湖南省娄底市2017届高三数学上学期期末教学质量检测试题 [理科](word版，有答案).doc

1、 - 1 - 湖南省娄底市 2017届高三数学上学期期末教学质量检测试题 理 第卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1.设复数 121 , 1z i z i? ? ? ?，其中 i是虚数单位，则 12zz 的模为 A. 14 B. 2 C. 12 D. 1 2.下列说法正确的是 A. “若 1a? ，则 2 1a? ”的否命题是“若 1a? ，则 2 1a? ” B. 在 ABC? 中，“ AB? ” 是“ 22sin sinAB? ”必要不充分条 件 C. “若 tan 3? ，则 3? ”是真

2、命题 D. ? ?0 ,0x? ? ? 使得 0034xx? 成立 3.我国古 代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠 日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果 n? A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 4.下列四个图中，函数 ln 11xy x ? ? 的图象可能是 5.设实数 ,xy满足 22202yxxyx? ? ?，则 13yx? 的取值范围是 A. 1,5? ?B. 1,15?C. 11,53? ?D. 1,13? ?- 2 - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画的是某几何体

3、的三视图，则该几何体的表面积为 S为 ? ?S R r l?（注：圆台侧面积公式为） A. 17 3 17? B. 20 5 17? C.22? D. 17 5 17? 7.已知 ABC? 的外接圆的圆心为 O，半径为 2，且 0OA AB AC? ? ?，则向量 CA 在向量 CB方向上的投影为 A. 3 B. 3 C. 3? D. 3? 8.在正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，若 12AB BB? ，则 1AB 与 1BC 所成角的大小为 A. 6? B. 3? C. 512? D.2? 9.已知函数 ? ? ? ? ? ?s i n 2 c o s 0y x x? ? ? ? ?

4、 ? ? ? ? ? ?的图象关于直线 1x? 对称，则sin2? A. 35 B. 35? C. 45 D. 45? 10.已 知函数 ?fx是定义在 R 上的偶函数 , ? ?1fx? 为奇函数， ? ?00f ? ,当 ? ?0,1x? 时，? ? 2logf x x? ，则在区间 ? ?8,9 内满足方程 ? ? 12 2f x f ? ?的实数 x 为 A. 172 B. 658 C. 334 D.678 11.如图，给定由 10 个点（任意相邻两点距离为 1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 A. 12 B. 13 C. 15 D.

5、16 12.已知函数 ? ? ? ?ln ln ,1 xf x x f xx? 在 0xx? 处取得最大值，以下各式中： ? ?00f x x? ? ?00f x x? ? ?00f x x? ? ?0 12fx? ? ?0 12fx?正确的序号是 A. B. C. D. 第卷（非选择题） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 . 13.设函数 ? ? 2, 12, 1xxfx x? ? ?，则满足 ? ?1 10xf x?的 x 取值范围为 . 14.多项式 ? ?623a b c? 的展开式中 23abc 的系数- 3 - 为 .（用 数字作答） 15.有一个电动玩具，

6、它有一个 96? 的长方形（单位： cm）和一个半径为 1cm的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为 A,E,打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点 A出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为 . 16.设数列 ?na 满足 122, 6aa?，且 2122n n na a a? ? ?，若 ? ?x 表示不超过 x 的最大整数，则1 2 2 0 1 72 0 1 7 2 0 1 7 2 0 1 7a a a? ? ? ? . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17.（本题满

7、分 10分） 已知函数 ? ? ? ?2 1, 1 .f x x g x a x? ? ? ? （ 1）若关于 x 的方程 ? ? ? ?f x g x? 只有一个实数解，求实数 a的取值范 围； （ 2）若当 xR? 时，不等式 ? ? ? ?f x g x? 恒成立，求实数 a的取值范围 . 18.（本题满分 12分） 函数 ? ? ? ?s in 0 ,2f x x ? ? ? ? ? ? ?的部分图像如图所示，将 ? ?y f x? 的图象向右平移 4? 个单位长度后得到函数? ?y g x? 的图象 . （ 1） 求函数 ? ?y g x? 的解析式； （ 2）在 ABC? 中，角

8、A,B,C满足 22 s in 123AB gC ? ? ? ?，且其外接圆的半径 R=2，求 ABC? 的面积的最大值 . 19.（本题满分 12分） 已知数列 ?na 的前 n 项和 11 22nnnSa? ? ? ?， n为正整数 . （ 1）令 2nnnba? ，求证：数列 ?nb 为等差数列，并求出数列 ?na 的通项公式； （ 2）令121 ,n n n nnc a T c c cn? ? ? ? ?，求 nT . - 4 - 20.（本题满分 12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：

9、从本市随机抽取了 10 户家庭，统计了同一个月的用水量，得到右边的茎叶图： （ 1）现要在这 10户家庭中任意选取 3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望； （ 2）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 10户，若抽到 n户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出 n的值 . 21.（本题满分 12 分）如图，在各棱长均为 2的三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧面 11AACC? 底面 ABC ， 1 60.AAC? （ 1）求侧棱 1AA 与平面 1ABC 所成角的正弦值的大小； （ 2）已知点 D满足 BD BA BC?，在直线 1A

