浅谈线性变换对角化问题(DOC 19页).doc
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- 浅谈线性变换对角化问题DOC 19页 浅谈 线性变换 角化 问题 DOC 19
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1、目 录摘 要1Abstract2引 言31 线性变换41.1 线性变换的定义41.1.1 线性变换的概念41.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示41.2 矩阵的相似对角化问题51.2.1 相似对角化问题51.2.2 矩阵的特征值与特征向量52 线性变换的对角化72.1 线性变换的对角化72.1.1 线性对角化的提出72.1.2 线性对角化的定义72.2 线性变换的特征值与特征向量72.2.1 线性变换的特征值与特征向量的概念72.2.2 线性变换的特征多项式72.3 线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系82.3.1 特征值与特征向量的联系82.3.2 线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的关系92
2、.3.3 线性变换可对角化的充要条件及推论92.3.4 求线性变换对角化的方法和步骤103 线性对角化问题的相关题目14总 结16参考文献17致 谢18 摘 要线性变换是贯穿高等代数的重要内容之一,其研究价值不言而喻。本文尝试通过探讨矩阵对角化的知识点类比线性变换对角化的知识点,再通过矩阵的特征值与特征向量,以线性对角化问题为主要线索,着手研究线性变换特征值与特征向量的求解步骤以及线性对角化的基本条件,并且总结说明线性变换的对角化与矩阵对角化的联系,更进一步的,加深了解矩阵对角化与线性对角化的内容及要点。关键词:线性变换的对角化问题;矩阵;特征值;特征向量AbstractLinear tran
3、sformation is an important part of higher algebra through its research value is self-evident. This paper attempts to explore the matrix diagonalization by knowledge points of analog linear transformation diagonalization knowledge, and through the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, linear di
4、agonalization problem as the main clue, started studying linear transformations eigenvalues and eigenvectors steps to solve the basic conditions and linear keratosis, and summary description of the linear transformation matrix diagonalization diagonalization with links to further deepen understandin
5、g of linear matrix diagonalization diagonalization content and points.Keywords: Changing existing diagonalization;Matrix;Eigenvalues;Eigenvectors引 言线性变换的对角化问题作为重要的数学课程,在高等代数的地位不言而喻,高等代数是数学与应用数学专业最主要的基础课之一,它在初等代数的基础上对研究对象进行进一步的扩充,并引进了许多新的概念以及与通常情况很不相同的量,比如最基本的有集合、向量和向量空间等。在线性变换的对角化问题中,本文提出矩阵相似对角化问题,给
6、出矩阵的特征值与特征向量等概念,在此之后总结它们与矩阵特征值和特征向量之间的关系,并把线性变换与矩阵对角化问题之间的密切关系探究清楚。充分应用探究的结论,最后使我们通透掌握线性变换的对角化与矩阵相似对角化的内在联系与区别。尝试将整个内容贯穿在一条主线,以分析线性变换和矩阵的特征值、特征向量与特征多项式为重点,总结说明在这几方面的联系,并且归纳求解线性变换特征值与特征向量的方法步骤,使整个内容清晰简洁,做到一目了然。将线性变换的对角化与矩阵对角化之间的关系梳理更加清晰,易于掌握与通透理解。1 线性变换1.1 线性变换的定义1.1.1 线性变换的概念定义1 设是数域上的线性空间,是到自身的一个映射
7、,即对于中的任意元素均存在唯一的与之对应,则称为的一个变换或算子,记为,称为在变换下的象,为的原象。若变换还满足 称为的线性变换。1.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示定义2 设是数域上一个维向量空间,令是的一个线性变换。取定的一个基,令 这里就是关于基的坐标。令阶矩阵那么这个阶矩阵叫做线性变换关于基的矩阵。矩阵的第列的元素就是关于基的坐标。1.2 矩阵的相似对角化问题1.2.1 相似对角化问题1 对角矩阵设是数域上的矩阵,形如的矩阵,我们把叫做对角矩阵。2 相似矩阵对于阶方阵和, 若有可逆矩阵使得,则称相似于, 记作,称为由到的相似矩阵。 3.矩阵相似对角化定义3 设是数域上一个阶矩阵。如果存
8、在数域上一个阶可逆矩阵使得为对角矩阵,那么矩阵可对角化。1.2.2 矩阵的特征值与特征向量定义4 设是一个阶方阵,是一个数,如果方程存在非零解向量,则称为的一个特征值,相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量。如果是矩阵的属于特征值的一个特征向量,那么我们有即,其中。 定义5 设是数域上的阶矩阵,是参数,的特征矩阵的行列式称为矩阵的特征多项式。它是数域上的一个次多项式,记为。的根(或零点) 称为的特征值(根),而相应于方程组的非零解向量称为的属于特征值的特征向量。2 线性变换的对角化2.1 线性变换的对角化2.1.1 线性对角化的提出设是数域上的维线性空间(记为),是线性空间的一个线性变换,任
9、取的一组基,设在这组基下的矩阵为。那能否找到的一组基,使得在这组基下的矩阵是一个对角阵呢?接下来,我们就来寻找这组基,由此引出线性变换对角化的问题。 假设这组基存在,我们不妨把它设为使得,可见,满足方程,即满足线性对角化。2.1.2 线性对角化的定义定义1 设是维线性空间的一个线性变换,如果存在的一个基,使在这组基下的矩阵为对角矩阵,则称线性变换可对角化。2.2 线性变换的特征值与特征向量2.2.1 线性变换的特征值与特征向量的概念定义2 设是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中的任一数,存在一个非零向量,使得 则称为的一个特征值,而称为属于特征值的一个特征向量。2.2.2 线性变换的
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