状态向量的线性变换线性变换-课件.ppt

1、现代控制理论现代控制理论 0 0绪论绪论控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式状态空间表达式的解状态空间表达式的解线性控制系统的能控性和能观性线性控制系统的能控性和能观性稳定性分析稳定性分析线性定常系统的时域综合线性定常系统的时域综合参考文献参考文献现代控制理论现代控制理论(第第3版版),刘豹,机械工业出版社 现代控制理论基础现代控制理论基础,谢克明,北京工业大学出版社 现代控制理论基础现代控制理论基础,曲延滨等,哈尔滨工业大学现代控制理论学时分配现代控制理论学时分配章节章节主要内容主要内容各教学环节学时分配各教学环节学时分配备注备注讲讲授授实实验验讨讨论论习习题题小小计计0 0绪论

2、绪论1 11 11 1状态空间描述状态空间描述4 41 15 52 2线性系统的时域分析线性系统的时域分析2 21 11 14 43 3线性控制系统的能控线性控制系统的能控性和能观测性性和能观测性6 61 11 18 84 4系统稳定性系统稳定性3 31 14 45 5线性定常系统的综合线性定常系统的综合4 42 21 11 18 8总复习与机动总复习与机动2 2 0-1 控制理论的性质系统输入输出的数学描述：系统性能的提高：反馈控制和基于反馈的串联校正复杂系统：系统内部的结构特性传递函数R(S)E(S)N(S)Y(S)GC(S)H(S)G(S)动态和稳态性能 0-1 控制理论的性质性能指标

3、在一段时间上的所需性能和实际性能的差异的性能指标,控制的目标是寻找一个使性能指标为最小的时间函数的控制.时间最小燃料最小性能指标的多样性性能指标的多样性 0-2 控制理论的发展对系统进行完全的描述:状态空间表达式 能控性,能观性,状态实现,线性二次型最优控制成为整个控制理论发展的概念基础20世纪世纪50年代到年代到60年代年代极大值原理极大值原理,动态规划动态规划,维纳和卡尔曼滤波维纳和卡尔曼滤波计算机的发展计算机的发展 0-4 现代控制理论的应用宇宙飞船电力系统(发电和用户)(生产管理控制问题）高性能飞机(F16,苏27-苏30)广泛应用:现代化仪表(完备的传感器和执行器)与便宜的电子硬件和

4、控制理论处理动态系统的能力各种运动控制卡,模块化的传感器,各种处理芯片(无线通讯模块,光电码盘,雷达)第一章 控制系统的状态空间表达式1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式状态变量状态变量完全表征系统运动状态完全表征系统运动状态,具有最小个数的一组变量具有最小个数的一组变量.例如：要表示一维受力运动的质点运动.位置,速度,ma=F其数学描述就是反映系统变量间因果关系和变换的一种其数学描述就是反映系统变量间因果关系和变换的一种数学模型（时域）数学模型（时域）状态空间表达式状态空间表达式fxm 对于对于n阶系统阶系统,有有n个独立的状态变量个独立的状态变量.状态变量的选择不是唯一

5、的状态变量的选择不是唯一的.在平坦道路上行驶的汽车的状态？在平坦道路上行驶的汽车的状态？第一章 控制系统的状态空间表达式以状态变量为坐标轴所构成的以状态变量为坐标轴所构成的n维空间维空间,称为状态空间称为状态空间状态矢量状态矢量 第一章 控制系统的状态空间表达式Tntxtxtxtx)(),.(),()(21状态空间状态空间 状态轨迹状态轨迹(help plot3)第一章 控制系统的状态空间表达式状态空间状态空间 第一章 控制系统的状态空间表达式由状态变量由状态变量x x和输入变量和输入变量u u的描述的一阶微分方程组的描述的一阶微分方程组状态变量状态变量x x和输出变量和输出变量y y的函数关

