新课标高中数学人教A版选修2-2全册配套完整教学课件.ppt

1、1.1.1 1.1.1 变化率问题变化率问题 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的 增加增加, 气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度从数学的角度, 如何如何 描述这种现象呢描述这种现象呢? 气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r (单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是 . 3 4 )(V 3 rr 若将半径若将半径 r 表示为体积表示为体积V的函数的函数, 那么那么 . 4 V3 )V( 3 r 当空气容量当空气容量V从从0L增加到增加到1L , 气球半

2、径增加了气球半径增加了 ),dm(62. 0)0( ) 1 ( rr 气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 ),dm/L(62. 0 01 )0( ) 1 ( rr 当空气容量当空气容量V从从1L增加到增加到2 L , 气球半径增加了气球半径增加了 ),dm(16. 0) 1 ( )2( rr 气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 ),dm/L(16. 0 12 ) 1 ( )2( rr 随着随着 气球体积气球体积 逐渐变大逐渐变大, 它的平均它的平均 膨胀率逐膨胀率逐 渐变小渐变小 思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少? 21 21 ()()r Vr V VV 问题

3、问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h (单单 位位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系 105 . 69 . 4)( 2 ttth 如果用运动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运描述其运 动状态动状态, 那么那么: v 在在0 t 0.5这段时间里这段时间里, 在在1 t 2这段时间里这段时间里, );m/s(05. 4 05 . 0 )0()5 . 0( hh v );m/s(2 . 8 12 ) 1 ()2( hh v 平均速度不能反映他在

4、这段时间里运动状态，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。需要用瞬时速度描述运动状态。 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度, 并思考下面的问题并思考下面的问题: 49 65 0t (1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探探 究究: 时间时间 3月月18日日 4月月18日日 4月月20日日 日最高气温日最高气温 3.5 18.6 33.4 现有南京市某年现有南京市某年3月和月和4月某天日最高气温记

5、载月某天日最高气温记载. 观察：观察：3月月18日到日到4月月18日与日与4月月18日到日到4月月20日的温度日的温度 变化，用曲线图表示为：变化，用曲线图表示为： t(d) 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) 0 C (34, 33.4) T () 2 10 （注：（注： 3 3月月1818日日 为第一天）为第一天） 问题问题3： t(d) 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) 0 C (34, 33.4) T () 2 10 问题问题1 1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义：“气温

6、陡增”是一句生活用语，它的数学意义 是什么？（形与数两方面）是什么？（形与数两方面） 问题问题2 2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？ （1 ）曲线上）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想之间一段几乎成了“直线”，由此联想 如何量化直线的倾斜程度。如何量化直线的倾斜程度。 t(d) 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) 0 C (34, 33.4) T () 2 10 （2）由点）由点B上升到上升到C点，必须考察点，必须考察yCyB的大小，但仅仅注意的大小，但仅仅注意 yCyB的大小能否精确

7、量化的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？段陡峭程度，为什么？ 在考察在考察yCyB的同时必须考察的同时必须考察xCxB，函数的本质在于一个，函数的本质在于一个 量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。 t(d) 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) 0 C (34, 33.4) T () 2 10 (3)我们用比值我们用比值 近似地量化近似地量化B、C这一段曲这一段曲 线的陡峭程度，并称该比值为【线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的】上的平平 均变化率均变化率 C

8、B CB yy xx (4)分别计算气温在区间【分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平】的平 均变化率均变化率 现在回答问题现在回答问题1 1：“气温陡增”是一句生活用语，它的：“气温陡增”是一句生活用语，它的 数学意义是什么？（形与数两方面）数学意义是什么？（形与数两方面） 定义定义: 平均变化率平均变化率: 式子式子 称为函数称为函数 f (x)从x1到到 x2 的平均变化率的平均变化率. 12 12 )()( xx xfxf 令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则则 xxx xfxf y )()( 12 12 理解：理解： 1，式子中，式子中x

9、、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的x值不能为值不能为0， y 的值可以为的值可以为0 2，若函数，若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 3, 变式变式 x xfxxf xx xfxf )() ()()( 11 12 12 x y 思考: 观察函数f(x)的图象 平均变化率 表示什么? 1 21 )()f x xx 2 f(x O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1 f(x2)-f(x1) 直线直线AB的斜率的斜率 练习练习: 1.甲用甲用5年时间挣到年时间挣到10万元万元, 乙用乙用5个月时间挣到个月时间挣到2万万 元元,

10、 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分别计算在分别计算在 下列区间上下列区间上 f (x) 及及 g (x) 的平均变化率的平均变化率. (1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 . 做两个题吧! 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则 y/x=( ) A 、 3 B、 3x-(x)2 C 、 3-(x)2 D 、3-x D 2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+x 小结：小结： 1.函数的平均变

