状态变量法-课件.ppt

1、18.1 状态变量和状态方程状态变量和状态方程18.2 状态方程的列写状态方程的列写18.3 状态方程的时域解析解状态方程的时域解析解法法本章重点本章重点18.4 状态方程的拉普拉斯变换法求解状态方程的拉普拉斯变换法求解1ppt课件 本章重本章重点点 状态方程的求解状态方程的求解 状态方程的建立状态方程的建立 返回目录返回目录2ppt课件18.1 18.1 状态变量和状态方程状态变量和状态方程一、状态变量一、状态变量（state variable）x 分析动态过程的独立变量。分析动态过程的独立变量。选定系统中一组选定系统中一组最少数量最少数量的变量的变量 x=x1,x2,xnT ，如果当如果当

2、 t=t0 时这组变量时这组变量 x(t0)和和 t t0 后的输入（激励）后的输入（激励）e(t)为已知，为已知，就可以确定就可以确定t0及及t0以后任何时刻系统的响应。以后任何时刻系统的响应。x(t0)e(t)t t0 称这一组称这一组最少数目最少数目的变量为的变量为状态变量状态变量。y(t)t t0 确定确定 说明：说明：x表示状态变量的列向量。为区分符号，表示状态变量的列向量。为区分符号，以下用以下用表示向量或矩阵。表示向量或矩阵。3ppt课件V)30sin(20)(,0)0(V,3)0(o tteiuLC 已知已知 输出变量输出变量:uL,iC,uR,iR。选选 uC，iL 为为 状

3、态变量。状态变量。解解 由由V10)0(0)0(V3)0(eiuLCuL(0)=7ViC(0)=-1.5AiR(0)=1.5AuR(0)=3V例例 RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2 4ppt课件推广至任一时刻推广至任一时刻 t1 )()()(111tetituLCuL(t1)=e(t1)-uC(t1)uR(t1)=uC(t1)iC(t1)=iL(t1)-uC(t1)/R iR(t1)=uC(t1)/R 可由可由 可见当可见当 t=t1 时时 uC，iL 和和 t t1 后的输入后的输入e(t)为已为已 知，知，就可以确定就可以确定t1及及t1以后任何时刻系统的响应。以后

4、任何时刻系统的响应。问题：如何求出问题：如何求出 t1时刻的状态变量。时刻的状态变量。5ppt课件二、状态方程二、状态方程（state equation）求解状态变量的方程。求解状态变量的方程。设选设选 uC ,iL 为状态变量为状态变量 RuituCiCLCC ddCLLutetiLu )(dd列微分方程列微分方程 改写为改写为 LCCiCuRCtu11dd )(11ddteLuLtiCL LRCe(t)+-uCiL+-iC+-uL称为状态方程。称为状态方程。6ppt课件矩阵形式矩阵形式 d110d()1d10dCCLLuutRCCe tiiLLt x=x1 x2 xnT T12nxx xx

5、 式中式中 ()()()x tA x tB v t 一般形式一般形式 n nn rLCCiCuRCtu11dd )(11ddteLuLtiCL 状态方程的特点：状态方程的特点：（1）是一阶微分方程组；是一阶微分方程组；（2）左端为状态变量的一阶导数；左端为状态变量的一阶导数；（3）右端仅含状态变量和输入量。右端仅含状态变量和输入量。n 1r 17ppt课件三、输出方程（三、输出方程（output equation）)(00010/1011/101teiuRRiuiuLCRRCL 特点：特点：（1）代数方程；代数方程；（2）用状态变量和输入量表示输出量。用状态变量和输入量表示输出量。一般形式一般

6、形式 Y(t)=C X(t)+Dv(t)uL=e(t)-uC(t)uR(t)=uC(t)iC(t)=iL(t)-uC(t)/R iR(t)=uC(t)/R RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR返回目录返回目录8ppt课件18.2 18.2 状态方程的列写状态方程的列写 一、直观法一、直观法 选选 uC,i1 ,i2为为状态变量。状态变量。21CddiituC 对包含电容的节点列对包含电容的节点列KCL（duC/dt）R1-+uSCuCiSR2i2L2L1 -+i1 例例1 列写图示电路列写图示电路 的状态方程。的状态方程。分析：分析：对包含电感回路列对包含电感回路列KVL（d