6、系的函数关系状态方程状态方程在给定当前状态、激励和系统动态在给定当前状态、激励和系统动态方程的条件下，状态变量描述了系方程的条件下，状态变量描述了系统的未来响应统的未来响应输入输入 u(t)u(t)动态系统动态系统x x1 1,x x2 2,x,xn nx(0)输出输出y(t)y(t)状态状态 x(t)x(t)输出输出部件部件)(),()(tutxftx+输出方程输出方程1-1 状态空间表达式状态空间表达式),()(),(),()(ttxgtyttutxftx状态方程和输出方程的一般形式状态方程和输出方程的一般形式例1 质量弹簧阻尼系统)()()()(2tutkydttdybdttydmdtt

7、dyxyx)(,21设mku(t)y mu(t)yfy ky1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式112221122)(1)(xytumxmkxmbxxxtukxbxxm0),(),0(),0(21ttuxx给定：给定：212121011010 xxyumxxmbmkxxRLC电路电路电容电压和电感电流电容电压和电感电流1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式uc(t)u(t)R LiidtduCc)(tuuRidtdiLc令cuxix21,Cidtduc/)(1tuuLiLRdtdic1-1 状态空间表达式状态空间表达式duCxybuAxxutDxtCyut

8、BxtAx)()()()(线性系统状态方程和输出方程的一般形式线性系统状态方程和输出方程的一般形式单输入输出线性定常系统b,为列向量c为行向量d为标量状态方程状态方程输出方程输出方程1-1 状态空间表达式状态空间表达式333231322221131211AAAAAAAAAAutDxtCyutBxtAx)()()()(1:1:1:pyrunxrpDnpCrnBnnA:多输入多输出线性定常系统写出2输入1输出系统的B,C,D的一般形式1-1 1-1 状态空间表达式的系统框图状态空间表达式的系统框图状态空间描述的系统信号传递的关系图状态空间描述的系统信号传递的关系图线性系统框图线性系统框图(方块图方

9、块图)uACBDxyx 1-2 1-2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图模拟结构图模拟结构图:系统中各状态变量之间的信息传递关系系统中各状态变量之间的信息传递关系1x1x 2x2x 积分器、比例器、求和器uxyuxx8325一 维状态空间uxyuxxxuxx73325维121221状态空间二k1-2 1-2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图模拟结构图模拟结构图:系统中各状态变量之间的信息传递关系系统中各状态变量之间的信息传递关系212121011010 xxyumxxmbmkxx1x uy2xb/mk./m11x2x 1/m1-2 1-2 状态空间表达式

10、的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图12211222222112121111;duxcxcyubxaxubxaxax练习练习:写出矩阵形式写出矩阵形式,画出下列系统的模拟结构图画出下列系统的模拟结构图1x a11c1b1dx1y2x x2a12a22c2b2u1u21-3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(1)(1)如何获得状态空间描述如何获得状态空间描述例1 质量弹簧阻尼系统)()()()(2tutkydttdybdttydmdttdyxyx)(,21设物理系统的机理物理系统的机理(电气电气,机械机械,机电机电,气动等气动等)系统传递函数或微分方程系统传递函数或微分方程系统结构框图

11、系统结构框图1-3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(1)(1)21212101)()(1010 xxtytumxxmbmkxx状态方程和输出方程状态方程和输出方程s11Tsk结构框图的基本元素pszssTks 1-3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(1)(1)结构图结构图asbTsTkTsks/1/,11s11Tskuyk1yx ux xyux,1-3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(1)(1)bxyuaxx,结构子图结构子图asbuyx yx abu1sabuyxbuayyx yabuxxybuaxxyxbuayy,1sabux=y1-3 状态空间表达式的建立状

12、态空间表达式的建立(1)(1)结构图结构图1112221)(1/1/,1xyxkuTkxTxxxTsTkTsks11Tskuyk1x1x21-3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(1)(1)212112101)()(0110 xxtytuTkxxTTkkxx状态方程和输出方程状态方程和输出方程1-3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(1)(1)课堂练习题课堂练习题11122121532xyuxxxxxxs131suy5x1x2221212101)()(103512xxtytuxxxx1-3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(1)(1)uxyupzpxx)(0D结构框图的

13、基本元素pspzpszs1pspzuyxpszsyu21ss1-3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(1)(1)课堂练习题课堂练习题2x221212101)()(112517xxtytuxxxxs121ssuy5x12y2u21-3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(1)(1)112222222121522xyxuuuxyuxxxyx课堂练习题课堂练习题221121ssss1x221suy5x12y2u2sTks1-3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(1)(1)由系统机理建立状态空间描述由系统机理建立状态空间描述：电网络和力与机械运动电路图电路图:独立的储能元件个数独

