的底数与

12、图象间的关解答本题根据指数函数的底数与图象间的关系容易判断系容易判断.解题过程解题过程方法一：方法一：在在中底数小于中底数小于1且大于零，在且大于零，在y轴右边，底数越小，图象向轴右边，底数越小，图象向下越靠近下越靠近x轴，故有轴，故有ba，在，在中底数大于中底数大于1，在，在y轴右轴右边，底数越大图象向上越靠边，底数越大图象向上越靠近近y轴，故有轴，故有dd1ab.故选故选B.答案：答案：B题后感悟题后感悟指数函数的图象随底数变化的规指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：律可归纳为：(1)无论指数函数的底数无论指数函数的底数a如何变如何变化，指数函数化，指数函数yax的图象与直线的图象与直

13、线x1相交于点相交于点(1，a)，由图象可知：在，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大上相应的底数由小变大(2)指数函数的底数与指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大底数自下而上依次增大例例2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质变为原来的一年剩留的这种物质变为原来的84%。画出这种物质。画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（保

14、留一个有效数字）？少年，剩留量是原来的一半（保留一个有效数字）？解解：设这种物质最初的质量是设这种物质最初的质量是1，经过经过x年后，剩留量是年后，剩留量是y。经过经过1年，剩留量年，剩留量11 84%0.84y 经过经过2年，剩留量年，剩留量284%84%0.84y 一般地，经过一般地，经过x年，剩留量年，剩留量0.84xy 根据这个函数关系可以列表如下：根据这个函数关系可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.350.84xy 0.5y 4x 画出指数函数画出指数函数的图象。从图上看出的图象。从图上看出只需只需 答：约经过答：约经过4年，剩留量是原来的一半。年，剩留量是原来的一半。1.1.下列函数中一定是指数函数的是（下列函数中一定是指数函数的是（）2.2.已知已知 则则 的大小关系是的大小关系是_.12.xyA3.xyB.2xC yxyD23.,2.1,8.0,8.08.09.07.0cbacba,Cba1 0a1)(0,1)y0(0a1 0a1 0a0时时,y1;当当x0时时,0y0时时,0y1;当当x1.