人教新课标B版高中数学必修4全册完整课件.ppt
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1、三角函数的定义三角函数的定义 三角函数的定义三角函数的定义 cos sin tan cot y r y y x r x x 余弦 正切 余切 正弦 sec csc r x r y 正割 余割 , , ,(, 11,) ,(, 11,) kZ kZ kZ kZ R-1,1 R-1,1 |k +R 2 |kR |k + 2 |k 函数函数 解析式解析式 定义域定义域 值域值域 1、已知角 的终边位于直线 上,试 求角 的六个三角函数值; 3yx 2、求下列各角的六个三角函数值: (1)0 (2) (3) (4) 5 6 7 6 根据根据2-(3)、()、(4)的结论,你能推断出什么)的结论,你能推
2、断出什么 结论,发现什么规律吗?结论,发现什么规律吗? 你的记住哦!你的记住哦! 度 弧 度 0 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 270 0 360 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin cos tan cot 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 1 0 1、角 的终边上一个点P的坐标为 , 求 的值; 4 , 30aaa 2sinc
3、os 诱导公式诱导公式 你记住了吗?你记住了吗? 度 弧 度 0 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 270 0 360 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin cos tan cot 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 1 0 2)同终边角的同名三角函数值相等. Sin(2k+)= Sin cos(2k+)= cos tan(2k+)=
4、tan 2k是三角函数的周期 诱导公式1 练习:确定下列函数值的符号 1)sin1900的符号是? 2)cos(-3920)的符号是? 3)tan(-16500)的符号是? 3)sin(-21/5)的符号是? 0 1923 1 sin; 2con(-); 43 3 tan1110 练习:求值 、 、 () 二、三角函数的诱导公式 1、若是一个正锐角,怎样用表示第一、二、三、四象限角,并研究其终边位置关 系. 一 二 三 四 2k+ - + 2-或- 与终 边相同 与终边 关于y轴 对称 与终边 互为反向 延长线 与终边 关于x轴对 称 2、角2k+ - + 2-或-与角的正弦函数值的关系 Si
5、n(2k+)_?_sin Sin(-)_?_sin Sin(2-)_?_sin Sin(-)_?_sin Sin(+)_?_sin 方法一、利用单位圆研究 - - + 关于x轴对称的角的正弦线互为相 反数 Sin(2k+)=sin Sin(-)=- sin Sin(2-)=-sin Sin(-)=sin Sin(+)=sin 函数名不变,符号看象限 关于y轴对称的角的正弦线 相等 正 弦 诱 导 公 式 cos(2k+)=cos cos(-)=cos cos(2-)=cos cos(-)= - cos cos(+)= - cos 余弦函数的诱导公式 函数名不变,符号看象限 2、研究角/2+与角
6、的正、余弦函数值的关系 在单位圆中,画出角和角 /2+的终边,由终边的位置关系可得 /2+ P1 O M P2 N RtOP1MRtP2ON NP2=OM, ON=-MP1 Sin=MP1,cos=OM Sin(/2+)=NP2; cos(/2+)=ON Sin(/2+)=cos cos(/2+)= -Sin 函数名称变,符号看象限 思考:公式 Sin(/2-)=cos cos(/2-)= Sin的证明方法 所有的诱导公式中的角的取值范围是使公式有意义的任意角,记忆公式时可 将看成锐角,从而确定符号. /2- P1 O M P2 N - 正弦、余弦诱导公式 Sin(2k+)=sin cos(2
7、k+)=cos Sin(-)=- sin cos(-)=cos Sin(2-)=-sin cos(2-)=cos Sin(-)=sin cos(-)= - cos Sin(+)=sin cos(+)= - cos = tan(2k+)=tan = tan(-)= - tan = tan(2-)= - tan = tan(-)= - tan = tan(+)= tan =正切诱导公式 Sin(/2+)=cos cos(/2+)= -Sin Sin(/2-)=cos cos(/2-)= Sin = = tan(/2+)= -cot tan(/2-)=cot 常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终