14、立的储能元件个数=状态变量的个数状态变量的个数;电容上的电压和电感中的电流为状态变量电容上的电压和电感中的电流为状态变量1-1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()nmaSaSaSbSbSbSbswnnnmmmm,.)(01110111ububububyayayaymmmmnnn01)1(1)(01)1(1)(.输入输出描述状态空间描述状态空间表达式状态空间表达式duCxybuAxx1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()0,dnm011100111.)(.)()(0,aSaSaSbabSbabbswbdnmnnnmnmnmmmasbxybuaxxpspzpszs1uxpzyu

15、pxx)(bxyuaxx1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()0,dnm01110().nnnbW ssasa sa系统实现问题：非唯一的12(1).nnxyxyxy传递函数中没有零点的实现传递函数中没有零点的实现01110()(1)1100()().nnnnnnbY sU ssasa sayaya ya yb u 令:1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()12231121120 10.nnnnnnnxxxxxxxaxaxa xa xb u 传递函数中没有零点的实现传递函数中没有零点的实现系统模拟结构图1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()传递函数中没有零点的实现

16、传递函数中没有零点的实现b0uy1-4 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立(2)(2)状态方程状态方程b11-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()1321332217432xyuxxxxxxxx2347)(23ssssw写成矩阵形式写成矩阵形式321321321001700432100010 xxxyuxxxxxx例题：例题：1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()1321332217432xyuxxxxxxxx723412347)(2323sssssssw写成矩阵形式写成矩阵形式321321321007100432100010 xxxyuxxxxxx例题：例题：1-状态

17、空间表达式的建立状态空间表达式的建立()(4)(2)(9)().2(1232)().1(23tutytytyssssw 课堂提问课堂提问写出下列系统的状态空间表达式写出下列系统的状态空间表达式1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()nmasasasbsbsbsWnnnmm,.)(011101传递函数中有零点的实现传递函数中有零点的实现0111.1asasasnnn01.bsbsbmmuy1y直接设置，x1=y,x2=dy/dt,.直接设置，在状态方程中会带来输入项的导数?uuyyy 221-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()01.bsbsbmm0111.1asasasnnn1

18、011)1(11)(1101.)().()(ybybybybysYbsbsbsYmmmmmm传递函数中有零点的实现传递函数中有零点的实现uy1y;.;)1(11211nnyxyxyx102111.xbxbxbxbymmmm1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()传递函数中有零点的实现传递函数中有零点的实现系统模拟结构图21xy 2b.0b11xy)2(nynnxy)1(31xy nnxy)(11a0au.1na2na1bmby1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()传递函数中有零点的实现传递函数中有零点的实现0,.0,.,110mmbbbbC矩阵形式1-状态空间表达式的建立状态

19、空间表达式的建立()01223012233asasasbsbsbsb传递函数中有零点的实现的另一种形式传递函数中有零点的实现的另一种形式uy矩阵形式p26 1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()传递函数中有零点的实现的另一种形式传递函数中有零点的实现的另一种形式矩阵形式p19 1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()传递函数中有零点的实现的另一种形式传递函数中有零点的实现的另一种形式1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()321321321731100325100010 xxxyuxxxxxx例题求如下系统的状态空间表达式例题求如下系统的状态空间表达式52313723

20、2sssssuy1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()uxxxyuxxxxxx211910032510001032132132152313722323ssssss例题求如下系统的状态空间表达式例题求如下系统的状态空间表达式uy5239252313722322323sssssssssss1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()11()(),.nniiiiiiiicy su sxxuyc xs121()()().()()()()()nniiiD sssscN sW sD ssA A 为对角型的实现为对角型的实现)2)(1(5)(ssssW2352sss2314ss1-状态空间表达

21、式的建立状态空间表达式的建立()3()1(5)(2ssssW121111211()()().()()().()()()()()knnkikki kiiiiD ssssccccN sW sD sssss A A 为约当型的实现为约当型的实现11s31s11su)3(5.0)1(1)1(22sss1-状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立()121111211()()().()()().()()()()()knnkikki kiiiiD ssssccccN sW sD sssss A A 为约当型的实现为约当型的实现11121111111()(),.()()()()1()(),()kkkxsu

