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类型安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学(文科)附全解全析.docx

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    关 键  词:
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    资源描述:

    1、 “皖南八校”2021 届高三摸底联考 数学(文科) 考生注意: 1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.第卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑;第卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的 答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围:必修全册+选修 2-1,2-2. 第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求

    2、的. 1.已知全集UR,集合 2 1Ax x,0Bx x,则AB ( ) A., 1 B.0,1 C. ,01, D. , 11, 2.已知命题:0px , 3 3xx.则p为( ) A.0 x , 3 3xx B.0 x , 3 3xx C. 0 0 x, 0 3 0 3xx D. 0 0 x, 0 3 0 3xx 3.执行如图所示的程序框图,若输入的 a,b,c 值分别为 3,4,5,则输出的 a 值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.将函数 2sin 2 3 f xx 的图象向左平移 1 4 个周期后,所得图象对应的函数为( ) A. 2sin 2 12 g xx B. 2si

    3、n 2 6 g xx C. 7 2sin 2 12 g xx D. 2 2sin 2 3 g xx 5.已知向量2,2a ,1,bx,若 /2aab,则b ( ) A.10 B.2 C.10 D.2 6.函数2 sin2 x yx的图象可能是( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的两条渐近线互相垂直, 且焦距为2 6, 则抛物线 2 2ybx的准线 方程为( ) A.3x B. 3 2 x C.3y D. 3 2 y 8.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题(意为) : “有一个人要走 378 里路,第一天健步行走, 从第二天起因脚痛每天走

    4、的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地.”那么,此人第 3 天和第 4 天共 走路程是( ) A.72 里 B.60 里 C.48 里 D.36 里 9.某空间几何体的三视图如图所示,其中正视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表面积是( ) A. 51 2 2 B. 51 2 2 C.3 2 D. 5 2 2 10.若正实数 x,y 满足260 xyxy,则2xy的最小值为( ) A. 451 B. 451 C.12 D.4 11.若曲线 2 1 x f xaxe 在点 2,2f处的切线与40 xy垂直,则 a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 12. 已 知 函 数 f

    5、 xxR满 足 2fxfx, 若 函 数 1x y x 与 yf x图 象 的 交 点 为 112220202020 ,x yx yxy,则交点的所有横坐标和纵坐标之和为( ) A.1010 B.-2020 C.2020 D.4040 第卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知点, a b是平面区域 20 0 1 xy x y ,内的任意一点,则3ab的最小值为_. 14.已知复数 z 满足: 2 7 142izi,则z _. 15.已知各项都为正数的等比数列 n a的前 n 项和为 n S,若 1 1a , 35 64a a ,

    6、则 10 S的值为_. 16.已知偶函数 f x满足 20f xf x,且当0,1x时, x f xx e,若在区间1,3内,函 数 21g xf xkxk有且仅有 3 个零点,则实数 k 的取值范围是_. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 在三角形ABC中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且sincsinsinsinaACaCbB. (1)求角 B 的大小; (2)若3b ,求三角形ABC面积的最大值. 18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 n a的公差为0d d ,等差数列 n

    7、 b的公差为2d,设 n A, n B分别是数列 n a, n b的 前 n 项和,且 1 3b , 2 3A , 53 AB. (1)求数列 n a, n b的通项公式; (2)设 1 1 nn nn cb aa ,数列 n c的前 n 项和为 n S,证明: 2 1 n Sn. 19.(本小题满分 12 分) 如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ABEDCF和一个四棱锥PABCD组合而成的,其中 2EFEAEB,AEEB,5PAPD,平面/PAD平面EBCF. (1)证明:平面/PBC平面AEFD. (2)若直三棱柱ABEDCF的体积为 1 V,四棱锥PABCD的体积为 2 V,求 1 2

    8、V V . 20.(本小题满分 12 分) 某工厂生产了一批零件, 从中随机抽取 100个作为样本, 测出它们的长度 (单位: 厘米) , 按数据分成10,15, 15,20,20,25,25,30,30,355 组,得到如图所示的频率分布直方图.以这 100 个零件的长度在 各组的频率代替整批零件长度在该组的概率. (1)估计该工厂生产的这批零件长度的平均值(同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替) ; (2)若用分层抽样的方式从第 1 组和第 5 组中抽取 5 个零件,再从这 5 个零件中随机抽取 2 个,求抽取的 零件中恰有 1 个是第 1 组的概率. 21.(本小题满分 12 分)

    9、已知函数 2 2 x f xemxx(e 为自然对数的底数). (1)若0m,讨论 f x的单调性; (2)若0,x时, 1 2 e fx 恒成立,求 m 的取值范围. 22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点 F 在直线33 20 xy上,且22ab. (1)求椭圆的方程; (2)直线l与椭圆交于 A、C 两点,线段AC的中点为 M,射线MO与椭圆交于点 P,点 O 为PAC的 重心,探求PAC面积 S 是否为定值,若是,则求出这个值;若不是,则求 S 的取值范围. “皖南八校”2021 届高三摸底联考数学(文科) 参考答案、解析及评分细则 1.

