2021届湖南省湖湘名校教育联合体高三上学期入学考试数学试题.doc

1、湖湘名校教育联合体湖湘名校教育联合体2021 届高三入学摸底考试届高三入学摸底考试 高三数学高三数学 一、一、单项单项选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1. 设全集 | 13UABxx ，() |23 U AC Bxx，则集合B （ ） A | 1 2xx B | 12xx C |23xx D |23xx 2. 设复数=1zi，则 3 z （ ） A22i B22i C22i D22i 3. 以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个

2、A70 B64 C60 D58 4. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的 废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(/)P mg L与时间(h)t的关系为 0 = kt P Pe如果在 前 5 个小时消除了10%的污染物,那么污染物减少27%需要花的时间约为（ ） A13 小时 B15 小时 C17 小时 D19 小时 5. 已知tan2，则sin( )sin() 44 （ ） A 3 10 B 3 10 C 3 5 D 3 5 6.大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束 缚，配以

3、安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动假设小 明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面内绕点O左右摆动，平面与水平地面垂直，OB摆 动的过程中，点 A 在平面内绕点 B 作圆周运动，并且始终保持OB，B. 设4OBAB，在 “大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ） A点 A 在某个定球面上运动； B与水平地面所成锐角记为，直线OB与水平地面 所成角记为，则为定值； C可能在某个时刻，/AB； D直线OA与平面所成角的正弦值的最大值为 17 17 7. 已知点P是边长为 1 的正方形ABCD所在平面上一点，满足 ()0PAPBPCPD，则|PD的最 小值

4、是（ ） A 52 3 B 21 3 C 52 2 D 21 2 8. 已知函数 2 2,(2) ( ) (2) ,(2) x x f x xx 若函数( )(2)( )yf xfxm mR恰有 2 个零 点，则m的取值范围是( ) A(2,) B 7 ( ,2) 4 C (0,2) D(,2) 二、二、多项多项选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9

5、.已知圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 所在平面内一个定点，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q当点 P 在圆上运动时，下列判断正确的是( ) A. 当点 A 在圆 O 内（不与圆心重合）时，点 Q 的轨迹是椭圆； B. 点 Q 的轨迹可能是一个定点； C. 当点 A 在圆 O 外时，点 Q 的轨迹是双曲线的一支； D. 点 Q 的轨迹不可能是抛物线 10.2020年3月15日， 某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查,5家商场的售价 x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销

6、售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是： 3.2yxa ， 相关系数0.986r ， 则下列说法正确的有( ) A变量 , x y线性负相关且相关性较强； B 40a ； C当8.5x 时,y的估计值为12.8； D相应于点(10.5,6) 的残差约为0.4 11. 已知函数( ) sincosf xxx 的最小正周期是，则下列判断正确的有（ ）. A函数 f x的图象可由函数2sin2yx 的图象向左平移 4 个单位得到； B函数 f x在区间 5 , 88 上是减函数； C函数 f x的图象关于点 ,0 8 对称； D函数 f x取得最大值时x的取值集合为 |

7、+ 8 ，x xkkZ 12下列说法正确的是( ) A若0ab，则“1ab ”是“ 22 loglog2ab ”的充要条件； B *32 nN ,(n 2)(3) nn n ； C 2 2 (0,),sin2 41 x xx x ； DABC中，若C 为钝角，则cos sincos cosAB 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 6 1 ()x x 展开式的常数项为_ 14. 在四面体SABC中，SA平面ABC，120 , 2,7BACSABC，则该四面体的外接 球的表面积为_ 15. 设双曲线 C： 22 22 1(0,

8、0) yx ab ab 的中心为O，上、下焦点分别为 F1，F2，过 F1作以实轴为直 径的圆的切线， 切点为T， 与 C 的一条渐近线交于x轴下方的点P 若 2 /OF PT， 则 C 的离心率为_ 16.九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷长期以来，这个益智游戏是数学家及现 代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子中国的末代皇帝溥仪（19061967）也曾有一个精美的 由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）现假设有 n 个圆环，用 n a 表示按某种规则解下 n 个圆环所 需的最小移动次数已知数列 n a满足下列条件： 1* 122 =122(3,) n nn aaaan