7、iL/dt）S12111)(dduRiiutiLC 2S212122)()(ddRiiuRiiutiLSC 9ppt课件S1111S111122112222222d11000dd11 0 dd11dCCutCCuuiRRiitLLLLiiRRRRtLLLLL 整理成矩阵形式，得状态方程如下：整理成矩阵形式，得状态方程如下：10ppt课件选选 u1,u2,i3 ,i4为状态变量为状态变量 4511ddiituC 5622ddiituC S66233dduRiutiL 1266S44dduuRiutiL 消去非状态量消去非状态量 i5 ,i6 i5=(u2-u1)/R5i6=i4-i3 代入上式，

8、整理为矩阵形式代入上式，整理为矩阵形式 L3i3uSR6R5C2C1L4+-i5i6i4+-+-u1 u2例例2 列写图示电路的状态方程。列写图示电路的状态方程。11ppt课件S434321464644363632225251151543211100111011111011uLLiiuuLRLRLLLRLRLCCCRCRCCRCRiiuu 12ppt课件二、叠加法二、叠加法 （1）将电源、电容、电感均将电源、电容、电感均抽到网络外，网络内均为电阻。抽到网络外，网络内均为电阻。（2）电容用电压源替代，电）电容用电压源替代，电感用电流源替代。感用电流源替代。（3）用叠加定理求）用叠加定理求iC ,

9、uL。则则 uS，iS，uC，iL共同作用下的共同作用下的 iC,uL为：为：iC=a11 uC+a12 iL+b11 uS+b12 iS uL=a21 uC+a22 iL+b21 uS+b22 iS SS2221121122211211iubbbbiuaaaauiLCLC+-uCuSRR+iSiL+-tuCCddtiLLdd由此可得状态方程。由此可得状态方程。步骤：步骤：+-uLiC13ppt课件 设设uC1、uC2、iL为状态变量为状态变量 （1）uC1 单独作用：单独作用：iL=0，iS=0，uS=0,uC2=0。求：求：iC1，iC2 ,uL。解解 2111RRuiCC 1CLuu 2

10、112RRuiCC 例例 iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL+-+-+-+-R1R2uC1iC1iC2uL-+14ppt课件（2）uC2 单独作用：单独作用：iL=0，iS=0，uS=0 ,uC1=0。求：求：iC1，iC2 ,uL。2121RRuiCC 2CLuu 2122RRuiCC LCii 10 LuLCii 2（3）iL 单独作用：单独作用：iS=0，uS=0,uC1=0，uC2=0。求：求：iC1，iC2 ,uL。R1R2uC2iC1iC2uL-+R1R2iC1iC2uL-+iL15ppt课件（4）uS 单独作用：单独作用：iS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0

11、。求：求：iC1，iC2 ,uL。（5）iS 单独作用：单独作用：uS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0。求：求：iC1，iC2 ,uL。211RRuiSC 0 Lu212RRuiSC 2111RRiRiSC 0 Lu2122RRiRiSC R1R2iC1iC2uS-+uL+-R1R2iC1iC2iSuL+-16ppt课件uC1 uC2 iL uS iS tuCCdd11tuCCdd22tiLLdd211RR 211RR 211RR 1211RR 101 211RR 0211RR 211RRR 0212RRR 1（6）整理成标准形式整理成标准形式 SS2122211121221121221

12、22121211211210)()(0)(1)(10111)(1)(11)(1)(1ddddddiuRRCRRRCRRRCRRCiuuLLCRRCRRCCRRCRRCtitutuLCCLCC17ppt课件三、拓扑法三、拓扑法 在树支中在树支中 在连支中在连支中 （3）形成单树支割集矩阵形成单树支割集矩阵 Q，单连支回路矩阵，单连支回路矩阵B；（4）对单树支割集列写对单树支割集列写KCL方程方程 用连支电流表示树支电流；用连支电流表示树支电流；it=-Ql il（1）线性电路以线性电路以 iL，uC 为状态变量。为状态变量。（2）每个元件抽象为一条支路，每个元件抽象为一条支路，选一个树使选一个树

