上海市金山区2018届高三数学上学期期末质量监控试题(word版，有答案).doc

1、 - 1 - 上海市金山区 2018届高三数学上学期期末质量监控试题 (满分： 150分，完卷时间： 120分钟 ) （答题请写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54分 ， 第 1 6题每题 4分，第 7 12题每题 5分 ） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1若全集 U=R，集合 A=x|x 0或 x 2，则 UA= 2不等式 01?xx 的解为 3方程组? ? ? 532 123 yx yx的增广矩阵是 4 若复数 z=2 i（ i为虚数单位），则 zzz ? = 5 已知 F1、 F2是椭圆 1925 22 ? yx 的两个焦点， P 是椭圆上 的一个动

2、点，则 |PF1| PF2|的最大值是 _ 6 已知 x， y满足?20301xyxyx ，则 目标函数 k=2x+y的最大值为 7 从一副混合后的扑克牌（ 52张）中随机抽取 1张，事件 A为 “ 抽得红桃 K” ，事件 B为 “ 抽得为黑桃 ” ，则概率 P(A B)= （结果用最简分数表示） 8 已知 点 A(2， 3)、点 B( 2， 3 )，直线 l过点 P( 1， 0)， 若直线 l与线段 AB 相交，则直线 l的倾斜角 的取值范围是 9. 数列 an的通项公 式是 an=2n 1(n N*)，数列 bn的通项公式是 bn=3n(n N*)，令集合 A=a1，a2，?， an，?

3、， B=b1， b2，?， bn，? ， n N*将集合 A B中的 所有 元素按从小到大的顺序排列 ， 构成的数列记为 cn则数列 cn的前 28项的和 S28= 10 向量 i 、 j 是 平面直角坐标系 x轴、 y轴的 基本 单位向量，且 |a i |+|a 2j |= 5 ，则 |2| ia? 的取值范围为 11某地区原有森林木材存有量为 a，且每年增长率为 25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材 量为 101 a，设 an为第 n年末后该地区森林木材存量，则 an= - 2 - 12 关于函数 ()1xfx x? ?，给出以下四个命题： (1)当 x0时， y=f(x)单调递

4、减且没有最值；(2)方程 f(x)=kx+b(k 0)一定有 实数 解； (3)如果方程 f(x)=m(m为常数 )有解，则解的个数一定是 偶 数； (4) y=f(x)是偶函数且有最小值其中假命题的序号是 二、选择题（本大题共 4小题， 满分 20分， 每小题 5分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13若非空集合 A、 B、 C满足 A B=C，且 B不是 A的子集，则 ( ) (A) “ x C”是“ x A”的 充分 条件但不是 必要条件 (B) “ x C”是“ x A”的 必要 条件但不是 充分条件 (C) “ x C”是“ x A”的

5、 充要条件 (D) “ x C” 既不 是 “ x A”的 充分 条件也 不 是 “ x A”的 必要条件 14 将 如 图所示的一个 Rt ABC（ C=90 ）绕斜边 AB 旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的 ( ) 15二项式 ( 3 i x)10(i 为虚数单位 )的展开式中第 8项是 ( ) (A) 135x7 (B)135x7 (C)360 3 i x7 (D) 360 3 i x7 16给出 下列 四个 命题 ： (1)函数 y=arccosx ( 1 x 1)的反函数为 y=cosx(x R)； (2)函数 12 ? mmxy (m N)为奇函数 ； (3)参数

6、方程?2221211ttyttx(t R)所表示的曲线是圆； (4)函数 f(x)=sin2x 21)32( ?x ，当 x2017时， f(x)21 恒成立 其中真命题 的 个数为 ( ) (A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个 第 14 题图 (A) (B) (C) (D) . C B A - 3 - 三、 解答题（本大题共有 5题，满 分 76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17 (本题满分 14分，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分 ) 如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的 棱长为 2， E， F分别是 BB1、 CD的

7、中点 (1) 求三棱锥 F AA1E的体积； (2) 求异面直线 EF与 AB所成角的大小 （结果用反三角函数值表示） 18 (本题满分 14分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分 ) 已知函数 f(x)= 3 sin2x+cos2x 1 (x (1) 写出函数 f(x)的最小正周期 以及 单调递增区 间； (2) 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 f(B)=0， 23?BCBA ，且 a+c=4，求 b的值 19 (本题满分 14分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分 ) 设 P(x, y)为 函数 f(x)= axx ?2 (x D， D为

8、定义域 )图像上的 一个动 点 ， O为坐标原点，|OP|为点 O与点 P两点间的距离 (1) 若 a=3， D=3， 4，求 |OP|的最大值与最小值； (2) 若 D=1， 2， 是否存在实数 a，使得 |OP|的最小值 不小于 2？ 若存在，请求出 a的取值范围； 若 不存在，则说明理由 20 (本题满分 16分 ， 第 1小题满分 4分，第 2小题满分 5分 ， 第 3小题满分 7分 ) 给出定理： 在圆锥曲线中， AB 是抛物线 ： y2=2px (p0)的一条弦， C是 AB的中点，过点 C且平行于 x轴的直线与抛物线的交点为 D，若 A、 B两点纵坐标 之 差 的绝对值 | BA