9、nN ，记 n a 的前项和为 n S，则：(1) 9 a _；(2) 100 S_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本题满分 10 分）在AD是BC边上的高，且=6 3AD BC，AD平分 BAC，且 12 3 = 7 AD， AD是BC边上的中线，且 37 = 2 AD这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边BC的长 问题：在锐角ABC中，已知4,3ABAC=，D是边BC上一点，_，求边BC的长 注：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

10、18. （本题满分 12 分）设等比数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 3 3 2 a ， 3 9 2 S （1）求公比q； （2）若mn时， mn aa求数列 1 6 n na 的前 n项和 n T 19. （本题满分 12 分）“全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高、综合性最强、影响力最大的“金 字招牌”为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国 文明城市” 为确保创建工作各项指标顺利完成， 市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识” 问卷调查（一位市民只参加一次） 通过随机抽样，得到参加调查的 100 人的得分统计如下表： 组

11、别 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) (70,80) 80,90) 90,100 频数 1 12 22 25 25 11 4 （1） 由频数分布表可以大致认为： 此次问卷调查的得分( ,198)N， 近似为这 100 人得分的均值 求 得分在区间(80 94，的概率(8094)P； （注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表） （2）在（1）的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：得分不 低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的 概率如右表所示： 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X（

12、单位：元） 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X的分布列 与数学期望 附：参考数据： 35 1 45 12 55 22 65 25 75 25 85 11 95 46600 ； 19814； 若 2 ,XN ，则()0.6827PX，(22 )0.9545PX 20.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC内接于圆柱 1 OO，已知圆柱 1 OO的轴截面为正方 形， 1 30 = 6 AB ACOO，点P在轴 1 OO上运动 （1）证明：不论P在何处，总有 1 BCPA； （2）当点P为 1 OO的中点时，求平面 1 A PB与平面 11 BCC B所成的锐二面角的余弦值

13、赠送话费的金额（元） 30 50 概率 2 3 1 3 A B C A1 B1 C1 O O1 P 21. （本题满分 12 分）已知函数( )cos(0)f xx x （1）求证： 2 1 ( )1 2 f xx ； （2）若( )2 x f xaex，求a的取值范围 22. （本题满分 12 分）已知抛物线C的顶点在原点O，准线为 1 2 x （1）求抛物线C的标准方程； （2） 点,A B在C上， 且OAOB，ODAB， 垂足为D， 直线OD另交C于E， 当四边形OAEB 面积最小时，求直线AB的方程 x y o A B C D E 高三数学参考答案高三数学参考答案 一、一、单项单项选择

14、题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1. 【命题意图】本题考查集合交并补运算的意义，改编自 2007 版教材必修 1 第 12 页 B 组第 4 题，属基础 题. 【答案】B 【解析】根据UAB知图中阴影集合为 |23xx， 从而 | 12Bxx .故选 B. 2. 【命题意图】本题考查复数乘方运算，改编自 2007 版教材选修 2-2 第 116 页 A 组第 1 题（4），属基础 题. 【答案】C 【解析】 3= z 32 111212

15、2iiiiii ，故选 C. 3. 【命题意图】 本题以简单立体几何计数为背景考查排列组合及组合数的计算，源自 2007 版教材选修 2-3 第 41 页 B 组第 1 题（5）题，属于基础题. 【答案】D 【解析】三棱锥有 4 个顶点，从长方体 8 个顶点中任取 4 个点共有 4 8 8 7 6 5 C=70 4 3 2 1 种取法，排除其 中四点共面的有：长方体的面 6 个，对角面 6 个，可得不同的三棱锥有 70-12=58 个故选 D 4. 【命题意图】本题改编自 2007 版教材必修 1 第 83 页 B 组第 6 题，考查指数和对数的运算、估算和数据 处理能力，属于中档题. 【答案

