甘肃省兰州市2018届高三数学上学期期中试题 [理科](word版，有答案).doc

1、 1 2017-2018-1 学期高三年级期中考试试题 数 学（理） 说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分 150分，考试时间 150分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。 第卷 一选择题（ 本卷共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1已知集合 A= |sin cos ， B= |sin cos = 1666?， 故 二面角 A BE D的 余弦值 为 66 . ? 12分 19. （本 小题满分 12分）在同款的四个 智能机器人 A， B， C， D之间进行传球训练，收集数据， 以 改进机器人的运动协调合作能

2、力 .球首先由 A 传出，每个 “ 人 ” 得球后都等可能地传给其余三个 “ 人 ” 中的 一 “ 人 ” ， 记经过第 )1,( ? nNnn 次传递后球回到 A 手中的概率为 Pn. （ ）求 P1、 P2 、 P3的值； （ ）求 Pn关于 n的表达式 . 解：（ ） 经过 一次 传球后，球落在 B， C， D手中的 概率 分别 为 13 而在 A手中的 概率为 0； 因此， 1 0.P? 两 次 传球后，球落在 A手中的 概率为2 1 1 13.3 3 3P ? ? ? ?要想经过三 次 传球后，球落在 A手中，只能是经过 二次 传球 后 球一定不在 A手中， 321 1 2 2(1

3、) .3 3 3 9PP? ? ? ? ? 5分 （ ） 要想经过 n 次 传球后，球落在 A 手中，只能是经过 1?n 次 传球 后 球一定不在 A手中， *11 (1 ) ( , 2 )3nnP P n N n? ? ? ?， ? ? 7分 设 11 ()3nnPP? ? ? ?， 则 111 4 1+ = 43 3 3n n nP P P? ? ? ?（ ）， 41? ， 14? ， 即 11 1 1()4 3 4nnPP? ? ? ?， GZYXABCDPE9 而1 1 1 10=4 4 4P ? ? ? ?， 所以 ， 14nP?是以 （ 14? ） 为首项 ，（ 13? ） 为公比

4、的等比数列 ， ? 9分 -11 1 1- =(- ) -4 4 3 nnP ?（ ），即 -11 1 1=(- ) - +4 3 4nnP ?（ ）， 显然当 n=1时也适合， 故 -111 1 1 1 ( 1)= (- ) - + 14 3 4 4 3nnn nP ? ? ?（ ） . ?12 分 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 2 2 14x y?，斜率为 32 的 动直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B （） 设 M为弦 AB的中点，求动点 M的轨迹方程； （） 设 F1， F2为椭圆 C在左、右焦点， P是椭圆在第一象限 内 一点，满足12 54PF PF

5、? ?，求 PAB面积的最大值 解： （ ） 设 M（ x， y）， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 由 2 222 14 ?x y ， 2 211 14 ?x y ； 得： 1 2 1 21 2 1 214? ? ?y y y yx x x x ， 即 3124?yx ； 2 3 0?xy ? 4分 由 于 弦 AB的中点在椭圆内部 ， 得 33? ? ?x ， M点的轨迹方程为 2 3 0?xy（ 33? ? ?x ）； ? 5分 （）依题意 ： F1（ 3? ， 0） ， F2（ 3 ， 0）， 设 P（ x， y）（ x 0， y 0）， 则 1 ( 3 , )? ?

6、? ?PF x y， 2 ( 3 , )? ? ?PF x y， 由 12 54PF PF? ?得： 22 5( 3 , ) ( 3 , ) 3 4x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 即 2274?xy ， 与椭圆的方程联立， 解得： 1,3;2? ?xy P点坐标为 3(1, )2 ； ? 6分 10 设直线 l的方程为 32?y x m ， 联立 223214? ? ?y x mx y， 整理得： 223 1 0? ? ? ?x m x m ，由 0得 2 m 2， 12 3? ?x x m， 212 1?xx m ， 于是 27| | 44?AB m，

7、点 P到 直线 l的距离 |74? md ， ? 8 分 2221 1 4| | 4 12 2 2? ? ? ? ?PAB mmS m m； 当且仅当 m2=4 m2，即 2 ( ( 3 , 3 )? ? ? ?m 时，取等号， 故， PAB面积的最大值 1 ? 12 分 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) lnh x x x? ，2( ) ( 0)? ?axax. （）求 ( ) ( )xag x t dt?； （）设函数 ? ?( ) ( ) 1f x h x g x? ? ?，试确定 ()fx的单调区间及最大最小值； （）求证：对于任意的正整数 n，均有 1 1 11 2

8、3 !nn ee n? ? ? ? ? 成立 . 解：（ ）2 1 1 1( ) ( ) | ( )xx xaaa a x ag x t d t d t a at t x a x? ? ? ? ? ? ? ? ?； ? 3 分 （ ） ? ? ( ln ) ln 1 ( 0 )h x x x x x? ? ? ?， ( ) ln 1 1 ln ( 0 )x a x af x x x xxx? ? ? ? ? ? ?， 22()1( ) ( 0 )x x a xaf x xx x x? ? ? ? ? ?， a0， 函数 ()fx在区间 (0, )a 上单调递减，在区间 ( , )a? 上单调递增， 函数 ()fx的最小值为 ( ) lnf a a? ，函数 ()fx无最大值 ； ? 7 分 （ ）取 a =1，由（ ）知， 1( ) ln (1) 0xf x x fx? ? ? ?，