13、使 基本思想基本思想 CRtuS+-RlLiS常态树常态树 (Proper tree)18ppt课件（6）消去非状态量；消去非状态量；例例 （7）整理，得到状态方程。整理，得到状态方程。（5）对基本回路列写对基本回路列写KVL方程方程 用树支电压表示连支电压；用树支电压表示连支电压；ul=-Bt utuSiSR1L4C3+-R5123456 （1）选选 uC，iL 为为状态变量。状态变量。+-uCiL （2）以以1，2，3为为树支的树支的常态树。常态树。19ppt课件1 00 101 0 10 01 10 0 111 0Q （3）树支电流树支电流 连支电流连支电流 10001101011000

14、1101B TS2s1iiiiiiiRLCuR（4）tlliQi 1s2S101011110RLtuRCiiiiiii （1）QlBt20ppt课件树支电压树支电压 连支电压连支电压 选出与选出与 iC 有关方程为有关方程为 iC=iL+iR5 lttuBu 选出与选出与uL有关方程为：有关方程为：uL=uR1 uC 15SS101011110LRlRiCuuuuuuu （2）Ts5S1iRLCRuuuuuuu （5）21ppt课件（6）消去（消去（3）式中非状态量）式中非状态量 iR5 和和 uR1 iC=iL+iR5uL=uR1-uC（3）由欧姆定理由欧姆定理 uR1=R1 iR1 由方程

15、组（由方程组（1）iR1=-iL+iS 由欧姆定理由欧姆定理 iR2=uR5/R2 由方程组（由方程组（2）uR5=-uC+uS uR1=R1(-iL+iS)iR5=(-uC+uS)/R5 代入代入 22ppt课件状态方程为状态方程为 SS151543001111ddddiuRRiuRRtiLtuCLCLC整理得整理得 CLLCLCuiiRuRuRuii S155S矩矩 阵形式阵形式 SS4135414335001111ddddiuLRCRiuLRLCCRtituLCLC返回目录返回目录23ppt课件18.3 18.3 状态方程的时域解析解法状态方程的时域解析解法一、一、线性状态方程的解线性状

16、态方程的解 1.一阶状态方程的解答形式一阶状态方程的解答形式 d()()()dx tax tbv tt (0)x初初值值上式两边同乘上式两边同乘 e-at d()e()e()datatx tax tbv ttde()e()datatx tbv tt 即即24ppt课件上式等号两边积分上式等号两边积分 00de()de()ddttaaxbv 00e()e()dtataxbv 0()e(0)ee()dtatatax txbv 0e()(0)e()dtatax txbv 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 25ppt课件2.状态方程组的解答形式状态方程组的解答形式 0()e (0)e e (

17、)dtAtAtAx txB v ()()()x tA x tB v t 比照一阶做法，得比照一阶做法，得 式中式中 eAt 称作矩阵指数，称作矩阵指数，也称为状态转移矩阵也称为状态转移矩阵(state transition matrix)022def!1!21ekkkAttAktAAtI3.关于矩阵指数关于矩阵指数 定义定义 性质性质 AtAtAAtAAtIttIAtAtAtAte!21)!21(ddeddee23222 （单位阵）（单位阵）26ppt课件4.用矩阵对角线化的方法计算用矩阵对角线化的方法计算eAt b.对每一个特征值对每一个特征值 i 求特征向量求特征向量 pi A-iI pi

18、=0c.构成构成A的对角化转换矩阵的对角化转换矩阵 P=p1 p2 pn n1 nn d.求求eAt eAtP e t P-1 式中式中12e diageeentttt a.由矩阵由矩阵A的特征方程的特征方程 求特征值求特征值 1，2，n（假设各特征值相异）假设各特征值相异）0det IA 27ppt课件例例1 已知已知 ，求，求31 20A eAt。解解 0det IA 21023213212 即即111121111121112111 03110211122pppAIpppppp 对对应应特特征征值值的的特特征征向向量量满满足足下下式式即即取取，则则，得得28ppt课件12222222122