    10、C , 11,A ,故选 C. 2.C 命题p是一个全称命题,故其否定是一个特称命题,先改写量词,然后否定结论即可得到,该命题的 否定为“ 0 0 x, 0 3 0 3xx”. 3.D 4B 函数的周期为,将函数 f x的图象向左平移 1 4 个周期即 4 个单位,所得图象对应的函数为 2sin 2 6 g xx . 5.D 因为向量2,2a ,1,bx,所以24,22abx, 因为 /2aab,所以 422 22 x , 所以1x ,所以2b . 6.D 令 2 sin2 x f xx, 因为xR, 2sin22 sin2 xx fxxxf x ,所以 2 sin2 x f xx为奇函数,排

    11、除选 项 A,B; 因为, 2 x 时, 0f x ,所以排除选项 C,选 D. 7.B 由题意 2 22 1 2 6 3 22 ab ,3b . 8.A 记每天走的路程里数为 n a,可知 n a是公比 1 2 q 的等比数列, 由 6 378S ,得 1 6 6 1 1 2 378 1 1 2 a S ,解得 1 192a 23 34 11 192192482472 22 aa . 所以此人第 3 天和第 4 天共走了 72 里. 9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥,所以该几何体的表面积为 222 11 1112 22 S 51 1 2 22 22 . 10.D 因 为260 xyx

    12、y, 所 以62xyxy, 因 为x , y为 正 实 数 , 所 以 2 11 2 2 222 xy xyxy ,当且仅当2xy时等号成立,所以 2 1 2 62 22 xy xy ,解得 24xy. 11.B 由题意 2 1 x axaefx , 0 23131faea,直线40 xy的斜率为 1 4 , 1 1 4 31a ,解得1a . 12.C 函数 f xxR满足 2fxf x, 即为 2f xfx可得 f x的图像关于点0,1 对称.函数 1x y x ,即 1 1y x 的图象关于点0,1对称, 即若点 11 ,x y为交点,则点 11 ,2xy也为交点;同理若点 22 ,x

    13、y为交点,则点 22 ,2xy也为交 点; 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为 112220202020111 1 2 2 xyxyxyxyx 1222220202020200020000 222020yxyxyxyxy . 13.-2 作出不等式组 20 0 1 ab a b 表示的可行域, 当0a,2b时,目标函数3zab取得最小值-2. 14.5 42 1 2 2 i zi i ,故1 25zi. 15.1023 由 35 64a a ,得 2 4 64a ,又数列 n a的各项都为正数,所以 4 8a .设等比数列 n a的公比为 q,则 4 3 3 1 8 2 1a q a .所以 1

    14、0 10 1 1 2 1023 1 2 S . 16. 111 , 532 ee 由题意,函数满足 20f xf x,即 2f xf x,即函数 f x的 周期为 2, 当0,1x时, x f xx e,可得函数为单调递增函数,且 00f, 1fe, 当1,0 x 时, x f xfxx e , 由图象可知当1x 时, 1fe,当3x 时, 31ffe,即1,Be,3,Ce, 当直线21yk x经过点1,Be时,此时在区间1,3内两个函数有 2 个交点,此时31ek,解 得 1 3 e k .直线21yk x经过点3,Ce时,此时在区间1,3内两个函数有 4 个交点,此时 51ek,解得 1

    15、5 e k .直线21yk x经过点0,0O时,此时在区间1,3内两个函数有 3 个 交点,此时 1 2 k . 所以要使得函数 2g xf xkxk有且仅有 3 个零点,则直线的斜率满足 11 53 ee k 或 1 2 k , 即实数 k 的取值范围是 111 , 532 ee . 17.解: (1)设三角形ABC的外接圆的直径长为2R 由已知sinsinsinsinaA cCaCbB及正弦定理 所以 222 2222 acacb RRRR , 所以 222 acacb, 即 222 acbac.3 分 由余弦定理得 222 1 cos 22 acb B ac ,.4 分 因为0B,所以

    16、3 B .5 分 (2)因为 3 B ,所以 3 2 sinsinsin3 2 acb ACB , 三角形ABC面积 11323 sin4sinsin3sinsin3sincos 22232 SacBACAAAA 133333 sinsin2cos2sin 2 2444264 AAAA ,.6 分 2 0, 3 A , 7 2, 666 A ,.8 分 当且仅当 3 A 时,2 62 A ,此时ABC面积取得最大值 3 3 4 .10 分 18.解: (1)因为数列 n a, n b是等差数列,且 2 3A , 53 AB,所以 1 1 23 51096 ad add .2 分 整理得 1 1