9、 yy ? =a (a0)， 则 ADB的面积 S ADB=pa163 试运用上述 定理 求解 以下各题 ： (1) 若 p=2， AB 所在直线的方程为 y=2x 4， C 是 AB 的中点，过 C 且平行于 x 轴的直线与抛物线 的交点为 D，求 S ADB； - 4 - (2) 已知 AB 是抛物线 ： y2=2px (p0)的一条弦， C是 AB的 中点，过 点 C 且平行于 x轴的直线与抛物线的交点为 D， E、 F分别为 AD和 BD 的中点，过 E、 F且 平行于 x 轴的直线与抛物线 ： y2=2px (p0)分别交于点 M、 N，若 A、 B两点纵坐标 之 差 的绝对值 |

10、BA yy ? =a (a0)，求 S AMD和 S BND； (3) 请 你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线 ： y2=2px (p0)与弦 AB 围成的 “ 弓形 ” 的面积 ，并求出相应面积 21 (本题满分 18分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分 ) 若数列 an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称 an为 “ 等比源数列 ” (1) 已知数列 an中， a1=2， an+1=2an 1求数列 an的通项公式； (2) 在 (1)的结论下，试判断数列 an是否为 “ 等比源数列 ” ，并证明你的结论； (3) 已知数列 an为等差数列，

11、且 a10 ， an n *)，求证： an为 “ 等比源数列 ” 参考答案 (满分： 150分，完卷时间： 120分钟 ) 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分 ， 第 1 6题每题 4分，第 7 12题每题 5分 ） 1 A=x|00)的一条弦， M是 AD的中点，且 A、 D 两点纵坐标之 差 为定值， |yA yD|=2a (a0)， ? 6分 由已知的结论，得 S AMD= papa 168116)2( 33 ? ， ? 8分 同理可得 S BND= papa 168116)2( 33 ? ；? 9分 (3) 将 (2)的结果看作是一次操作，操作继续下去， 取每段新弦的中点作

12、平行于 x 轴的直线与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积。操作无限重复下去 第一次操作，增加的面积为 S AMD和 S BND= papa 164116 )21(2 33 ? ， ? 10分 第二次操作，增加了 4 个三角形，面积共增加了 papa 1616116 )41(2 332 ? ， ? 12分 第三次操作，增加了 8 个三角形，面积共增加了 papa 1664116 )81(2 333 ? ， ? 14分 ? - 7 - 可得到一个公比为 14 的无穷等比数列 ， 随着操作继续充分下去，这些三角形逐渐填满抛物线与弦 AB 围成的 “ 弓形 ” ， ? 15 分 因此

13、 “ 弓形面积 ” )41(16141116lim 13 ? ? nn paS pa123? ? 16 分 21解 (1) 由 an+1=2an 1，得 an+1 1=2(an 1)，且 a1 1=1， 所以数列 an 1是首项为 1，公比为 2的等比数列， ? ? ?2 分 所以 an 1=2n 1， 所以，数列 an的通项公式为 a n=2n 1+1 ? ? ? 4分 (2)数列 an不是“等比源数列”，用反证法证明如下： 假设数列 an是“等比源数列”，则存在三项 am， an， ak (m n k)按一定次序排列构成等比数列， 因为 an=2n 1+1，所以 am an ak， ? ?

14、 ? ? 7分 所以 an2=am ak，得 (2n 1+1)2=(2m 1+1)(2k 1+1)，即 22n m 1+2n m+1 2k 1 2k m=1， 又 m n k， m， n， k N*， 所以 2n m 11 ， n m+11 ， k 11 ， k m1 ， 所以 22n m 1+2n m+1 2k 1 2k m为偶数 ， 与 22n m 1+2n m+1 2k 1 2k m=1矛盾 ， 所以， 数列 an中 不存在任何三项， 按一定次序排列构成等比数列 ， 综上可得，数列 an不是“等比源数列”； ? ? ? ? 10分 (3)不妨设等差数列 an的公差 d 0， 当 d=0时

15、，等差数列 an为非零常数数列， 数列 an为“等比源数列”； 当 d 0时，因为 an Z，则 d 1，且 d Z，所以 数列 an中必有一项 am 0，? 12分 为了使得 an为“等比源数列”， 只需要 an中存在第 n项，第 k项 (m n k)，使得 an2=amak成立， 即 am+(n m)d2=amam+(k m)d， 即 (n m) 2am+(n m)d =am(k m)成立 ，? 15分 当 n=am+m， k=2am+amd+m时 ， 上式成立 ， 所以 an中存在 am， an， ak成等比数列 ， 所以，数列 an为“等比源数列” ? ? ?1 8分 注意：第 (3)题批改时注意答案的验证