16、】B 【解析】由已知5th时， 00 1 10%)90%PPP（，故 5 00 ln0.9 90%= 5 k PPek 污染物减少 27%即 3 0000 1 27%)73%0.7290.9PPPPP（，由 ln0.9 3ln0.9 555 0000 0.9=()(0.9)15 tt t P PeP ePth 故选 B. 5. 【命题意图】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，属于中档题. 【答案】B 【解析】由 2 2 111 tan3 sin()sin()cos2() 44221tan10 ，故选 B. AB 6.【命题意图】本题主要考查以实际问题为背景的立体几何问题，侧重考查直观想象的核心

17、素养，属中档 题 【答案】C 【解析】因为点 A 在平面内绕点 B 作圆周运动，并且始终保持OB，所以 22 OAOBAB 又因为,OB AB为定值，所以OA也是定值，所以点 A在 某个定球面上运动，故 A 正确； 作出简图如下，OBl，所以 2 ，故 B 正确. 因为B，所以不可能有/AB，故 C 不正确； 设ABa=，则4OBa， 22 17OAABOBa ， 当AB时，直线OA与平面所成角最大；此时直线OA与平面所成角的正弦值为 17 1717 a a ，故 D 正确； 故选 C. 7. 【命题意图】本题考查解析法研究平面几何问题，向量数量积的运算，圆外一点与圆上的点的距离最值 问题，属

18、中档题 【答案】A 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则 (0,0),(1,0),(1,1),(0,1)ABCD 设( , )P x y，则 (,),(1,),PAxy PBxy (1,1),(,1)(23 ,23 )PCxy PDxyPBPCPDxy ， 由已知得：()(23 )()(23 )0 xxyy ， 即 222 112 ()()() 333 xy ，点P在以 1 1 ( , ) 3 3 M为圆心，半径为 2 3 r 的圆上 又|PD表示圆上的点到原点P的距离， 22 min 12252 |( )( ) 3333 PDDMr 故选 A AB CD P y x 8. 【命题意图】

19、本题考查求分段函数解析式，利用图像研究函数零点，考查等价转化思想，数形结合思 想，属中档偏难题. 【答案】A 【解析】由 2 2,(2) ( ) (2) ,(2) x x f x xx 得 2 ,(0) (2) ,(0) x x fx xx ， 所以 2 2 2,(0) ( )(2)2,(02) 34,(2) xxx yf xfxx xxx ， 所以函数( )(2)yf xfxm恰有 2 个零点等价于函数y m 与函数( )(2)yf xfx的图 象有 2 个公共点，由图象可知2m故选 A. 二、二、多项多项选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分

20、分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 【命题意图】 本题主要考查圆锥曲线的定义，侧重考查数学抽象的核心素养，源自 2007 版教材选修 2-1 第 49 页 A 组第 7 题. 【答案】ABD 【解析】 对A,如图1，连接QA,由已知得|QA|QP|.所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因为点A在圆内，所以 |OA|OP|，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 图 1 图 2 图 3 对

21、B，如图 2，当点 A 在圆上时，点 Q 与圆心重合，轨迹为定点； 对 C，如图 3，连接 QA,由已知得|QA|QP|.所以|QA|-|QO|QP|-|QO|OP|r.又因为点 A 在圆外，所 以|OA|OP|，根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，r 为实轴长的双曲线. 对 D,由于当点 A 与圆心 O 重合时，点 Q 的轨迹为圆，综合 A,B,C 可知点 Q 的轨迹不可能为抛物线. 故选 ABD. 10.【命题意图】本题考查线性回归方程的性质与实际意义，需要注意回归方程过样本中心点，属于基础 题 【答案】ABC 【解析】 对 A，由表可知y随x增大而减少，可认为变量 ,

22、x y线性负相关，且相关性强，故 A 正确. 对 B,价格平均 1 99.5 10 10.5 1110 5 x ,销售量 1 11 108658 5 y . 故回归直线恒过定点(10,8)，故8 3.2 1040aa ，故 B正确. 对 C, 当8.5x 时, 3.2 8.54012.8y ，故 C正确. 对 D, 相应于点(10,8)的残差约为 6 ( 3.2 10.540)0.4e ，故 D 不正确.故选 ABC 11. 【命题意图】本题考查正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数 sin()yAx 的图象变换 规律，属于基础题 【答案】BCD 【解析】( )2sin(2) 4 f x