    17、 23 549 ad ad ,解得 1 1 1 a d ,.4 分 所以 1 1 n aandn,即 n an,.5 分 1 1 221 n bbndn,即21 n bn. 综上, n an,21 n bn.6 分 (2)由(1)得 111 2121 11 n cnn nnnn .9 分 所以 11111 35211 2231 n Sn nn , 即 22 2 11 2111 11 n Snnnn nn .12 分 19.解: (1) 取AD的中点 H, 连接PH,EH,FH.由题知,PHAD, 且2PH , 又因为AEEB, 三棱柱ABEDCF为直三棱柱,所以EF,EA,EB三条直线两两垂直

    18、,故AE 平面EBCF,BE 平面AEFD.因为平面/PAD平面EBCF, 所以AE 平面PAD, 因为PH 平面PAD, 所以AEPH, 又因为AEADA, 所以PH 平面AEFD, 所以/PH BE, 又因为2PHBE, 所以四边形PHEB 为平行四边形,所以/PB HE,因为HE 平面AEFD,PB平面AEFD,所以/PB平面AEFD,同 理可证/PC平面AEFD,又因为PBPCP,所以平面/PBC平面AEFD.6 分 (2)由题知,直三棱柱ABEDCF的体积 1 1 4 2 VEBEAEF,四棱锥PABCD的体积 2 118 222 323 P ABDB PAD VVVADPHAE ,

    19、所以 1 2 43 8 2 3 V V .12 分 20.解: (1)由频率分布直方图可得 1 0.0160.0360.0800.044 5 a,解得0.024a,.3 分 各组频率依次为 0.08,0.18,0.4,0.22,0.12, 则这批零件长度的平均值为 12.5 0.08 17.5 0.18 22.5 0.4 27.5 0.22 32.5 0.1223.1x .6 分 (2)由题意可知第 1 组和第 5 组的零件数分别是 8 和 12, 则应从第 1 组中抽取 2 个零件,记为 A,B; 应从第 5 组中抽取 3 个零件,记为 c,d,e. 这 5 个零件中随机抽取 2 个的情况有

    20、AB,Ac,Ad,Ae,Bc,Bd,Be,cd,ce,de,共 10 种,.9 分 其中符合条件的情况有Ac,Ad,Ae,Bc,Bd,Be,共 6 种.11 分 所求概率 63 105 P .12 分 21.解: (1)当0m时, 2 x f xex, 2 x fxe,.1 分 令 20 x fxe,得ln2x,令 20 x fxe,得ln2x.3 分 所以函数 f x在,ln2上单调递减,在ln2,上单调递增.4 分 (2) 1 2 e fx 恒成立,即 2 21 2 x e exmx 恒成立. 当0 x时,对于任意的mR,20 2 e 恒成立;.5 分 当0 x时,即 2 21 2 x e

    21、 ex m x 恒成立.6 分 令 2 21 2 x e ex g x x ,则 2 4 2221 2 xx e exx ex gx x . 整理得 3 222 x xexe gx x ,.7 分 令 222 x h xxexe ,注意到 10h, 12 x h xxe, 再令 12 x xxe,则 0 x xxe,.8 分 所以 x在0,单调递增, 010 x ,即 0h x. 所以 h x在0,单调递增.9 分 又 10h,故知在0,1上 0h x ,在1,上 0h x . 从而 g x在0,1上递减,在1,上递增.10 分 故 min 21 2 11 12 e e e g xg ,.11

    22、 分 因为 2 21 2 x e ex m x 在0,恒成立, 所以1 2 e m .12 分 22.解析: (1)直线33 20 xy与 x 轴的交点为 2,0,2c , 22 2 22 ab ab , 解得2a,2b,椭圆的方程为 22 1 42 xy .4 分 (2)若直线l的斜率不存在,则 13 6 6 3 22 S . 若直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykxm,代入椭圆方程可得 222 124240kxkmxm 设 11 ,A x y, 22 ,C x y, 则 12 2 4 12 km xx k , 2 12 2 22 1 2 m xx k , 1212 2 2 2 12 m

    23、yyk xxm k . 由题意点 O 为PAC的重心,设 00 ,P x y,则 120 0 3 xxx , 120 0 3 yyy , 所以 012 2 4 12 km xxx k , 012 2 2 12 m yyy k , 代入椭圆 22 1 42 xy ,得 2222 2 22 22 421 2 1 2 1 21 2 k mmk m kk , 设坐标原点 O 到直线l的距离为 d, 则PAC的面积 1 3 2 SACd 2 12 2 1 13 2 1 m kxx k 12 3 2 xxm 2 2 22 22 34 4 21 21 2 m km m kk 22 2 2 2 2 12 3 212 km m k 2 2 2 2 12 2 12 123 6 2 3 2 1222 k k k k . 综上可得,PAC面积 S 为定值 3 6 2 .12 分

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