黑龙江省大庆市2018届高三数学上学期期中试题 [理科](word版，有答案).doc

1、 1 2017-2018 学年度上学期期中考试 高三数学（理）试题 一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 ? ?12A x x? ? ?， ? ? ?2 , 0 , 3xB y y x? ? ?，则 ABI =( ) A. ? ?0,3 B. ? ?1,3 C.? ?1,3 D.? ?1,6 2.已知向量 ? ?2,1a?r ， ? ?1,3b?r ，则向量 2ab?rr 与 ar 的夹角为 ( ) A. 135 B. 60 C. 45 D. 30 3.已知 2sin2 3? ，则 2cos4?( ) A.

2、16 B. 13 C. 12 D. 23 4.已知 nS 是等差数列 ?na 的前 n 项和，则 1 3 5 8 1 02 ( ) 3 ( ) 3 6a a a a a? ? ? ? ?，则 11S =( ) A. 22 B. 33 C.44 D.66 5. 对于任意实数 x ， 不等式 2( 2 ) 2 ( 2 ) 4 0a x a x? ? ? ? ?恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A.( ,2)? B. ? ?,2? C. ? ?2,2? D.( 2,2)? 6. 已知实数 ,xy满足条件 22220xyxyx?,则 yx 的最小值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D.

3、4 7.如果满足 6 0 , 1 2 ,A B C A C B C k? ? ? ? ?的 ABC? 恰有一个，那么 k 的取值范围是 ( ) A. ? ?83kk? B. ? ?0 12kk? C. ? ?12kk? D. ? ?0 1 2 , 8 3k k k? ? ?或 2 8.某几何体的三视图如图所示，则 该几何体的表面积 为 ( ) A. 83 B. 43 C. 8 4 2? D. 4 8 2? 9. 已知函数 ? ? ? ?s in 2 (0 )2f x x ? ? ? ?的图象的一条对称轴为直线 12x ? ，则要得到函数 ? ? 3 sin 2g x x? 的图象，只需把函数

4、?fx的图象 ( ) A. 向右平移 3? 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 3 倍 B. 向右平移 6? 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 3 倍 C. 向左平移 3? 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 3 倍 D. 向左平移 6? 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 3 倍 10.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思是“有一个人走路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了 6 天 ，共走 378里。”请问第四天走了 ( ) A.12里 B.24里 C. 36里 D.

5、 48 里 11.已知函数 ? ? sin 2f x x x?，且 ? ?0 . 3231ln , lo g , 223a f b f c f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则以下结论正确的是 ( ) A. c a b? B. a c b? C. abc? D. bac? 12.已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 1,1xe?，总存在唯一的 (0, )y? ? ，使得lnln 1 yyx x a y? ? ? 成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. ? ?,0? B. ? ?,0? C. 2,ee? ?D. ? ?,1? 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共

6、20分，把答案填在题中横线上 . 13.设 ()fx? 为函数 ()fx的导数， 2( ) 2 (1)f x x x f ? ? ?,则 ( 1)?_. 3 14 ,AB均为锐角， ? ? 2 4 3c o s , s in2 5 3 5A B B ? ? ? ? ?，则 cos3A ?=_. 15.在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 1 3, 2A A AB? ，若棱 AB 上存在点 P ，使得1DP PC? ，则棱 AD 的长的取值范围是 _. 16.设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，已知 2 2a? ， 12 ( 1) 1nnnaa? ? ? ?，则 60S

7、? _. 三 .解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.(本小题 10分 )已知函数 ? ? s in (s in 3 c o s )f x x x x?. （ 1）求函数 ?fx的解析式及其最小正周期； （ 2）当 x 0,3?时，求函数 ?fx的值域和增区间 18.(本小题 12 分 )已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，公差 0d? ，且 1318SS?， 1 4 13,a a a 成等比数列 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 13nnnba? ，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 19. (本小题 1

8、2 分 )已知 ABC? 的三个内角 ,ABC 所对应的边分别为 ,abc，若3 ,24A b c?. （ 1）求 cos cosAC的值； （ 2）若 ABC? 的面积 4S? ，求 ,abc. 20.（本小题满分 12分）在如图所示的五面体中，面 ABCD为直角梯形， 2BAD ADC ? ? ? ?，平面 ADE ? 平面4 ABCD ， 2 4 4EF CD AB? ? ?， ADE? 是边长为 2的正三角形 . （ 1）证明： /EF ABCD平 面 ； （ 2）证明： BE? 平面 ACF 21.( 本 小 题 12 分 ) 设 数 列 ?na 的前 n 项 和 为 nS ， 已

9、知 122, 8aa?，? ?114 5 2n n nS S S n? ? ?， nT 是数列 ? ?2log na 的前 n 项和 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）求满足231 1 1 5 011 991nT T T? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L的最大正整数 n 的值 . 22.(本小题 12分 )已知 21( ) ln2f x x a x?,aR? . （ 1）若函数 ()fx在 ? ?1,? 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 2）设正实数 1? ， 2? 满足 121?，当 0a? 时，求证：对任意的两个正实数 1x ， 2x 总有 1

10、 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )f x x f x f x? ? ? ? ? ?. 5 高三数学（理）试题参考答案 一选择题 (共 12小题，每小题 5分，共 60分 ) BCABC ADCBB DB 二填空题 (共 4小题，每小题 5分，共 20分 ) 13. 3 14. 117125 15.? ?0,1 16. 510 三解答题 17.解： （ 1） ? ? 2 3 1 c os 2 x 3 1si n si n 2 si n 2 si n 22 2 2 6 2f x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ?, T?； （ 2） x0,3?所以526 6 6x?