22、sxsu sssxsu ss1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换xyuxx34112001uDzCyuBzAz线性变换线性变换不同状态向量之间关系21211,xxzxz?2314)(sssW21211,xxzxzzyuzz3721210121211101xxzz21211101zzxx1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换DDCTCBTBATTA,110)0(xxDuCxyBuAxx0)0(zzuDzCyuBzAz线性变换线性变换不同状态向量之间关系xTzTzx1,.DuCTzyBuTATzTzBuATzBuAxzTzTx111-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换DDCTC

23、BTBATTA,11线性变换计算线性变换计算Tzx T=;A=;B=;C=;A1=inv(T)*A*T;Matlab 的实现的实现 B1=inv(T)B;C1=C*T;1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换xyuxx30113120Tzx 111*)(TATinvA 例题-求下列系统的线性变换后的状态空间表达式02261T1111*;*)(TCCBTinvB2222*;*)(TCCBTinvB11122T222*)(TATinvA 1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换0,0,1AIAIATTADuCxyBuAxxnii,.,2,1,.系统的特征值及系统的不变性量系统的特征值及系统

24、的不变性量0)det(0AIAI系统的特征值,Tzx特征方程的根特征方程的根会变化吗？会变化吗？1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换AITAITTAITATTTTATTIAI11111)(iiiiippAppiiipAp系统特征值的不变性系统特征值的不变性0111.)(aaaAIfnnn特征多项式系统的特征值不变系统的特征向量ip为特征值 对应的特征向量i第一章内容Tzx 状状 态态 空空 间间 表表 达达 式式非奇异线性变换（P489）状态空间表达式1 结构图结构图微分方程微分方程传递函数传递函数电路图电路图状态空间表达式能控型 状态空间表达式约当型特征值相等特征值相等传递函数阵1-

25、5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换3210A211121113210pppp111pAp特征值及特征向量的计算特征值及特征向量的计算2,1023212AI特征值特征向量1121pp特征值-1对应的特征向量为111p同理可得同理可得-2p12=p221-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换(P489)(P489),.TzxCxyBuAxx状态空间的约旦标准型状态空间的约旦标准型系统线性变换CTzyBuTJzzATTJ,.111-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换,.,.1121nndiagATTJpppTCTzyBTJzzATTJTzx,.,.111 特征值无重根时的对角型特征值

26、无重根时的对角型结论证明证明:问题是如何选择变换阵T1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换.,.,221121nnnpppApApApAT1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换2,11n2111T特征值例题 212p可验证结论inv(T)*A*T111p3210A1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换TCCBTinvB*;*)(2001*)(TATinvA可得结论结论:当系统的特征值无重根时当系统的特征值无重根时,可选择变换阵可选择变换阵T=p1,p2,pn,x=Tz,使系统阵化成对角阵使系统阵化成对角阵.1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换重要的结论(P490)A

27、阵为友矩阵阵为友矩阵1210.0.1000.010naaaaA112112222121.:.1111nnnnnnTA 的特征根无重根1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换.,.,121nqqpppppT1 特征值有重根时特征值有重根时广义特征向量结论n阶系统，阶系统，q个重根只有一个独立个重根只有一个独立的特征向量的特征向量1-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换;01221111pAppAppxyuxx011 100032100010例题1.11 化成约旦标准型2,1023,032,13AI结论结论:T可使系统化成约旦型可使系统化成约旦型.411201111,321pppT1-5

28、状态向量的线性变换状态向量的线性变换1 特征值有重根时特征值有重根时TATJ*11-5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换A的特征根有重根(第一个根为三重根)114112121111122412141.)(2)(:12011.1.001nnnnnnnnddddT1-6 从状态空间到传递函数状态空间到传递函数DuCxyBuAxx,传递函数阵传递函数阵零初始条件下，对上式两边求拉氏变换零初始条件下，对上式两边求拉氏变换DBAsICsW1)()(系统系统)()()(),()()(),()()()()()(),()()(11sUDBAsICsYsBUAsIsXsBUsXAsIsDUsCXsYsBUs