8、边诱导公式 Sin(2k+)=sin cos(2k+)=cos tan(2k+)=tan 2、负角诱导公式 Sin(-)=- sin cos(-)=cos tan(-)= - tan 3、四象限诱导公式 Sin(2-)=-sin cos(2-)=cos tan(2-)= - tan 4、二象限诱导公式 Sin(-)=sin cos(- )= - cos tan(-)= - tan 5、三象限诱导公式 Sin(+)=sin cos(+)= - cos tan(+)= tan 视为锐角,函数名不变,符号看象限 7、钝角互余诱导公式 Sin(/2+)=cos cos(/2+)= -Sin tan(/
9、2+)= -cot 6、锐角互余诱导公式 Sin(/2-)=cos cos(/2-)= Sin tan(/2-)=cot 视为锐角,函数名称变互余,符号看象限 1、熟记诱导公式的规律; 2、注意符号 例:求值 1)sin(-16500) 2) sin(-150015/) 3) sin(-7/4) 方法步骤:负角化为正角,正角化为锐角. 例:化简 )sin()3sin()sin( )3sin()2sin( cos(2)cos(3) 1 cos()cos(3)cos() 例 化简 () tan(2)tan(3) 2 tan()tan(3)tan() ( ) 课外练习课外练习 (3)已知 ,求 的值
10、 (2)已知 ,求 的值 (1)已知 ,求 的值 2 1 cos 9tan 3 3 6 cos 6 5 cos 3 2 3 cos 2 3 cos 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 三角函数的图象三角函数的图象 作图作图 描点法:描点法:确定函数的定义域;确定函数的定义域;化简、整理函数的解化简、整理函数的解 析式;析式;讨论函数的主要性质;讨论函数的主要性质;列表、描点、成图列表、描点、成图. 变换法:由基本函数的图象变换得到,变换一般有平移、变换法:由基本函数的图象变换得到,变换一般有平移、 伸缩、对称等变换伸缩、对称等变换. 识图识图 看左右、上下的分布范围,变化趋势,对称性,看
11、左右、上下的分布范围,变化趋势,对称性, 特殊点的位置等,注意图象与函数解析式中的参数的关系特殊点的位置等,注意图象与函数解析式中的参数的关系. 用图用图 图象是函数性质的直观解释,是探求解题途径获图象是函数性质的直观解释,是探求解题途径获 得问题结果的重要工具得问题结果的重要工具. (1)平移变换平移变换 (2)周期变换周期变换 (3)振幅变换振幅变换 的图象的图象变换变换 函数函数 ) sin( j j w w x A y 复习点拨复习点拨 三角函数的图象及其变换不仅内容丰富三角函数的图象及其变换不仅内容丰富, 而且寓一般函数的图象及其变换于特殊之中而且寓一般函数的图象及其变换于特殊之中,
12、 是考查学生直观思维、理性思维以及数形结是考查学生直观思维、理性思维以及数形结 合与应用能力的重要内容合与应用能力的重要内容. 三角函数的性质三角函数的性质 函数函数 定义域定义域 值域值域 周期周期 cosyx sinyx tanyx R R , 2 x xkkZ 2 2 1,1 R 1,1 三角函数的性质三角函数的性质 函数函数 奇偶性奇偶性 单调区间单调区间 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数 cosyx sinyx tanyx 2,2() 22 kkkZ 增 3 2,2() 22 kkkZ 减 2,2()kkkZ增 2,2()kkkZ减 ,() 22 kkkZ ()增 三角函数的
13、性质三角函数的性质 函数函数 对称轴对称轴 对称中心对称中心 无无 cosyx sinyx tanyx 第四章第四章 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 (,0)() 2 k kZ (,0)() 2 k kZ (,0)() 2 k kZ () 2 xkkZ ()xkkZ 三角函数的性质三角函数的性质 方法主线方法主线 (1)求三角函数定义域)求三角函数定义域 一般函数的定义域的规律一般函数的定义域的规律 三角函数本身的特有属性三角函数本身的特有属性 将所给的三角函数转化为一个角的一个函数,将所给的三角函数转化为一个角的一个函数, 利用基本函数的值域来求解利用基本函数的值域来求解. 例例
14、求下列函数的值域:求下列函数的值域: ; (2)求三角函数值域的常用方)求三角函数值域的常用方 法法 ) 3 cos(2)(xxf 化为二次函数通过配方法求值域化为二次函数通过配方法求值域 例例 y= (“元”的范围元”的范围 ) 换元法换元法 例例 y= (“元元”的范围的范围) 利用基本不等式求值域利用基本不等式求值域 注:会求值域当然最值可求注:会求值域当然最值可求 x xx cos1 sin2sin (2)求三角函数值域的常用方法)求三角函数值域的常用方法 xxxxcossincossin cos1x (3)三角函数的奇偶性、单调性和周期性都是)三角函数的奇偶性、单调性和周期性都是 对