11、 ? ? ? ?， 1 sin 2 126x ? ? ? ? ?1 02 fx? ? ?函数 ?的值域为102?，x0,3?， 526 6 6x? ? ? ? ?，所以522 6 6x? ? ? ?，解得x63?所以函数 ?fx的增区间为 63?，18.解： （ 1） 1318SS?， 1 4 13,a a a 成等比数列 14 3 18ad?， ? ? ? ?224 1 1 3 1 1 13 1 2 ,a a a a d a a d? ? ? ? ? 解得 1 3, 2ad? 21nan? (2) 1(2 1) 3nnbn ? 数列 bn前 n项和 213 5 3 7 3 ( 2 1 ) 3

12、 nnTn ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 33 3 5 3 7 3 ( 2 1 ) 3 nnTn? ? ? ? ? ? ? ?， 2 3 12 3 2 ( 3 3 3 3 ) ( 2 n 1 ) 3 2 3n n nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3nnTn? 19.解： （ 1）由余弦定理，得 2 2 2 2 22 c o s 2a b c b c A b c b c? ? ? ? ? ?， 又 2bc?， 2 2 2 2 22 2 5a c c c c? ? ? ?， 5ac?， 6 2 2 2 3c o s2 10a b cC ab?， 3cos c

13、os 510AC?. （ 2）由 13si n 2 , 2 ,24bc A b c A ? ? ?，得 22c? ， 2 4 , 5 2 1 0b c a c? ? ? ?. 20.解： （ 1）由 AB/CD,可证 AB/平面 CDEF, 由线面平行的性质定理，可证 AB/EF, 由线面平行的判定定理，可证 EF/平面 ABCD. (2)取 AD的中点 N，连接 ,NBNE，依题意易知 NE AD?， 平面 ADE?平面 ABCD NE?平面 ABCD NE AC?. 又 4ANB NA C? ? ? ?AC BN，所以 AC?平面 BNE，所以 AC BE?. 可证 /EF AB ， 在

14、Rt AEF?和 RtABE?中， 1ta n ta n 2A E B A F E? ? ? ? BE AF?. 因为 AF AC A?， ,AF AC?平面 CF，所以 BE?平面 CF. 法二：建立空间直角坐标系，向量法。 21.解： （ 1）当 2n?时， 1145n n nS S S?， ? ?114n n n nS S S S? ? ?. 1 4nnaa? ?. 1 2a?， 2 8a?， 214aa?. 数列 ?na是以 1 2a?为首项，公比为 4的等比数列 . 1 2 12 4 2nnna ? ? ?. （ 2）由（ 1）得： 2122lo g lo g 2 2 1nnan?

15、? ?， 2 1 2 2 2lo g lo g lo gnnT a a a? ? ? ? ? ?1 3 2 1n? ? ? ? ? ?1 12nn?2n?. 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2231 1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 11 1 1 1 1 12 3 2 3 4n nT T T n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 21 3 2 4 3 5 1 1234 nnn? ? ? ? ? ? ? ? ?

16、? ? ? ? 12nn?. 令 2nn?5099? ，解得： 99n? . 故满足条件的最大正整数 的值为 98 . 7 22.解： (1)由已知 ( ) 0af x x x? ? ?， (1, )x? ? ? 恒成立， 即 2ax? 1, )x? ? ? 恒成立 所以 1a? ；故 a 的取值范围是 ? ?,1? ； （ 2）证明：不妨设 12(0, )xx? ? ? ，以 1x 为变量 令 1 2 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )F x f x x f x f x? ? ? ? ? ? ?， 则 1 1 2 2 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

17、F x f x x f x f x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 ( ) ( ) ag x f x x x? ? ?，则 2( ) 1 agx x?因为 0a? ，所以 ( ) 0gx? ；即 ()fx在定义域内单调递增。 又因为 1 2 2 1 2 2 2 2 2( 1 )x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?且 2xx? 所以 1 2 2 0x x x? ? ?即1 2 2x x x?，所以 1 2 2( ) ( ) 0f x x f x? ? ?；又因为 1 0? ，所以 ( ) 0Fx? 所以 ()Fx在 ? ?20,x 单调递增；因为 ? ?120,xx? 所以 12( ) ( ) 0F x F x? 即 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )f x x f x f x? ? ? ? ? ?