河南省郑州市2018届高三数学上学期期中试题 [理科](word版，有答案).doc

1、 1 2017-2018 学年高三上学期期中考试 数学理科试题 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 10 小题，共 50.0 分） 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. 设命题 p： ，则 为 A. B. C. D. 3. 要得到函数 的图象，只要将函数 的图象 A. 先向左平移 个单位，再将各点横坐标变为原来的 倍 B. 先向右平移 个单位，再将各点横坐标变为原来的 2 倍 C. 先向左平移 个单位，再将各点横坐标变为原来的 倍 D. 先向右平移 个单位 ，再将各点横坐标变为原来的 2 倍 4. 函数 的定义域为 A. B. C. D. 5. 若变量 满足条件

2、，则目标函数 的最小值为 A. B. C. D. 1 6. 已知 A、 B 两地相距 150 千米，某人开汽车以 60 千米 小时的速度从 A 地到达 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米 小时的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的距离 x表示为时间 小时 的函数表达式是 A. B. C. D. 7. 函数 的图象大致是 2 A. B. C. D. 8. 设 ，若函数 为单调递增函 数，且对任意实数 x，都有 ，则A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 9. 如图，在 ?ABCD 中， 分别为 上的点，且，连接 交于 P 点，若，则 的值为 A. B. C. D. 10. 已知

3、函数 ，若 ，则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分） 11. 的值是 _ 12. 不等式 的解集是 _ 13. 已知 ，则 _ 14. 如图，一艘船下午 13： 30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 处，之后它继续沿正北方向匀速 航行， 14： 00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S在它的北偏东 处，且与它相距 海里，则此船的航速为 _ 海里 小时 15. 设函数 ，若函数 有三个零点，则 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75.0 分） 16. 设函数 的图象上相邻最高点与最低点距离为 求 的值； 若函数 是奇函数，求

4、函数 在区间上的单调减区间 3 17. 在 中， 分别是角 的对边，若 试判断 的形状； 设 ，点 P 是 内切圆上的动点，求 的取值范围 18. 已知 ，设 p：对 恒成立； q：成 立 如果 “ ” 为真， “ ” 为假，求m 的取值范围 19. 已知数列 满足： 求数列 的通项公式； 设 ，求数列 的前 n 项和 20. 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为 米 单位时间 ，每单位时间的用氧量为升 ，在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 升 ，返回水面的平均速度为 米 单位时间 ，每单位时间用氧量为 升

5、，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 升 4 求 y 关于 v 的函数关系式； 若 ， 求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最少 21. 已知曲线 C： 求曲线 C 过点 处的切线方程 5 答案和解析 【答案】 1. 解：集合 ， ， 故选： A 根据交集的定义写出 本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目 2. A 2. 解：特称命题的否定是全称命题， ： ，都有 故选： B 根据含有量词的命题的否定进行判断即可 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 3. B 3. 解：将函数 的图象先向左平移 个单位，可得 的图象， 再将各点横坐标变为原来的 倍，可得函数 的图象， 故选：

6、C 利用函数 的图象变换规律，得出结论 本题主要考查函数 的图象变换规律，属于基础题 4. C 4. 解：由 ， 解得 函数 的定义域为： 故选： D 直接由根式内部的对数式大于等于 0，分式的分母不等于 0，列出不等式组，求解即可得答案 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题 5. D 5. 解：变量 满足 的平面区域如图：目标函数 变形为，当此直线经过图中 A 时 z 最小， 由 得到 ，所 以； 故选： A 画出平面区域，利用目标函数等于直线在 y轴的截距得到最最优解位置，求得 z 的最小值 本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求

7、最小值 6. A 6. 解：由题意得 两地相距 150km， 某人开汽车以 的速度从 A 地到达 B 地，可得从 A 到 B 须要 小时，以 的速度返回 A 地，从 B 到 A 需要 3 小时 当 时， ， 当 时， ， 6 当 时， ， 故 故选 D 由已知中 两地相距 150km，某人开汽车以 的速度从 A 地到达 B 地，在 B 地停留 1h 后再以 的速度返回 A 地， 我们可以分别求出 A 到 B，停留，及 B 到 A 时路程 表示为时间 的函数表达式，综合讨论结果，即可得到函数的解析式 本题考查的重点是分段函数的解析式，其中分类讨论每一段上函数的解析式，是解答本题的关键 7. D