29、AXssX)(:)(:sWMIMOswSISOrm1-6 从状态空间到传递函数状态空间到传递函数DuCxyBuAxx)()()()(sWsUsYsW非奇异线性变换不改变系统的传递函数阵非奇异线性变换不改变系统的传递函数阵DuzCyuBzAz 状态空间子系统互联状态空间子系统互联),(:2),(:122221111DCBADCBA各种子系统连接时的系统表示各种子系统连接时的系统表示串联,并联,反馈状态空间子系统互联状态空间子系统互联uDDxxCCyuBBxxAAxx)(0021212121212121)()()(21sWsWsW并联联结并联联结状态空间子系统互联状态空间子系统互联uDDxxCCy

30、uBBxxAAxx)(0021212121212121)()()(12sWsWsW串联联结状态空间子系统互联状态空间子系统互联2111212122112100 xxCyuBxxACBCBAxx111112222221111)(xCyyxCBxAxxCuBxAx反馈联结系统状态方系统状态方程程状态空间子系统互联状态空间子系统互联反馈联结)()()()()()()()(11211121sWsWsWIsWsWsWIsWsW传递函数阵传递函数阵的两种形式的两种形式1-71-7 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式)()1(.)1()()()1(.)1()(011011kubkubn

31、kubnkubkyakyankyankynnn系统差分方程系统差分方程011101221101110111.)(azazazbzbzbzbazazazbzbzbzbzWnnnnnnnnnnnnnnn脉冲传递函脉冲传递函数数1-71-7 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式)()()()()()1(kdukCxkykhukGxkx0111012211.)(azazazbzbzbzbzWnnnnnnnn脉冲传递函脉冲传递函数数状态空间表达式状态空间表达式01)()(azzUzY)()()()()1(0kxkykukxakx1-71-7 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的

32、状态空间表达式)()(.)()(.)()(1.00)(.)()(.1.01000.010)1(.)1()1(211102111021kubkxkxkxkykukxkxkxaaakxkxkxnnnnnn0111012211.)(azazazbzbzbzbzWnnnnnnnn脉冲传递函脉冲传递函数数状态空间表达式状态空间表达式1-71-7 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式状态空间描述的系统模拟结构图状态空间描述的系统模拟结构图线性离散系统模拟结构图线性离散系统模拟结构图u(k)GCHDx(k)y(k)(1)x k单位单位延迟延迟1-81-8 时变系统和非线性系统时变系统和非

33、线性系统utDxtCyutBxtAx)()()()(),(),(uxgyuxfx线性时变系统线性时变系统:非线性系统非线性系统线性化1-81-8 时变系统和非线性系统时变系统和非线性系统000,yux),(),(),(),(),(),(00000000,00,00uxuugxxguxguxguxuufxxfuxfuxfuxuxuxux时不变系统的工作点:非线性系统的泰勒级数展开矢量对矢量的偏导数矢量对矢量的偏导数1-81-8 时变系统和非线性系统时变系统和非线性系统uugxxgyyyuufxxfxxxuxuxuxux00000000,0,0nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf.

34、212221212111非线性系统线性化的偏非线性系统线性化的偏量状态空间表达式量状态空间表达式:矢量对矢量的矢量对矢量的偏导数定义偏导数定义1-81-8 时变系统和非线性系统时变系统和非线性系统xAxBuyCxDu非线性系统线性化的偏非线性系统线性化的偏量状态空间表达式量状态空间表达式:CxgBufAxfuxuxux000000,1-91-9 MatlabMatlab在状态空间中的应用在状态空间中的应用状状态态空空间间表表达达式式 A,B,C,D=tf2ss(unm,deu)num,den=ss2tf(A,B,C,D)E=eig(A)1-91-9 MatlabMatlab在状态空间中的应用在状态空间中的应用1-91-9 MatlabMatlab在状态空间中的应用在状态空间中的应用eig(A)v,d=eig(A)xyuxx00110051166116110教材:例1-10num,den=ss2tf(A,B,C,D)第一章 作业（习题）第一次添加作业1:写出系统的状态空间表达式s131suy62第一章 作业（习题）第一次9-29-39-4