23、x 对 A，函数 f x的图象可由函数2sin2yx的图象向左平移 8 个单位得到，结论不正确 对 B，当 5 , 88 x 时， 3 2, 422 x ，则 f x在 5 , 88 上是减函数，结论正确 对 C，因为 f(- 8 )=0，得到函数 f x图象的一个对称中心为(,0) 8 ，结论正确 对 D，因为sin(2)122() 4428 xxkxkkZ ，结论正确 故选 BCD 12 【命题意图】本题以不等式为载体考查常用逻辑用语，不等式大小比较，导数应用等综合知识，属 中档偏难题。 【答案】BD 【解析】 对 A， 2 1 24 ab ab （当且仅当ab时取等号） ，又0ab 1

24、0 4 ab 2222 1 loglogloglog2 4 abab ，故充分性成立； 又取 11 , 84 ab， 22 loglog52ab ，必要性不成立，故 A 不正确. 对 B,考查函数 ln ( )(3) x f xx x ，因为 2 1 ln ( )0( ) x fxf x x 单调递减，故 32 ln(2)ln(3) (3)ln(2)(2)ln(3)ln(2)ln(3) 23 nn nn nnnnnn nn *32 nN ,(n 2)(3) nn n 故 B 正确. 对 C,因为0tan1xx又设 2 222 22(1) ( )( )0 1(1) xx f xfx xx ，从而

25、( )f x递增，故 2 2 ( )(tan )sin2 1 x f xfxx x ，所以 C 错误. 对 D，因为C为钝角，所以 2 AB ，有 2 AB ，所以sinsin()cos1 2 ABB ，又因为 函数 cosf xx在0, 上是减函数，故有cos sincos cosAB，所以 D 正确 故选 BD, 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.【命题意图】本题考查二项式定理与组合数计算，属基础题. 【答案】20 【解析】 6 1 ()x x 展开式的通项为 66 2 66 1 ()( 1),0,1,2,3,4,5,

26、6. rrrrrr C xC xr x 故3r ，常数项为 33 6 ( 1)=20C 14. 【命题意图】本题考查四面体外接球表面积计算，考查直观想象和数学运算的核心素养，属基础题. 【答案】 40 3 【解析】 ABC的外接球直径为 3 72 2 3 7 sin 2 BAC BC r ， 3 40 4) 3 72 ()2()2( 2222 SArR， 2 40 4 3 SR 球球表表 . 15. 【命题意图】本题以双曲线、圆为背景，主要考查圆的切线、双曲线的简单几何性质，属中档题. 【答案】2 【解析】 如图，易知 1 OTFP， 22 1 |T|Fcab 2 /OF PT 21 F PF

27、P， 可知 12 1 | 2 OPFFc，且 12 Rt FPF中，斜边上 的高为 2ab c ，即 2 | P ab x c . 由渐近线的斜率为| a k b 且|OPc，知| P xb， 故 2 =2 abc be ca 16. 【命题意图】本题以中国文化为背景考查数列 求通项和前 n 项和的问题，考查数据处理能力， 属中档偏难题。 【答案】(1) 9 a 341；(2) 102 100 2154 3 S 【解析】 当 n 为偶数时， 1131351353 2462 13531 2 2222222222 2(1 2 )1 22222(22) 1 23 nnnnnnnnn nnnn n n

28、nnn aaaaa ； 当 n 为奇数时， 1131351352 2461 +1 13521 2 2222222222 1 21 22221(21) 1 23 nnnnnnnnn nnnn n nnnn aaaaa 9 1 9 1 (21)=341 3 a 100139924100 2410035101 102 2345100101 ()() 11 (21)(21)(21)(22)(22)(22) 33 112154 (222222)( 150) 333 Saaaaaa 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出