15、最简形式的三角函数而言的对最简形式的三角函数而言的. (化简、换元(化简、换元 基本三角函数性质基本三角函数性质 、复合、复合 函数性质以及数形结合,注意先分析后判断函数性质以及数形结合,注意先分析后判断 ) 如如 1.求周期:求周期: ; 2.判断奇偶性判断奇偶性: . )2 2 5 cos()(xxf xxy2cos)2 3 sin( 已知函数已知函数 求求f(x)的最小正周期;的最小正周期; 求求f(x)的最大值与最小值,并指出的最大值与最小值,并指出x的取值;的取值; 求求f(x)的单调区间的单调区间. xxxxxxfcossinsin3) 3 sin(cos2)( 2 化简、换元化简
16、、换元 基本三角函数性质基本三角函数性质 、复合函、复合函 数性质以及数形结合,注意先分析后判断数性质以及数形结合,注意先分析后判断 . . 的单调增区间是的单调增区间是2x)2x) 4 4 sin(sin(y y函数函数(2)(2) 的单调增区间是的单调增区间是) ) 3 3 2 2 x x 2cos(2cos(y y函数函数(1)(1)1.1. 基础训练题基础训练题 Z)Z)(k(k 3 3 2 2 ,4k,4k 3 3 4 4 答案:4k答案:4k Z)Z)(k(k 8 8 7 7 k k , , 8 8 3 3 答案:k答案:k ) ) 3 3 sin(-2xsin(-2xD.yD.y
17、) ) 3 3 sin(-2xsin(-2xC.yC.y 3 3 sin(-2xsin(-2xB.yB.y) ) 3 3 sin(-2xsin(-2xA.yA.y ).).(图象对应的解析式为图象对应的解析式为 函数函数轴的对称变换,则所得轴的对称变换,则所得再将所得图象作关于y再将所得图象作关于y 个单位长度,个单位长度, 3 3 平移平移sin2x的图象向右sin2x的图象向右2.先将函数y2.先将函数y 22 ).). 3 3 2 2 2x2xsin(sin(再对称变换为y再对称变换为y ),), 3 3 2 2 sin(2xsin(2x,得y,得y 3 3 sin2x的图象右移sin2
18、x的图象右移提示:y提示:y D ) ) 6 6 sin(2xsin(2xD.yD.y) ) 3 3 sin(2xsin(2xC.yC.y ) ) 6 6 sin(2xsin(2xB.yB.y) ) 6 6 2 2 x x sin(sin(A.yA.y ).).为(为(则此函数的一个解析式则此函数的一个解析式 , 3 3 图象的一条对称轴是x图象的一条对称轴是x3.函数周期为3.函数周期为 ,其,其 1.1.) ) 3 3 2,又f(2,又f(提示:由题设知提示:由题设知 D 3.若函数若函数 图象上每一个点的纵坐标保图象上每一个点的纵坐标保 持不变,横坐标伸长到原来的两倍,然后持不变,横坐标
19、伸长到原来的两倍,然后 再将整个图象沿再将整个图象沿 轴向右平移轴向右平移 个单位,个单位, 同时向下平移同时向下平移3个单位,恰好得到个单位,恰好得到 的图象,则的图象,则 ( )f x x 2 1 sin 2 yx ( )f x 11 sin(2) 3cos23 222 xx 解:解: 例题评析例题评析 例例1 已知函数已知函数 (1)作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图;)作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)指出该函数图象的对称中心与对称轴方程)指出该函数图象的对称中心与对称轴方程. ,cossin 22 33 22 3xx y 分析:分析: (1 1)先化简解析式;(
20、)先化简解析式;(2 2)y=sinxy=sinx图象图象 的对称中心为的对称中心为_ _ _,对称轴方程,对称轴方程 为为_._. )(),(Zkk0 )(Zkkx 2 例例1 已知函数已知函数 (1)作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图;)作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)指出该函数图象的对称中心与对称轴方程)指出该函数图象的对称中心与对称轴方程. ,cossin 22 33 22 3xx y 解:解: (1) 周期为周期为 由由“五点五点 法”列出右表:法”列出右表: ),sin( 32 1 3 xy 4T 32 x 3 5 x 0 y 0 3 2 2 30 3 8
21、3 3 11 2 3 0 3 14 2 3 2 3 5 3 8 3 11 3 14 x y .)( );(), ).(,)( 为图象的对称轴方程得令 故图象的对称中心是( 得令 Zkkxkx Zkk Zkkxkx 3 5 2 232 1 0 3 2 2 3 2 2 32 1 2 3 2 3 5 3 8 3 11 3 14 x y 例例 已知函数已知函数 ()当函数取最大值时,求自变量的集合;()当函数取最大值时,求自变量的集合; ()该函数的图象可由()该函数的图象可由 的图象经过的图象经过 怎样的变换而得到?怎样的变换而得到? ()设函数()设函数 的图象与已知函数的图象关的图象与已知函数的
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