8、7. 解：令函数 ，则 ，或 ， 即函数有两个零点，故排除 B； 当 时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除 C； 由 ，可排除 D， 故选： A 求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案 本题考查的知识点是函数的图象，函数的极限，超越函数的图象比较难画，排除法是常用的解 题方法，难度中档 8. A 8. 解：设 ，则， 则条件转化为 ， 令 ，则 ， 易得 ， 利用换元法将函数转化为 ，求出函数 的表达式，即可得到结论 本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数 的解析式是解决本题的关键 9. D 9. 解：， 三点 共线 ，则 故选： D ，三点 共线 ，即可求

9、得 本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题 10. D 10. 解： ， ，可得 对任意的 x 均成立 因 此不等式 ，即 ， 等价于 7 恒成立， 是 R 上的单调减函数， 所以由 得到 ，即 故选： D 由函数的解析式，算出 对任意的 x 均成立 因此原不等式等价于，再利用导数证出 是 R 上的单调减函数，可得原不等式即，由此即可解出实数 a 的取值范围 本题给出多项式函数，求解关于 a 的不等式，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题 11. D 11. 解： 故答案为： 求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和下限作

10、差得答案 本题考查定积分，关键 是求出被积函数的原函数，是基础题 12. 12. 解：当 时，有不等式可得 ，得 ，无解 当 时，有 ，解得 当 时，有 ，即 综上，有 故原不等式的解集为 ， 故答案为 分 、 、 三种情况，分别去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，最后把这三个解集取并集，即得所求 本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题 13. 13. 解： ， ， ， ， 故答案是： 利用诱导公式和二倍角公式进行化简求 值 8 本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查 14. 14. 解

11、：由题意得 在 中，由正弦定理得 ， 船的速度为 海里 小时 故答案为： 36 求出 ，利用正弦定理得出 AB，从而得出船的航行速度 本题考查了正弦定理的应用，属于基础题 15. 36 15. 解：不妨设 或 ，作出 的函数图象如图所示： 设 ，由图象可知： 当 时，方程 有 3 解， 当 时，方程 有 2 解， 函数 有三个零点， 关于 t 的方程 有且只有一解 ， ， 是 的三个解， 不妨设 ，则 ， 令 得 故答案为： 设 ，根据 的函数图象得出方程 的根的个数，从而得出 ，故而可求出 的三个解，得出答案 本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查学生分析解决问题的能力，确定只有当 时

12、，它有三个根是关键 16. 16. 由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，设 T 为 的最小值周期，由题意得 ，结合 ，可求 T 的值，利用周期公式可求 的值 由题意可求 是奇函数，则 ，结合 ，可求 ，进而可求函数 的解析式，利用余弦函数的图象和性质可求其单调递减区间，9 结 合范围 ，即可得解 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质，由的部分图象确定其解析式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题 17. 解：， 设 T 为 的最小值周期，由 图象上相邻最高点与最低点的距离为 ，得， ， ，整理可得 ， 又 ， 由 可得 ， ， 是奇函数

13、，则 ， 又 ， ， ， 令 ，则 ， 单调递减区间是 ， 又 ， 当 时，递减区间为 ；当 时，递减区间为 ， 函数 在 上的单调递减区间是 17. 由条件利用正弦定理 可得 ，化简可得可得，且 ，求得 ，故 为直角三角形 以 CA 所在边为 x 轴建立直角坐标系，得内切圆方程为 ，设 P坐标为 ，化简要求的式子为 ，根据 ，求得要求式子的值 本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理的应用，属于中档题 18. 解：中，由 ， 利用正弦定理得 ， 又 ，故 10 由 、 为不共线向量，可得 ，且 ， 所以 ，从而 ，故 为直角三角形 以 CA 所在边为 x 轴建立直角坐标系，得内切圆方程为

14、 ， 设 P 坐标为 ，则 ， 因为 ，所以， 18. 如果 “ ” 为真， “ ” 为假，则 p 与 q 一真一假，进而可得 m 的取值范围 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档 19. 解：若 p 为真：对 恒成立， 设 ，配方得 ， 在 上的最小值为 ， ， 解得 ， 为真时， ； 若 q 为真： 成立， 成立， 设 ，易知 在 上是增函数， 的最大值为 ， ， “ ” 为真， “ ” 为假， 与 q 一真一假， 当 p 真 q 假时， ， ， 当 p 假 q 真时， ， ， 综上所述， m 的取值范围为 或 19. 由已知，得 ，利用累加法求通项公式 ，利用裂项求和法求数列 的前 n 项和 本题考查累加法，裂项法在数列计算中的应用，考查计算能力 20. 解：