11、化率函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算计算平均变化率平均变化率 12 12 )()( y xx xfxf x 12 12 )()( y xx xfxf x 1.1.2 导数的概念 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不一定能反平均速度不一定能反 映运动员在某一时刻的运动状态，需要用映运动员在某一时刻的运动状态，需要用 瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某 一时刻的速度称为一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度. 又如何求又如何求 瞬时速度呢瞬时速

12、度呢? 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度 t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时 间内间内 当当t = 0.01时时, 当当t = 0.01时时, 当当t = 0.001时时, 当当t =0.001时时, 当当t = 0.0001时时, 当当t =0.0001时时, t = 0.00001, t = 0.00001, t = 0.000001, t =0.000001, 平

13、均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当当 t 趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于 2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1. 从物理的角度看从物理的角度看, 时间间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因此因此, 运动员在运动员在 t = 2 时的时

14、的 瞬时速度是瞬时速度是 13.1. 表示“当表示“当t =2, t趋近于趋近于0时时, 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”. 从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度 探探 究究: 1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示? 2.函数函数f (x)在在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示? 定义定义: 函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作 或或 , 即即 定

15、义定义: 函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作 或或 , 即即 由导数的定义可知由导数的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)的导数的一般方法的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量求函数的改变量 2. 求平均变化率求平均变化率 3. 求值求值 一差、二化、三极限一差、二化、三极限 例例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时,

16、原油的温度原油的温度(单单 位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义. 解解: 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是 和和 根据导数的定义根据导数的定义, 所以所以, 同理可得同理可得 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5. 它说它说 明在第明在第2h附近附近, 原油温度大约以原油温度大约以3 / h的速率下降的速率下降; 在第在第6h附近附近, 原油温度大

17、约以原油温度大约以5 / h的速率上升的速率上升. 例例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单 位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义. 练习练习: : 计算第计算第3h和第和第5h时原油的瞬时变化率时原油的瞬时变化率, 并说并说 明它们的意义明它们的意义. 课堂练习课堂练习: 如果质点如果质点A

18、按规律按规律 则在则在t=3s 时的瞬时速度为时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81 练习：练习： 1.1.3导数的几何意义导数的几何意义 先来复习导数的概念先来复习导数的概念 定义定义：设函数：设函数y=f(x)在点在点x0处及其附近有定义处及其附近有定义,当当 自变量自变量x在点在点x0处有改变量处有改变量 x时函数有相应的改变量时函数有相应的改变量 y=f(x0+ x)- f(x0).如果当如果当x0 时时,y/x的极限存在的极限存在, 这个极限就叫做函数这个极限就叫做函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数(或变化率或变化率)记记 作作 即即: ,|)( 0 0 xx y

19、xf 或 下面来看导数的几何意义下面来看导数的几何意义: y=f(x) P Q M x y O x y P y=f(x) Q M x y O x y 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x) 的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的 任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线, PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的 倾斜角倾斜角. .tan ,: x y yMQxMP则则 y x 请问： 是割线PQ的什么? 斜斜 率率! P Q o x y y=f(x) 割割 线线 切线切线 T 请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐

20、向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着 点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况. 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即 x0时时,割线割线PQ 有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为 ,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的斜率的斜率,称称 为曲线在点为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率. 即即: 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.

21、 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点。叫做切点。 割线趋近于确定的位置的直线定义为割线趋近于确定的位置的直线定义为切线切线. 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。 例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程. Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j j M y x . 2 )(2 lim ) 11

22、(1)1 ( lim )()( lim: 2 0 2 0 00 0 x xx x x x xfxxf k x x x 解解 因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1), 即即y=2x. 求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤的基本步骤:先利用切线斜率先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率的定义求出切线的斜率,然后然后 利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程. 练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程. ) 3 8 , 2( 3 1 3 Pxy上一点上一点 y x -2 -1 1

23、2 -2 -1 1 2 3 4 O P 3 1 3 yx .)(33lim 3 1 )()(33 lim 3 1 3 1 )( 3 1 limlim, 3 1 )1( 222 0 322 0 33 00 3 xxxxx x xxxxx x xxx x y yxy x x xx 解：解： . 42| 2 2 x y 即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. （1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率

24、。 )( 0 x f （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 ).)()( 000 xxxfxfy 归纳归纳:求切线方程的步骤求切线方程的步骤 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导导 数概念。数概念。 作业: 2. 1.2.11.2.1几种常见几种常见 函数的导数函数的导数 一、复习一、复习 1.解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值求值;物理