29、文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 【命题意图】本题以原创开放性问题为背景，考查余弦定理、面积公式、三角恒等变换，考查数据的 选择与处理能力，属于中档题. 【答案】无论选择哪个条件，都有= 13BC 【解析】 方案一：选条件： 由面积关系得： 113 ABAC sinBACBCsin 2223 ADBACBAC 5 分 在ABC中，由余弦定理得 2 91624 3 cos60 =13BC ， 所以 = 13BC 10 分 方案二：选条件： 设=BAC，则= 2 BADDAC ，由面积关系得： 1112 3112 33 3 4 sin3sin4sincos 2272272223 5 分 在A

30、BC中，由余弦定理得 2 916243 cos=13 3 BC ， 所以 = 13BC 10 分 方案三：选条件： 设=2BCa，分别在ABC与ADC中由余弦定理得： 2 2 37 9 9416 4 cos=cos 23232 a a DCABCA aa ， 5 分 13 2 a，= 13BC 10 分 另法提示：另法提示：中线加倍延长，由余弦定理可求 1 cos()13 23 BACBACBC 18. 【命题意图】本题源自 2007 版人教 A 版教材必修 5 第 61 页 A 组第 1 题（2），考查了等比数列的通 项公式和前 n 项的和公式，错位相减法求和，意在考查学生的数学计算和数据处

31、理能力，属中档题 【答案】 （1）1q 或 1 2 ； （2） 11 4(64)() 92 n n 【解析】 （1）由 2 21 2 2 2 1 3 1 2 3210 9 (1) 2 a q qq qq q aqq ， 1q或 1 2 5 分 （2）由（1）知 1 1 =6() 2 n n a ， 1 11 () 62 n n nan 7 分 0121 1111 1 ()2()3 ()() 2222 n n Tn 121 11111 ()1 ()2()(1)()() 22222 nn n Tnn 相减得： 0121 311111 () +()()()() 222222 nn n Tn 9 分

32、1 1() 3111 2 ()4(64)() 1 2292 1() 2 n nn nn TnTn 12 分 19.【命题意图】本题以“创建全国文明城市”为背景，主要考查了频率分布表、正态分布、离散型随机变 量的分布列及数学期望等知识，考查逻辑推理与数学运算能力，属于中档题 【答案】 （1）0.1359； （2）分布列见解析，()55E X 【解析】 （1）根据表格中的数据，可得： 66 6600 19814, 100 ， 所以(8094)(+2 )PP 0.95440.6826 0.1359 2 5 分 （2）由题意，可得 1 ()() 2 PP，则获赠话费 X 的可能取值为30,50,60,

33、80,100， 121 (30) 233 P X ， 111 (50) 236 P X ， 1222 (60) 2339 P X ， 1211122 (80) 2332339 P X ， 1111 (100) 23318 P X ， 10 分 则 X 的分布列为： X 30 50 60 80 100 P 1 3 1 6 2 9 2 9 1 18 故期望值 11221 ()3050608010055 369918 E X （元） 12 分 20. 【命题意图】该题以原创立体几何图形为背景考查平面几何元 素求解、线面垂直的判定和性质、二面角的向量求法，属于中 档偏难题，考查直观想象、数学抽象、数据

34、处理的核心素养 【答案】（1）见解析 （2） 55 11 【解析】 （1）证明：连结AO并延长，交BC于M，交圆柱侧面于N ,ABAC OBOC A OB C A B C A1 B1 C1 O O1 P M N y x z 又圆柱 1 OO中， 1 AABC， 1 AOAAA， BC平面 11 AOO A， 3 分 不论P在何处，总有 1 PA 平面 11 AOO A 1 BCPA 5 分 （2）如图，建立空间直角坐标系 1 Oxyz，由（1）知BC x轴，设 11 OOAAANa，则 30 = 6 AB ACa， 在ABC中， 51 =cos 63 AC AM ACCAMACaOMa AN

35、从而 22 3055 =BM= ()() 666 CMaaa . 7 分 1 1511 (0,0),(, ),(0,0,) 2632 AaBaa aPa 11 1155 (0,),(, ). 2266 APaaABaa a 设平面 1 A PB的一个法向量为 ( , , )ux y z，则有 11 0 22 55 0 66 ayaz axayaz ， 取2y ，得 2 (,2, 2) 5 u ， 10 分 而平面 11 BCC B的一个法向量为 (0,1,0)v ，于是得： 2 255 |cos,| 112 ()44 5 u v ，故所求锐二面角的余弦值为 55 11 12 分 21. 【命题