19、2122222 03210221111pppAIpppppp 对对应应特特征征值值的的特特征征向向量量满满足足下下式式即即取取，则则，得得1211 21Ppp111 21P ttt2e00ee 29ppt课件122222e e 1111e0 e 21210ee2eee 2e2e2eeAtttAttttttttttPP 由由 可可得得例例2 已知一电路的状态方程为已知一电路的状态方程为1122312200 xxvxx 12(0)21(0)5xvx 初初值值，输输入入。，求求)()(21txtx30ppt课件22221e e2eee e 2e2e2eeAtttttAttttt 例例 已已求求出出解

20、解 方程的全解方程的全解 0()e (0)e e ()dtAtAtAx txB v 零输入解零输入解xf(t)零状态解零状态解xe(t)222222()e (0)2e2eee7e9e 52e2e2ee14e9eAtfttttttttttttxtx 31ppt课件()0()2()()2()()2()()2()0()e ()d2e2eee d02e2e2ee tA tetttttttttx tB u 全响应为全响应为 22()()()5e7e 10e7e2fettttx txtx t de44ee4e2t0)(2)()(2)(tttt tttt22e24e22ee2返回目录返回目录32ppt课件1

21、8.4 18.4 状态方程的拉普拉斯变换法求解状态方程的拉普拉斯变换法求解两边取拉氏变换，得两边取拉氏变换，得 ()()()x tA x tB v t ()(0)()()s X sxA X sB V s()()(0)()s IAX sxB V s 10 01I 单位矩阵单位矩阵 1()()(0)()X ss IAxB V s线性非时变电路的状态方程标准形式为线性非时变电路的状态方程标准形式为 作拉氏反变换，得作拉氏反变换，得=1()x t()X s33ppt课件=1()x t()X s即即()x t=-11()(0)s IAx-11()()s IAB V s 上式右端第一项为零输入响应：上式右

22、端第一项为零输入响应：()fxt=-11()(0)s IAx 第二项为零状态响应：第二项为零状态响应：()ex t-11()()s IAB V s 比较时域解的形式可知比较时域解的形式可知eAt=-11()s IA 34ppt课件例例1 已知一零输入系统的状态方程为已知一零输入系统的状态方程为 111222()()(0)1.511 ()()(0)0.524x tx txx tx tx ，试求状态方程的解。试求状态方程的解。解解先求矩阵指数：先求矩阵指数：1.51 0.52ss IAs将上式矩阵求逆得将上式矩阵求逆得 120.51()(1)(2.5)11.5ss IAsss 35ppt课件作拉氏

23、反变换得矩阵指数作拉氏反变换得矩阵指数2.52.52.52.52111eeee3333e2212eeee3333ttttAttttt 所以状态方程的解为所以状态方程的解为1122()(0)1e e ()(0)4AtAtx txx tx 2.52.52.52.52.52.5211125eeeeee1333333=(0)22124210eeeeee333333ttttttttttttt 36ppt课件解解 1dd5.0CLCuitu CLuti 20dd2.0t=0时合上开关时合上开关s，用状态变量，用状态变量法求电感电压法求电感电压 uL(t)。已知已知 0V10)0()0(LCiu先列状态方程

24、，求状态变量先列状态方程，求状态变量uC ,iL。uC iL uL 20 uC 例例2 20ViL0.2H0.5F1 uC+-+-+-uLs37ppt课件 ssssIsULC2050010052200)()(1 sSs20500105221 sssss/100101022522 20500522dddd LCLCiutituA B 1()()(0)()X ss IAxB V s 0V10)0()0(LCiu38ppt课件2010ecos310esin3(0)2020ecos310esin3ttCttLutttitt 2222222231(10331()1(202031(1033)1()1(1020)ssssssss作拉氏反变换得作拉氏反变换得 ssssss/20050(/)20010(102122()20()10ecos310esin3(0)ttLCututttt 返回目录返回目录39ppt课件