25、学中物理学中,物体运动过程中物体运动过程中,在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同都是极限思想得到本质相同 的数学表达式的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式公式导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是: 说明说明:上面的方上面的方 法中把法中把x换换x0 即为求函数在即为求函数在 点点x0处的处的 导数导数. 说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换换x0即为求函数在点即为求函数在点x0处的处的 导数导数. 3.函数

26、函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x= x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。 处的导数的方法之一。 )( 0 x f )(x f 0 | )()( 0 xx xfxf 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤： （1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率

27、。 )( 0 x f （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 ).)()( 000 xxxfxfy 二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 公式公式1: . 0 :( ),()( ),0, ( )lim0. x y yf xCyf xxf xCC x y fxC x 解 1) 函数函数y=f(x)=c的导数的导数. 请同学们求下列函数的导数: 2 2)( ), 3)( ), 1 4)( ), yf xx yf xx yf x x 1y 2 1 y x 2y

28、x 表示表示y=x图象上每一图象上每一 点处的切线斜率都为点处的切线斜率都为 1 这又说明什么这又说明什么? 公式公式2: . 请注意公式中的条件是请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握但根据我们所掌握 的知识的知识,只能就只能就 的情况加以证明的情况加以证明.这个公式称为这个公式称为 幂函数的导数公式幂函数的导数公式.事实上事实上n可以是任意实数可以是任意实数. 三、看几个例子三、看几个例子: 例例1.已知已知P（-1，1），），Q（2，4）是曲线）是曲线 y=x2上的两点，求与直线上的两点，求与直线PQ平行的曲线平行的曲线 y=x2的切线方程。的切线方程。 ; 2)11. yx y 例2

29、.已知，1)求 求曲线在点（， ）处的切线方程 ; 2)11. yx y 例2.已知，1)求 求曲线在点（， ）处的切线方程 x yxxx xxx 解：1） 00 11 limlim. 2 xx y y xxxxx 1 :1(1). 222 yxx 11 切线方程即：y= 2） 四、小结与作业四、小结与作业 2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题有关的较为综合性问题. 1.会求常用函数会求常用函数 的导数的导数.其中其中: 2 1 ,yc yx yxy x 公式公式1: . 五、练习、作业五、练习、作业: 求曲线求曲线y=x2

30、在点在点(1,1)处的切线与处的切线与x轴、直线轴、直线 x=2所围城的三角形的面积。所围城的三角形的面积。 1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则 我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式 1 1.( ),( )0; 2.( ),( ); 3.( )sin ,( )cos ; 4.( )cos ,( )sin ; 5.( ),( )ln (0); 6.( ),( ); 1 7.( )log,( )(0,1); ln 8. nn xx xx a f xcfx f xxfxnx f xxfxx f xxfxx f xafxaa a f xefxe f xxfxaa xa 公式 若

31、则 公式 若则 公式 若则 公式 若则 公式 若则 公式 若则 公式 若则且 公式 若 1 ( )ln ,( );f xxfx x 则 导数的运算法则: 法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的 和和(差差),即即: 法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个 函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即: 法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个 函数函数,减去第一

32、个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函 数的平方数的平方.即即: 例例2.求函数求函数y=x3-2x+3的导数的导数. 4 : 1 (5).;(6).yyx x x 2题再加两题 例例4:求下列函数的导数求下列函数的导数: 2 2 22 12 (1); (2); 1 (3)tan ; (4)(23) 1; y xx x y x yx yxx 答案答案: ; 41 ) 1 ( 32 xx y ; )1 ( 1 )2( 22 2 x x y ; cos 1 )3( 2 x y ; 1 6 )4( 2 3 x xx y 例例5.某运动物体自始点起经过

33、某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零? 4 4 1 t 解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解得解得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点. (2) 即即t3-12t2+32t=0, 解得解得:t1=0,t2=4,t3=8, , 0)(,3212)( 23 tstttts令令 故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运

34、动的速度为零. 例例6.已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程. 解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12. ,2, 1 xyS 对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4. ),2( 2, 2 xyS 因为两切线重合因

35、为两切线重合, . 0 2 2 0 4 ) 2( 22 2 1 2 1 2 2 2 1 21 x x x x xx xx 或或 若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4. 所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4. 作业: 作业: P93 2、3、4、5 1.求过曲线求过曲线y=x3-2x上的点上的点(1,-1)的切线方程的切线方程 求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否 在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种