36、意图】本题以余弦函数为背景考查利用导数解决函数不等式问题，涉及函数构造、等价转化、放缩 转化、不等式证明等典型问题，考查逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养属偏难题 【答案】 （1）见解析 （2）1,)a 【解析】 （1）证明：设 2 1 ( )cos(1)(0) 2 g xxxx ，则 ( ) sing xxx 由 ( ) 1 cos0g xx 知 ( ) g x在(0, )上递增， ( )sin(0)0g xxxg 从而 2 1 ( )cos(1)(0) 2 g xxxx是增函数，( )(0)=0g xg，故原不等式成立5 分 （2）已知 cos20 x xaex 对(0,)x恒成立 设

37、( )cos2(0) x xxaexx ， 一方面，由(0)101aa 7 分 另一方面，当1a 时，( )cos2cos2 xx xxaexxex 利用（1）中的结论有： 22 11 ( )121 22 xx xxexexx 9 分 构造函数 2 1 1 2 ( )(0) x xx h xx e ，则 2 ( ) 0 2 x x h x e ( )h x递减 从而( )(0)1h xh， 2 1 1 2 x exx，( )0 x恒成立 综上得：1,)a 12 分 另法提示：另法提示：已知 2cos x xx a e 对(0,)x恒成立构造函数 2cos ( )(0) x xx g xx e

38、，可知 sincos1 ( ) x xxx g x e ，由（1）知 sincos1( )0( )，xxxg xg x 单调递减，则 max ( )(0)1ag xg(请自行酌情给分) 22. 【命题意图】本题根据 2007 版人教 A 版教材选修 2-1 第 81 页 B 组第 3 题改编，考查直线方程和抛物线的标 准方程，直线过定点，弦长公式，利用导数求函数最值 等综合运用，考查数学计算、逻辑推理能力，属于难题 【答案】 （1） 2 2yx（2） 331 (2) 4 yx 【解析】 （1）设抛物线C的标准方程为 2 2(0)ypx p，由已知得 1 1 22 p p 故抛物线C的标准方程为

39、 2 2yx 3 分 （2）先证直线AB过定点(2,0) 设直线AB的方程为x tym ， 1122 ( ,), (,)A x yB xy 22 12 12121212 004 22 yy OAOBx xy yy yy y 联立 2 12 2 2202 2 xtym ytymy ym yx 2m 故直线AB过定点(2,0) 6 分 由已知再设直线AB的方程为(2)yk x，则直线OD的方程为 1 yx k 联立 22 2 2 1 1 22 2 D yx xxxkk k yx ， 2 (2, 2 )Ekk 422 |442|1OEkkkk 联立 22 2 1 (2)2 12 2(2)40 2 y

40、k xxy yyyyk kk yx ， 22 12121212 22 2112 ,4|1+()41+( )16yyy yAByyy y kkkk 22 2 2141kk k 222 42 22 1(1) (41)1 | 22 496 2 OAEB kk SABOEkk kk 9 分 设 22 1 ( )496(0)f ttttk t ，则 2 22 1(1)(81) ( )89 ttt f tt tt ， 由 12,3 133 ( )01,. 16 f ttt 易知( )f t在 133 (0,) 16 递减， 在 133 (+ ) 16 ， 上递增， 因此( )f t在 133 16 t 取最小值， 从而面积取得最小值，此时 331 4 k ， 故直线AB的方程为 331 (2) 4 yx 12 分 另法提示：另法提示：设OA的斜率为(0)k k ，则OB的斜率为 1 k 可知 2 2 22 (,), (2, 2 )ABkk kk 32 42 2 2 2 2 1 2 11 2 ABOD k kkkk k kk kkk k k ， 从而直线 2 22 :2(2)(2) 11 kk ABykxkyx kk ，直线 2 1 : k ODyx k 设 2 0 1 k t k ，则 1 :(2),:OA yt xOD yx t (以下同原解法，从略，请自行酌情给分)