10、A 上是否存在点 P,使 DP/平面 1ABC ？若存在，请确定点 P的位置，若不存在，请说明理由 . 22.（本题满分 12分）已知函数 ? ? ? ?2ln 2af x x x x x a a R? ? ? ? ?在定义域内有两个不同的极值点 . （ 1）求实数 a的取值范围； （ 2）记两个极值点为 12,xx，且 12xx? ，已知 0? ，若不等式 12x x e?恒成立，求 ?的取值范围 . - 5 - 一、选择题 1-12 DCACB DBDDB CA 二、填空题： 13. 14. -6480 15. 16.2016 三 ：解答题 17.解：（ ）方程 |f（ x） |=g（ x

11、），即 |x2 1|=a|x 1|，变形得 |x 1|（ |x+1| a） =0，显然， x=1 已是该方程的根，从而欲使原方程只有 一解，即要求方程 |x+1|=a有且仅有一个等于 1的解或无解， a 0? 5分 （ ）当 x R时，不等式 f（ x） g（ x）恒成立，即（ x2 1） a|x 1|（ *）对 x R恒成立， 当 x=1时，（ *）显然成立，此时 a R； 当 x 1时，（ *）可变形为 a ， 令 （ x） = = 因为当 x 1时， （ x） 2，当 x 1时， （ x） 2，所以 （ x） 2，故此时 a2 综合 ，得所求实数 a的取值范围是 a 2? 10分 18.

12、（ ）由图知 ，解得 ，即 由于 ，因此 ? 3分 即函数 的解析式为 ? 6分 - 6 - （ ） ，即 ，所以 或 1（舍）， ? 8分 由正弦定理得 ，解得 由余弦定理得 ， （当且 仅当 a=b等号成立） 的面积最大值为 .? 12分 19.解：（ I）在 中，令 n=1，可得 ，即 当 时， ， . 又 数列 是首项和公差均为 1 的等差数列 . 于是 .? 6分 (II)由（ I）得 ，所以- 7 - 由 - 得 ? 12 分 20.解：（ 1）由茎叶图可知抽取的 10 户中用水量为一阶的有 2户，二阶的有 6 户， 三阶的有 2户。 第二阶梯水量的户数 X 的可能取值为 0,1,

13、2,3 ? 1分 ， ， 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 P ? 5分 EX= ? 6分 (2)设 Y 为从全市抽取的 10 户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得 Y B , 所以 ，其中 ? 8分 设 ? 10分 若 ，则 ， ； 若 ，则 ， 。 - 8 - 所以当 或 ， 可能最大， 所以 的取值为 6。? 12分 21.解：（ 1) 侧面 底面 ，作 于点 ， 平面 又 ，且各棱长都相等， ， ， ? 2 分 故以 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， ? 4分 设平面 的法向量为 ， 则 ,解得 由 而侧棱 与平面 所成角，即是向量 与平面

14、 的法向量所成锐角的余角， 侧棱 与平面 所成角的正弦值的大小为 ? 6分 （ 2） ，而 又 ， 点 的坐标为 假设存在点 符合题意，则点 的坐标可设为 ， ， 为平面 的法向量， 由 ，得 ? 10分 又 平面 ，故存在点 ，使 ，其坐标为 ， 即恰好为 点? 12分 - 9 - 22.解：（ ）由题意知，函数 f（ x）的定义域为（ 0， +），方程 f （ x） =0 在（ 0， +）有两个不同根； 即方程 lnx ax=0在（ 0， +）有两个不同根； （解法一）转 化为函数 y=lnx与函数 y=ax 的图象在（ 0， +）上有两个不同交点， 如右图 可见，若令过原点且切于函数 y

15、=lnx图象的直线斜率为 k，只须 0 a k 令切点 A（ x0， lnx0）， 故 ，又 ，故 ，解得， x0=e， 故， 故 ? 4分 （解法二）转化为函数 与函数 y=a的图象在（ 0， +）上有两个不同交点 又 ， 即 0 x e时， g（ x） 0， x e时， g（ x） 0， 故 g（ x）在（ 0， e）上单调增，在（ e， +）上单调减 故 g（ x）极大 =g（ e） = ； 又 g（ x）有且只有一个零点是 1，且在 x 0时， g（ x），在在 x +时， g（ x） 0， 故 g（ x）的草图如右图， 可见，要想函数 与函数 y=a的图象在（ 0， +）上有两个不同交点， 只须 ? 4分 （解法三）令 g（ x） =lnx ax，从而转化为函数 g（ x）有两个不同零点， 而 （ x 0）， 若 a 0，可见 g（ x） 0在（ 0， +）上恒成立，所以 g（ x）在（ 0， +）单调增， - 10 - 此时 g（ x）不可能有两个不同零点 若 a 0，在 时， g（ x） 0，在 时， g（ x） 0， 所以 g（ x）在 上单调增，在 上单调减，从而= ， 又因为在 x 0时， g（ x），在在 x +时， g（ x）， 于是只须： g（ x）极大 0，即 ，所以 综上所述， ? 4分