36、 情况进行讨论，解法复制。若设情况进行讨论，解法复制。若设M(x0,y0)为曲线为曲线y=f(x)上上 一点，则以一点，则以M为切点的曲线的切线方程可设为为切点的曲线的切线方程可设为 y-y0=f(x)(x-x0)，利用此切线方程可以简化解题，避免，利用此切线方程可以简化解题，避免 疏漏。疏漏。 1.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数 （4）.对数函数的导数对数函数的导数: （5）.指数函数的导数指数函数的导数: （3）.三角函数三角函数 ： （1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1 一、复习回顾：基本初等函数的导

37、数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式 函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时 y x o a b y x o a b 1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数； 2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数； 若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数， 则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。 G 称为称为单调区间单调区间 G = ( a

38、, b ) 二、复习引入二、复习引入: o y x y o x 1 o y x 1 x y 1 12 2 xxy x y3 在（ ，0）和（0, ） 上分别是减函数。但在定 义域上不是减函数。 在（ ，1）上是减 函数，在（1, ）上 是增函数。 在( ,)上是 增函数 概念回顾概念回顾 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间 (1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间

39、是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的 前提下前提下,比较比较f(x1)f(x2)与的大小与的大小,在函数在函数y=f(x)比较复杂比较复杂 的情况下的情况下,比较比较f(x1)与与f(x2)的大小并不很容易的大小并不很容易.如果利用如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单导数来

40、判断函数的单调性就比较简单. 观观 察察: 下图下图(1)表示高台跳水运动员的高度表示高台跳水运动员的高度 h 随时间随时间 t 变变 化的函数化的函数 的图象的图象, 图图(2)表示高表示高 台跳水运动员的速度台跳水运动员的速度 v 随时间随时间 t 变化的函数变化的函数 的图象的图象. 运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两以及从最高点到入水这两 段时间的运动状态有什么区别段时间的运动状态有什么区别? a a b b t t v h O O 运动员从起跳运动员从起跳 到最高点到最高点, ,离水面的高离水面的高 度度h随时间随时间t 的增加而的增加而 增加增加,

41、,即即h(t)h(t)是增函数是增函数. . 相应地相应地, , 从最高点到入水从最高点到入水, ,运动员运动员离水面的高度离水面的高度h随时间随时间 t t的增加而减少的增加而减少, ,即即h(t)h(t)是减函数是减函数. .相应地相应地, , (1)(1) (2)(2) x y O x y O x y O x y O y = x y = x2 y = x3 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其探讨函数的单调性与其 导函数正负的关系导函数正负的关系. 在某个区间在某个区间( (a, ,b) )内内, ,如果如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内单调递增在

42、这个区间内单调递增; ; 如果如果 , ,那那 么函数么函数 在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减. . 如果恒有如果恒有 ，则，则 是常数。是常数。 题题1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息: 当当1 x 4 , 或或 x 1时时, 当当 x = 4 , 或或 x = 1时时, 试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状. 解解: 当当1 x 4 , 或或 x 0(或或f(x)0,即在（0，1上恒成立f xa-x x 3 1 max 而 ( )在（0， 1上单调递增， ( )(1)=-1 g x x g xg 1a - 2 1 20 1 0 1 已知函数（ ），(若

43、（ ）在 (上是增函数，求 的取值范围 f xaxx, ,f x x x,a. 增例增例2： 3 2 2当a1时， ( )f x x 1 对x （0， 1）也有 ( ) 0 时，（ ）在(0, 1)上是增函数 f x a-f x 所以a的范围是-1，+ ） 在某个区间上，在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增 （递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0 也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问

44、题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 ( )0(或0(或0)f x 2 1 20 1 0 1 已知函数（ ），(若（ ）在 (上是增函数，求 的取值范围 f xaxx, ,f x x x,a. 增例增例2： 3 2 2当a1时， ( )f x x 1 对x （0， 1）也有 ( ) 0 时，（ ）在(0, 1)上是增函数 f x a-f x 所以a的范围是-1，+ ） 本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化： 3 20已知函数 ( )=，(0, 1, 若 ( )在（0， 1上是增函数，求 的取值范围 练 。 习2 f xax- xxa f xa 3 ) 2 , 例例3：方程根的问题：方程根的问题 求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。 1 0 2 xsin x 1 2 1 10 2 0 1 00 2 f( )在（，）上是单调函数， 而当时，（ )=0 方程有唯一的根 f( x)x-sinx,x(,) f ( x)cos x x xf x xsinxx. 作业：作业： 已知函数已知函数f(x)=ax +3x -x+1在在R上是减函数，上是减函数， 求求a的取值范围。的取值范围。 3 20已知函数 ( )=，(0, 1, 若 ( )在（0， 1上是增函数，求 的取值范围 练 。 习2 f xax- xxa f xa 3 ) 2 , 32 5 例